Lipschitz-Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 18.09.2013 | | Autor: | Paivren |
N'Abend,
kann mal jemand hier drüber sehen?
Ist [mm] f(x)=x^{0,2} [/mm] Lipschitz-stetig, lokal Lipschitz-stetig, oder nur stetig?
Prüfe Lipschitz-Stetigkeit:
[mm] d(f(x),f(y))=|x^{0,2} [/mm] - [mm] y^{0,2}| [/mm] < L |x-y|=L d(x,y)
[mm] \gdw \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < L
[mm] \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] ist der Differenzenquotient, der ist unbeschränkt, wenn die Ableitung unbeschränkt ist.
[mm] f'(x)=\bruch{1}{5*x^{0,8}} [/mm] ---> unbeschränkt, denn [mm] f'(x)-->\infty [/mm] für x-->0.
Also gibt es zu jedem L stets x,y, sodass [mm] \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] > L sind --> f ist nicht Lipschitz-stetig.
Prüfe lokale Lipschitz-Stetigkeit:
Seien [mm] x_{0},a,b \in [/mm] R mit [mm] a
Seien x,y [mm] \in [/mm] [a,b].
Wähle L > [mm] |\bruch{a^{0,2}-b^{0,2}}{a-b}|
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =\bruch{|x^{0,2}-y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < [mm] \bruch{|a^{0,2}-b^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < [mm] \bruch{|a^{0,2}-b^{0,2}|}{|a-b|} [/mm] < L
--> f ist lokal Lipschitz-stetig und damit auch stetig.
Gruß
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Hiho,
soweit sieht es gut aus, allerdings:
> Seien [mm]x_{0},a,b \in[/mm] R mit [mm]a
> Seien x,y [mm]\in[/mm] [a,b].
> Wähle L > [mm]|\bruch{a^{0,2}-b^{0,2}}{a-b}|[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bruch{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =\bruch{|x^{0,2}-y^{0,2}|}{|x-y|}[/mm]
> < [mm]\bruch{|a^{0,2}-b^{0,2}|}{|x-y|}[/mm] <
> [mm]\bruch{|a^{0,2}-b^{0,2}|}{|a-b|}[/mm] < L
>
> --> f ist lokal Lipschitz-stetig und damit auch stetig.
Also für beliebige [a,b] geht das nicht. Da solltest du noch Einschränkungen machen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey, thx für die Antwort!
Wieso geht das nicht für beliebige a,b? Hast du ein Gegenbeispiel?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 21.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey, thx für die Antwort!
>
> Wieso geht das nicht für beliebige a,b? Hast du ein
> Gegenbeispiel?
a=0, b=1
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 So 22.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Fred,
sehe gerade selbst, dass es so einfach nicht geht.
Zwar ist [mm] |a^{0,2}-b^{0,2}| [/mm] stets größer als [mm] |x^{0,2}-y^{0,2}|, [/mm] sodass der Zähler größer wird, aber |a-b| ist auch größer als |x-y|, weshalb auch der Nenner größer und der Bruch insgesamt kleiner werden kann.
Wie kann man es denn machen? Ist mein Ansatz, beliebige Intervalle [a,b] zu nehmen mit x,y € [a,b], und darüber abzuschätzen nicht richtig?
Ich muss es ja für alle möglichen a,b zeigen, es muss dann also für alle gelten, oder man muss oBdA-Annahmen machen...
Gruß
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Hiho,
> Ich muss es ja für alle möglichen a,b zeigen
nein. Ich hab das Gefühl, du weißt noch nicht wirklich, was lokale Lipschitzstetigkeit wirklich ist.
An welcher Stelle scheitert es denn, dass deine Funktion nicht komplett Lipschitzstetig ist?
Und wann heißt eine Funktion lokal Lipschitzstetig?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 22.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Das scheitert für alle x mit |x|<1, denn da wird die ableitung beliebig groß.
