Lipschitz-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] ist Lipschitz-Setig auf [mm][2,\infty)[/mm] aber nicht Lipschitz-Stetig in [mm]x_0 = 0[/mm] |
Hallo,
ok, hier mein Versuch:
[mm]|f(x)-f(y)|\le L|x-y|[/mm]
[mm]\gdw | \wurzel{x} - \wurzel{y}| \le L |x-y|[/mm]
für [mm]y=2[/mm] und [mm]x \in (2;infty)[/mm] :
[mm]\wurzel{x}-\wurzel{2} \le L(x-2)[/mm]
[mm]\gdw \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{2}}{x-2} \le L[/mm]
Da wir hier eine reelle Lösung für L haben, und für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] die linke Seite der Gleichung gegen 0 geht, und da die Rechnung für ein beliebiges [mm]y \in [2,\infty) [/mm] gilt, haben wir Lipschitz-Stetigkeit gezeigt.
Aber was passiert wenn x gegen 2 geht?
Lipschitz-Stetigkeit in [mm]x_0=0[/mm]:
[mm] y=0 [/mm] und [mm]x \in (0,a] [/mm] mit [mm]a \in \IR >0[/mm]
[mm]|\wurzel{x} - 0| \le L|x-0|[/mm]
[mm]\gdw \wurzel{x} \le Lx[/mm]
[mm]\gdw L\ge \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
Keine reelle Lösung für L, da für [mm]x \rightarrow 0[/mm] die rechte Seite unendlich groß wird. Also ist f(x) in x = 0 nicht Lipschitz-Stetig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] ist Lipschitz-Setig auf
> [mm][2,\infty)[/mm] aber nicht Lipschitz-Stetig in [mm]x_0 = 0[/mm]
> Hallo,
>
> ok, hier mein Versuch:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\le L|x-y|[/mm]
>
>
> für [mm]y=2[/mm] und [mm]x \in (2;infty)[/mm] :
warum hier y=2?
> [mm]\wurzel{x}-\wurzel{2} \le L(x-2)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{2}}{x-2} \le L[/mm]
>
> Da wir hier eine reelle Lösung für L haben, und für
> [mm]x\rightarrow\infty[/mm] die linke Seite der Gleichung gegen 0
> geht, und da die Rechnung für ein beliebiges [mm]y \in [2,\infty)[/mm]
> gilt, haben wir Lipschitz-Stetigkeit gezeigt.
nein, denn das gilt doch nicht für beliebiges x,y
du musst ein L angeben!
> Aber was passiert wenn x gegen 2 geht?
genau das, sollst du ja allgemein für y gegen x zeigen!
Tip erweitern mit $ [mm] \wurzel{x} +\wurzel{y}$ [/mm] oder (x-y)=$ [mm] \wurzel{x} +\wurzel{y}$
[/mm]
oder (x-y)=$ [mm] (\wurzel{x} +\wurzel{y})*( \wurzel{x} -\wurzel{y})$
[/mm]
> Lipschitz-Stetigkeit in [mm]x_0=0[/mm]:
>
> [mm]y=0[/mm] und [mm]x \in (0,a][/mm] mit [mm]a \in \IR >0[/mm]
>
> [mm]|\wurzel{x} - 0| \le L|x-0|[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{x} \le Lx[/mm]
>
> [mm]\gdw L\ge \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> Keine reelle Lösung für L, da für [mm]x \rightarrow 0[/mm] die
> rechte Seite unendlich groß wird. Also ist f(x) in x = 0
> nicht Lipschitz-Stetig.
Der Teil ist richtig
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 10.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
ich glaube ich hab's kappiert.
[mm]|\wurzel{x}- \wurzel{y}| \le L |x-y|[/mm]
[mm]x>y[/mm] o.B.d.A.
[mm]\Rightarrow \wurzel{x}-\wurzel{y} \le L(x-y)[/mm]
[mm]\gdw \wurzel{x}-\wurzel{y} \le L(\wurzel{x}-\wurzel{y})(\wurzel{x}+\wurzel{y})[/mm]
[mm]\gdw L \ge \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}[/mm]
da [mm]min(x,y) = 2[/mm]
[mm]L=\bruch{1}{2\wurzel{2}}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast es kapiert, bis auf:
$ [mm] \wurzel[]{4}\ne 2*\wurzel{2}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 10.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
ja, hatte ich schon geändert, bevor du geantwortet hast...^^
thx
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] ist Lipschitz-Setig auf
> [mm][2,\infty)[/mm] aber nicht Lipschitz-Stetig in [mm]x_0 = 0[/mm]
" Lipschitz-Stetig in [mm]x_0 = 0[/mm]"
ist doch völlig unsinnig !
Es soll wahrscheinlich lauten: " .....nicht Lipschitz-Stetig auf [0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
> Hallo,
>
> ok, hier mein Versuch:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\le L|x-y|[/mm]
>
> [mm]\gdw | \wurzel{x} - \wurzel{y}| \le L |x-y|[/mm]
>
> für [mm]y=2[/mm] und [mm]x \in (2;infty)[/mm] :
>
> [mm]\wurzel{x}-\wurzel{2} \le L(x-2)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{2}}{x-2} \le L[/mm]
>
> Da wir hier eine reelle Lösung für L haben, und für
> [mm]x\rightarrow\infty[/mm] die linke Seite der Gleichung gegen 0
> geht, und da die Rechnung für ein beliebiges [mm]y \in [2,\infty)[/mm]
> gilt, haben wir Lipschitz-Stetigkeit gezeigt.
>
> Aber was passiert wenn x gegen 2 geht?
>
> Lipschitz-Stetigkeit in [mm]x_0=0[/mm]:
>
> [mm]y=0[/mm] und [mm]x \in (0,a][/mm] mit [mm]a \in \IR >0[/mm]
>
> [mm]|\wurzel{x} - 0| \le L|x-0|[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{x} \le Lx[/mm]
>
> [mm]\gdw L\ge \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> Keine reelle Lösung für L, da für [mm]x \rightarrow 0[/mm] die
> rechte Seite unendlich groß wird. Also ist f(x) in x = 0
> nicht Lipschitz-Stetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Fr 10.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
>
> " Lipschitz-Stetig in [mm]x_0 = 0[/mm]"
>
> ist doch völlig unsinnig !
>
> Es soll wahrscheinlich lauten: " .....nicht
> Lipschitz-Stetig auf [0, [mm]\infty)[/mm]
>
> FRED
Hab ich mir auch gedacht^^
Lipschitz-Stetigkeit kann man ja nur in einem Intervall zeigen und nicht in einem Punkt.
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