Lipschitz-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Ist f: [-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to \bruch{x^2+1}{x^2-2} [/mm] Lipschitz-Stetig? |
Hio,
Frage ist ja oben. Um Lipschitz-Setigkeit zu zeigen muss ja folgendes gelten:
|f(x)=f(y)| [mm] \le [/mm] L*|x-y| für alle x,y [mm] \in [/mm] [-1,1] mit L [mm] \ge [/mm] 0.
Also habe ich das erstmal eingesetzt und versucht so auszuklammern, dass ich ein |x-y| isoliert hatte:
[mm] |\bruch{x^2+1}{x^2-2} [/mm] - [mm] \bruch{y^2+1}{y^2-2}| [/mm] = ... (ich übernehme keine Haftung für Richtigkeit :) ) = [mm] |\bruch{3(x+y)}{(x^2-2)(y^2-2)}|*|x-y|, [/mm] also L = [mm] |\bruch{3(x+y)}{(x^2-2)(y^2-2)}|
[/mm]
Nun muss ich nur noch irgendwie herausfinden welchen Wert dieser Term maximal annimmt. Dazu könnte ich einmal den Grenzwert heranziehen (nur wie mit x&y und wogegen?) oder ich berechne den Hochpunkt dieser Funktion (aber wieder, wie mit x&y?), damit ich dann eine Konstante L finden kann die größer ist(weil L ja bisher von x und y abhängig ist, L aber für alle x,y gelten muss)
Wenn diese Zahl nun [mm] +\infty [/mm] so kann ich natürlich keine solche Konstante L finden(d.h. die Funktion ist nicht Lipschitz-Setig), in JEDEM anderen Fall kann ich aber eine Konstante L finden und die Funktion ist demnach Lipschitz-Stetig oder nicht?
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Hallo!
Es geht sicher eleganter als der folgende Lösungsweg, aber einerlei:
Zunächst erhält man links
[mm] $\left|\bruch{3*(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}-2)*(y^{2}-2)}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{3*(y-x)*(x+y)}{(x^{2}-2)*(y^{2}-2)}\right|$
[/mm]
also bleibt zu zeigen dass
[mm] $\left|\bruch{3*(x+y)}{(x^{2}-2)*(y^{2}-2)}\right| \le [/mm] L$
Wegen [mm] $x,y\in[-1,1]$ [/mm] bewegen sich beide Faktoren im Nenner im Intervall [-2,-1], es sind also keine "Sprünge" bei der Funktio zu erwarten. Das x+y im Zähler bewegt sich im Intervall [-2,2].
Nun nimm die Werte aus den Intervallen für die einzelnen Teile heraus, womit der Bruch den höchsten Wert annimmt.
Man kommt auf
[mm] \bruch{3*2}{1*1} [/mm] = 6
für L.
Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 24.04.2009 | | Autor: | pelzig |
Es gilt auch: differenzierbare Funktionen sind Lipschitzstetig genau dann, wenn ihre Ableitung beschränkt ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm ja das Kriterium habe ich schon oft gelesen, denke ich kann es auch gut anwenden, aber wir kommen nächste Woche wohl erst zu Ableitungen und co. also müsste es dafür noch einen anderen Weg geben oder nicht?
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Hiho,
Steppenhahn hat dir doch beantwortet, wie es ohne Ableiten geht.
MfG,
Gono.
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