Lokal lipschitz-stetig heißt, dass ich für jede stelle aus der definitionsmenge eine umgebung um diese stelle finden kann, sodass die funktion auf dieser umgebung lipschitz-stetig ist.
ist denn mein ansatz nicht richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 So 22.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für x<0 ist die fkt doch gar nicht definiert und wieso etwa für x=0',5 unbeschränkt?
Gruß leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:02 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leduart,
wieso ist die Funktion für x<0 nicht definiert, ich ziehe die fünfte Wurzel aus x, das funktioniert doch mit negativen Zahlen.
(-100 [mm] 000)^{1/5}=-10
[/mm]
Die Ableitung ist insgesamt doch unbeschränkt.
Ich finde kein L, sodass für alle x,y aus dem Def-Bereich gilt:
[mm] \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < L.
Also ist die Funktion nicht Lipschitz-stetig.
Nun muss ich sie auf lokale Lipschitz-Stetigkeit untersuchen, heißt ich muss schauen, ob ich zu jedem Punkt [mm] x_{0} [/mm] ein Intervall [a,b] finden kann, auf welchem sich ein L finden lässt, sodass [mm] \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < L für alle x,y [mm] \in [/mm] [a,b]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Leduart,
>
> wieso ist die Funktion für x<0 nicht definiert, ich ziehe
> die fünfte Wurzel aus x, das funktioniert doch mit
> negativen Zahlen.
> (-100 [mm]000)^{1/5}=-10[/mm]
zum einen gibt es Autoren, die auch [mm] $a^{1/5}$ [/mm] nur für $a > [mm] 0\,$ [/mm] definieren, das ist
dann Definitionssache.
Zum anderen will man eigentlich irgendwann gerne benutzen:
[mm] $a^b=\exp(b*\ln(a))\,.$
[/mm]
Dafür setzt man dann $a > [mm] 0\,$ [/mm] voraus, weil [mm] $\ln=\exp^{-1}$ [/mm] mit [mm] $\exp\colon\;\IR \to \IR_{>0}$...
[/mm]
Das größte Problem, was man allerdings (erstmal) hat, ist doch eigentlich
folgendes:
Wir identifizieren etwa [mm] $1/3=2/6\,.$ [/mm] Dann ist, wenn wir das von Dir Gesagte
so benutzen
[mm] $-2\;=\;(-8)^{1/3} \;\not=\;(-8)^{2/6},$
[/mm]
sofern wir denn
[mm] $x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}$
[/mm]
benutzen (dürfen) wollen: Denn damit wäre
[mm] $(-8)^{2/6}\;=\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\;\sqrt[6]{8^2}\;=\;8^{2/6}\;=\;8^{1/3}\;=\;2.$
[/mm]
Insbesondere dieses spricht dagegen, sowas wie [mm] $(-8)^{1/3}$ [/mm] "zu erlauben".
(Nichtwohldefiniertheit!)
Was man machen darf, ist aber etwa [mm] $\sqrt[3]{-8}$ [/mm] zu definieren: Dann darf
man aber nicht [mm] $\sqrt[3]{-8}\;=\;(-8)^{1/3}$ [/mm] schreiben - einfach aus den oben
genannten Gründen!
Und dann gilt natürich eben auch nicht sowas:
[mm] $\sqrt[3]{-8}\;=\;\sqrt[6]{(-8)^2}$!!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Marcel,
das sind interessante Darlegungen, die Du da zeigst.
Aber selbst, wenn ich die Funktion nur für x>0 definiere:
Daran, dass sie nicht lipschitz-stetig, nur lokal lipschitz stetig ist, ändert das ja nichts...
und wie kann ich letzteres zeigen x(?
Gruß und gute Nacht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel,
>
> das sind interessante Darlegungen, die Du da zeigst.
> Aber selbst, wenn ich die Funktion nur für x>0
> definiere:
> Daran, dass sie nicht lipschitz-stetig, nur lokal
> lipschitz stetig ist, ändert das ja nichts...
>
> und wie kann ich letzteres zeigen x(?
vielleicht hilft ja der Satz, dass eine diff'bare Funktion genau dann Lipschitzsch
ist, wenn ihre Ableitung beschränkt ist (genauer ausformuliert steht der
sicher in Deinen Unterlagen; und selbst, wenn nicht, dann kannst Du ihn
zum einen selbst beweisen (der MWS hilft dabei), zum anderen kannst Du auch bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki
(klick!) nachgucken)...
"Lokal" hat dabei dann nur was "mit (einer) eingeschränkten Funktion" zu tun;
und beachte: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] diff'bar (auf [mm] $D\,$), [/mm] so ist auch [mm] $f_{|T}$ [/mm] diff'bar (auf $T$) - wobei $T [mm] \subseteq [/mm] D.$
P.S. Ich erkenne so, dass [mm] $f(x):=x^{1/5}$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$) nicht Lipschitzstetig ist (weil [mm] $\lim_{x \to 0}|f\,'(x)|=\infty$ [/mm] ist).
Nehme ich die Definition der lokalen Lipschitzstetigkeit wie hier,
so ist die Funktion auch nicht lokal Lipschitzstetig (weil es für die 0 keine
"passende Umgebung" geben kann...).
Aber: [mm] $f_{|(0,\infty)}$ [/mm] ist lokal Lipschitzstetig: Für [mm] $x_0 [/mm] > 0$ betrachte einfach die Umgebung [mm] $(\tfrac{1}{2}x_0,\;\tfrac{3}{2}x_0)$ [/mm]
(und überlege Dir, dass [mm] $f\,'$ [/mm] dort beschränkt ist)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Dann reicht es, wenn ich sage, dass f' auf jedem Intervall [a,b] [mm] \in [/mm] D beschränkt ist und damit in jedem x [mm] \in [/mm] D lokal Lipschitz stetig ist?
Der Differenzenquotient von x und y ist ja stets kleiner als die höchste Ableitung, die zwischen x und y vorkommt.
Dann würde ich sagen.
f'(x)= 0,2 [mm] x^{-0,8}
[/mm]
Sei x,y [mm] \in [a,b]\subseteq [/mm] D.
Dann gilt
[mm] \bruch{|x^{0,2}-y^{0,2}|}{|x-y|} [/mm] < f'(a) <L mit L>f'(a)
So?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann reicht es, wenn ich sage, dass f' auf jedem Intervall
> [a,b] [mm]\in[/mm] D beschränkt ist und damit in jedem x [mm]\in[/mm] D
> lokal Lipschitz stetig ist?
das ist falsch, sofern nur [mm] $a=0\,$ [/mm] ist!
> Der Differenzenquotient von x und y ist ja stets kleiner
> als die höchste Ableitung,
Uhhhhh - was ist denn "die höchste Ableitung"? Diesen Begriff würde man
vielleicht etwa so definieren:
Sei $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR.$ [/mm] Für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] mögen [mm] $f^{(m)}$ [/mm] für [mm] $m=0,\,...,\,n$ [/mm] existieren,
und [mm] $f^{(n+1)}$ [/mm] sei nicht mehr existent (d.h. es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] D$ so, dass
[mm] $f^{(n+1)}(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{f^{(n)}(x_0+h)-f^{(n)}(x_0)}{h}$ [/mm] nicht existiert). Dann heißt die Funktion [mm] $f^{(n)}$ [/mm]
(also die $n$-te Ableitung von [mm] $f\,$) [/mm] die höchste Ableitung (von [mm] $f\,$).
[/mm]
Du meinst was anderes, etwas allgemeiner: [mm] $\sup\{|f\,'(x)|:\;\; x \in D\}=\|f\,'\|_\infty$ [/mm] ist
das, was Du meinst!
> die zwischen x und y vorkommt.
> Dann würde ich sagen.
> f'(x)= 0,2 [mm]x^{-0,8}[/mm]
> Sei x,y [mm]\in [a,b]\subseteq[/mm] D.
> Dann gilt
>
> [mm]\bruch{|x^{0,2}-y^{0,2}|}{|x-y|}[/mm] < f'(a) <L mit L>f'(a)
>
> So?^^
Erste Frage: Wie habt ihr lokale Lipschitzstetigkeit definiert? (Ich habe die
benutzt, die Du bei Wiki findest!)
Zweitens: Wenn Du in meine (editierte) letzte Antwort nochmal reinguckst,
wirst Du sehen:
$f [mm] \colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^{1/5}$ [/mm] ist weder Lipschitzsch noch
lokal Lipschitzsch (da sie letzteres nicht ist: Problemstelle 0, kann sie
ersteres eh nicht sein).
Aber [mm] $f_{|(0,\infty)}$ [/mm] wäre lokal (aber "nicht global") Lipschitzsch.
Und für jedes $r > [mm] 0\,$ [/mm] ist [mm] $f_{|[r,\infty)}$ [/mm] (und damit auch [mm] $f_{|(r,\infty)}$)
[/mm]
sowohl global als auch lokal Lipschitzsch.
(Ich sage hier "global Lipschitzsch", wenn ich einfach Lipschitzstetig meine!)
P.S. Beachte bitte auch, dass [mm] $f(x)=x^{1/5}$ [/mm] nur auf $x > [mm] 0\,$ [/mm] diff'bar ist (definiert
ist sie auf $x [mm] \ge [/mm] 0$!) - aber das reicht uns auch zum Argumentieren!
Denn: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] Lipschitzsch und ist $T [mm] \subseteq [/mm] D,$ so ist auch [mm] $f_{|T}$ [/mm] Lipschitzsch.
(Schreibe Dir davon auch mal die Kontraposition hin!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Marcel,
du hast beide male Recht, in dem Intervall [0,b] ist die Funktion nicht lipschitz-stetig, da die Ableitung unbeschränkt ist, mein Fehler.
Und ja, mit "höchster Ableitung" meinte ich den Maximalwert der ersten Ableitung auf diesem Intervall.
Ich benutze auch die Definition von Wiki.
Meine Funktion ist also weder lipschitz- noch lokal lipschitz-stetig.
Neue Funktion: f:R-->R, [mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
Die ist nicht lipschitz-stetig, da die Ableitung unbeschränkt ist.
Das kann man mathematisch korrekt so formulieren, nehme ich an:
Wenn die Ableitung unbeschränkt ist, folgt aus dem Mittelwertsatz direkt, dass die Differenzenquotienten auch unbeschränkt sind --> keine Konstante L kann gefunden werden --> nicht lipschitz-stetig.
Wie ist es jetzt mit lokaler lipschitz-Stetigkeit, funktioniert es jetzt so, wie ich oben meinte?
Sei [mm] [a,b]\subset [/mm] R.
Wähle L> max{f'(x)| x [mm] \in [/mm] [a,b]}
Dann ist [mm] \bruch{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =\bruch{|x^{2}-y^{2}|}{|x-y|} [/mm] < max{f'(a), f'(b)} = max{ 2a, 2b} = max{f'(x)| x [mm] \in [/mm] [a,b]} < L
f ist lokal lipschitz-stetig
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel,
>
> du hast beide male Recht, in dem Intervall [0,b] ist die
> Funktion nicht lipschitz-stetig, da die Ableitung
> unbeschränkt ist, mein Fehler.
>
> Und ja, mit "höchster Ableitung" meinte ich den
> Maximalwert
sprich i.a. besser immer erstmal von einem "Supremalwert", denn in der Analysis
hat man oft schon das Problem, dass ein Maximum nicht existiert (die Existenz
des Maximums bedeutet, dass das Supremum [mm] ($\not=\infty$) [/mm] auch an einer Stelle angenommen
wird)!
> der ersten Ableitung auf diesem Intervall.
>
> Ich benutze auch die Definition von Wiki.
>
>
> Meine Funktion ist also weder lipschitz- noch lokal
> lipschitz-stetig.
Genau. Ich würde den Zusatz, den ich dazugeschrieben habe, dennoch auch
als Antwort dazuschreiben.
>
> Neue Funktion: f:R-->R, [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
> Die ist nicht lipschitz-stetig, da die Ableitung
> unbeschränkt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das kann man mathematisch korrekt so formulieren, nehme
> ich an:
> Wenn die Ableitung unbeschränkt ist, folgt aus dem
> Mittelwertsatz direkt, dass die Differenzenquotienten auch
> unbeschränkt sind --> keine Konstante L kann gefunden
> werden --> nicht lipschitz-stetig.
Nein, das wäre mir zu schwammig. Entweder Du sagst halt, dass Du den
von mir erwähnten Satz verwendest, oder Du immitierst die zugehörige
Beweisrichtung einfach nach, etwa so (das ist "allgemein", Du könntest es
auch nur für Deine speziell betrachtete Funktion ausführen...):
Angenommen, unser diff'bares [mm] $f\,$ [/mm] ist Lipschitz-stetig, aber [mm] $f\,'$ [/mm] wäre unbeschränkt.
Sei $0 [mm] \not=h_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] so, dass jedes [mm] $x_0+h_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] liegt.
Dann gilt
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\;=\;f\,'(x_0)\,.$
[/mm]
Nach dem MWS existieren [mm] $\xi_n$ [/mm] mit:
für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt: [mm] $x_0 [/mm] < [mm] \xi_n [/mm] < [mm] x_0+|h_n|$ [/mm] oder [mm] $x_0 [/mm] > [mm] \xi_n [/mm] > [mm] x_0-|h_n|$ [/mm]
(welche der beiden Fälle jeweils sicher zutreffend ist, hängt schlicht und
ergreifend einfach von dem Vorzeichen von [mm] $h_n \not= [/mm] 0$ ab!)
so, dass
[mm] $\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\;=\;f\,'(\xi_n),$
[/mm]
und daraus folgt insbesondere
[mm] $(\star)$ $f\,'(x_0)\;=\;\lim_{n \to \infty} f\,'(\xi_n)\,.$
[/mm]
(Beachte: Daraus folgt so nicht die Stetigkeit von [mm] $f\,\red{'}$ [/mm] in [mm] $x_0\,,$ [/mm] denn
es gilt zwar [mm] $\xi_n \to x_0,$ [/mm] aber die Folge [mm] ${(\xi_n)}_n$ [/mm] ist halt nur eine (spezielle)
Folge, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] strebt!)
Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt dann die Existenz eines $L > [mm] 0\,$ [/mm] mit
[mm] $|f\,'(\xi_n)|\; \le \;L$ [/mm] für jedes [mm] $n\,.$
[/mm]
Daher ergibt sich wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion [mm] $\blue{(\star\star)}$
[/mm]
[mm] $|f\,'(x_0)|\;\;\stackrel{(\star)}{=}\;\;|\lim_{n \to \infty}f\,'(\xi_n)|\;\;\;\stackrel{\blue{(\star\star)} \text{ und }(\star)}{=}\;\;\;\lim_{n \to \infty}|f\,'(\xi_n)|\;\le\;\lim_{n \to \infty}L\;=\;L.$
[/mm]
> Wie ist es jetzt mit lokaler lipschitz-Stetigkeit,
> funktioniert es jetzt so, wie ich oben meinte?
Wie gesagt, ich würde den erwähnten Satz direkt anwenden. Oder Du
beweist halt die andere Richtung des besagten Satz:
Aus der Beschränktheit der Ableitung folgt schon die Lipschitz-Stetigkeit.
Kannst Du das beweisen? (Da schreibt man wirklich nur den MWS hin, bildet
dann den Betrag bei der entsprechenden Gleichung und benutzt die
Beschränktheit von [mm] $|f\,'|$ [/mm] - jede obere Schranke von [mm] $|f\,'|$ [/mm] ist dann als
geeignete Lipschitzkonstante erkennbar).
Und dann ist das besondere einfach bei der Aufgabe hier:
Ist $[a,b] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein beschränktes Intervall, so ist [mm] $[a,b]\,$ [/mm] schon kompakt. Du
wirst leicht einsehen, dass für [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] gilt, dass [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR$
[/mm]
ist. Dann ist insbesondere [mm] $f_{|[a,b]}$ [/mm] stetig - und stetige Funktionen nehmen
auf kompakten Mengen sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum an. (Du
kannst sie hier sogar "'konkret' hinschreiben").
Und ist dann [mm] $x_0 \in \IR,$ [/mm] so kannst Du etwa [mm] $[a,b]=[x_0-1,\;x_0+1]$ [/mm] betrachten. Denn
dann erkennst Du leicht, dass dann (auch) [mm] $f_{|(a,b)}\,=\,f_{|(x_0-1,\,x_0+1)}$ [/mm] Lipschitzsch
sein muss...
(Beachte: [mm] $(x_0-1,\,x_0+1)$ [/mm] ist eine (offene) Umgebung von [mm] $x_0\,.$)
[/mm]
Also in der Tat: [mm] $f(x)\,:=\,x^2$ [/mm] ist nicht Lipschitz-stetig, wohl aber lokal
Lipschitzsch...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Marcel,
im Grunde genommen habe ich Deinen magischen Satz doch verwendet.
Eine Funktion ist genau dann lipschitz-stetig, wenn die Ableitung beschränkt ist. Der Beweis geht einfach mit dem MWS (muss ich in der Klausur wohl dazu schreiben, weil wir den Satz in der Vorlesung nicht hatten).
Nun sagtest Du, jede obere Schranke von |f'(x)| eignet sich als Lipschitz-Konstante.
Das habe ich in meiner Abschätzung doch benutzt:
[mm] \bruch{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =\bruch{|x^{2}-y^{2}|}{|x-y|} \le [/mm] max{|f'(x)| |x [mm] \in [/mm] [a,b]}
Wobei Du jetzt sagtest, das Maximum könne man nicht in allen Fällen benutzen, da es ja nicht immer existiert.
Das Supremum aber schon? Dann bräuchte ich das max ja nur durch ein sup ersetzen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo paivren,
> Hey Marcel,
>
> im Grunde genommen habe ich Deinen magischen Satz doch
> verwendet.
> Eine Funktion ist genau dann lipschitz-stetig, wenn die
> Ableitung beschränkt ist. Der Beweis geht einfach mit dem
> MWS (muss ich in der Klausur wohl dazu schreiben, weil wir
> den Satz in der Vorlesung nicht hatten).
nochmal: Natürlich geht der Beweis mit dem MWS, aber nur die Beweisrichtung
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist damit "einfach". Die Beweisrichtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bedarf schon einiger
Zusatzüberlegungen.
> Nun sagtest Du, jede obere Schranke von |f'(x)| eignet sich
> als Lipschitz-Konstante.
> Das habe ich in meiner Abschätzung doch benutzt:
>
> [mm]\bruch{d(f(x),f(y))}{d(x,y)} =\bruch{|x^{2}-y^{2}|}{|x-y|} \le[/mm] [mm] $max\{|f'(x)| |x \in [a,b]\}$
[/mm]
> Wobei Du jetzt sagtest, das Maximum könne man nicht in
> allen Fällen benutzen, da es ja nicht immer existiert.
Richtig: Aber hier haben wir [mm] $f\,'$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum [mm] $[a,b]\,,$ [/mm] da wird
auch [mm] $|f\,'|$ [/mm] stetig sein und dann hat letztgenannte Funktion auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] natürlich
auch ein Maximum! Aber es ist halt [mm] $f\,'$ [/mm] stetig auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] - i.a. wird man das
nicht erwarten dürfen!
> Das Supremum aber schon? Dann bräuchte ich das max ja nur
> durch ein sup ersetzen.
Ja, hier geht das, es geht aber, wie gesagt, einfacher: [mm] $f\,'_{|[a,b]}$ [/mm] ist hier ja
als stetige Funktion auf einer kompakten Menge insbesondere stetig und
damit ist [mm] $|f\,'_{|[a,b]}|$ [/mm] insbesondere beschränkt (Du gibst oben ja quasi
die "bestmögliche obere Schranke" dafür an).
Das ist eine Argumentation, die rein mit dem bekannten Wissen aus der
Theorie auskommt, wenn man mal davon absieht, dass man für [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] die
Ableitung [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] angeben muss und (schnell) einsehen muss, dass [mm] $f\,'$ [/mm] dann
stetig ist...
Damit ist auch für jedes offene Intervall [mm] $(a,b)\,$ [/mm] die Funktion [mm] $f\,'_{|(a,b)}$ [/mm] beschränkt.
(Denn: Ist $T [mm] \subseteq [/mm] M$ und ist $|f(x)| [mm] \le [/mm] C$ für alle $x [mm] \in M\,,$ [/mm] so gilt ja insbesondere
auch $|f(t)| [mm] \le [/mm] C$ für alle $t [mm] \in T\,.$ [/mm] Und $(a,b) [mm] \subseteq [/mm] [a,b]$ ist klar...)
Für [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] kannst Du also sogar irgendeine Umgebung [mm] $U:=U_{\epsilon}(x_0)=(x_0-\epsilon,\;x_0+\epsilon)$
[/mm]
angeben ($0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \infty$), [/mm] und [mm] $f_{|U}$ [/mm] wird dann Lipschitzsch sein. (Ich hatte halt speziell
[mm] $\epsilon=1\,$ [/mm] - und beachte, dass dann auch [mm] $\epsilon$ [/mm] "universell" ist, was es nicht sein müsste;
es dürfte [mm] $\epsilon=\epsilon(x_0)$ [/mm] sein - gewählt!)
Übrigens: [mm] $f\,'(x) \le \max\{2a,\,2b\}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ ist nicht das, was Du da
eigentlich stehen haben willst (damit wäre ja nur klar, dass [mm] $f\,'$ [/mm] auf [mm] $(a,\,b)$ [/mm]
nach OBEN beschränkt ist):
[mm] $|f\,'(x)|$ [/mm] muss abgeschätzt werden. Das bekommst Du dann mithilfe von
[mm] $\min\{2a,\;2b\} \le f\,'(x) \le \max\{2a,\;2b\}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$
hin. Und Du siehst auch:
Weder [mm] $\min\{2a,\;2b\}$ [/mm] noch [mm] $\max\{2a,\;2b\}$ [/mm] wird von [mm] $f\,'$ [/mm] auf [mm] $\red{(}a,\,b\red{)}$ [/mm] angenommen.
Es gilt also etwa nicht
[mm] $\min\{2a,\;2b\}\;=\;\min\{f\,'(x):\;\; x \in (a,b)\}.$
[/mm]
(Zur Erinnerung: Es war [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und daher [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] (auf [mm] $\IR$)...)
[/mm]
P.S. Weitere Erinnerung:
$f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt genau dann beschränkt, wenn [mm] $f\,$ [/mm] sowohl nach oben
als auch nach unten beschränkt ist, wenn es also Konstanten $c,C [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt,
dass $c [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] C$ für alle $x [mm] \in D\,.$
[/mm]
Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] $|f|\,$ [/mm] (nach oben) beschränkt ist.
Grund: Ist [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt, so ist [mm] $|f|\,$ [/mm] durch [mm] $\max\{|c|,\,|C|\}$ [/mm] nach oben
beschränkt.
Ist andererseits [mm] $|f|\,$ [/mm] etwa durch [mm] $K\,$ [/mm] (nach oben) beschränkt, so folgt
[mm] $-\,K \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] K$ für alle $x [mm] \in [/mm] D,$
also [mm] $c:=\,-K$ [/mm] ist untere Schranke für [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $C:=K\,$ [/mm] ist obere Schranke für [mm] $f\,.$
[/mm]
P.P.S. [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] ist übrigens sogar (streng) monoton wachsend (auch auf jedem
(nichtleeren) Intervall [mm] $[a,b]\,$ [/mm] oder [mm] $(a,b)\,$...).
[/mm]
Du kannst Dir dann leicht
$2a [mm] \le f\,'(x) \le [/mm] 2b$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$
überlegen: Und ist [mm] $I=(a,b)\,,$ [/mm] so kannst Du da auch die [mm] $\le$ [/mm] beide durch [mm] $<\,$ [/mm] ersetzen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Deine Antworten sind so ausführlich wie eine eigene Vorlesung, vielen Dank :)
Zu dem Beweis: Sind nicht beide Richtungen recht simpel?
f ist lipschitz-stetig, d.h. es gibt ein [mm] L\ge [/mm] 0, sodass für alle x,y [mm] \in [/mm] D gilt:
[mm] \bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|} \le [/mm] L.
Wegen dem MWS gibt es zu jedem Paar x,y [mm] (x\not= [/mm] y) ein z, sodass gilt:
[mm] \bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|} [/mm] = |f'(z)|
Ist nun für alle möglichen Paare x,y
[mm] \bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|} \le [/mm] L, so gilt für die entsprechenden z (nämlich für alle): [mm] |f'(z)|\le [/mm] L
Gehts nicht so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Di 24.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Deine Antworten sind so ausführlich wie eine eigene
> Vorlesung, vielen Dank :)
>
> Zu dem Beweis: Sind nicht beide Richtungen recht simpel?
nein, sonst hätte ich die eine Richtung nicht so ausführlich gehalten. 
> f ist lipschitz-stetig, d.h. es gibt ein [mm]L\ge[/mm] 0, sodass
> für alle x,y [mm]\in[/mm] D gilt:
>
> [mm]\bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|} \le[/mm] L.
> Wegen dem MWS gibt es zu jedem Paar x,y [mm](x\not=[/mm] y) ein z,
> sodass gilt:
> [mm]\bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|}[/mm] = |f'(z)|
> Ist nun für alle möglichen Paare x,y
> [mm]\bruch{|d(f(x), f(y))|}{|d(x,y)|} \le[/mm] L, so gilt für die
> entsprechenden z (nämlich für alle): [mm]|f'(z)|\le[/mm] L
>
> Gehts nicht so?
Nein, denn: Du hast zu zeigen, dass: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] Lipschitz-stetig und
diff'bar, dann ist [mm] $|f\,'(x)| \le [/mm] L$ ($L [mm] \ge [/mm] 0$ geeignete Lipschitzkonstante) für alle $x [mm] \in D\,.$ [/mm]
Oben nimmst Du irgendzwei $x,y [mm] \in [/mm] D$ mit o.E. $x < y$ her und sagst dann,
dass dann auch [mm] $|f\,'(z)| \le [/mm] L$ für das $z$ mit
[mm] $f\,'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$
[/mm]
gelten muss. Das ist auch korrekt: Aber wer sagt Dir, dass, wenn Du alle
Paare $(x|y)$ mit $x < y$ und $x,y [mm] \in [/mm] D$ durchläufst, Du damit auch alle $z [mm] \in [/mm] D$
durchläufst? Schau' Dir nochmal an, wie ich das getan habe - denn bei mir
ist [mm] $x_0 \in [/mm] D$ quasi beliebig, aber fest. Damit gilt das Gesagte bei mir auch
für alle [mm] $x_0 \in [/mm] D.$
P.S. Ich habe Dir mal "die Problemstelle in Deiner Argumentation" (rot und fett)
markiert. (Intuitiv denken sicher viele genau so wie Du, dass das doch klar
sei - aber dann müßte man es auch beweisen können: Zu jedem $z [mm] \in [/mm] D$ ist
dann ein Paar [mm] $(x|y)\,$ [/mm] mit $x < z < y$ und $x,y [mm] \in [/mm] D$ so anzugeben, dass
[mm] $f\,'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$
[/mm]
gilt. Hier hätte man zu [mm] $z\,$ [/mm] also [mm] $x,y\,$ [/mm] "passend zu finden" - beim MWS hat man
[mm] $x,y\,$ [/mm] vorgeben und findet zu denen dann ein [mm] $z\,.$ [/mm] Beachte also: Andere Reihenfolge!
Und das macht auch alles kaputt...)
P.P.S. Wie gesagt, schau Dir das
hier (klick!)
nochmal an!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 24.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Marcel,
habe mir Deinen Beweis nochmal angesehen und konnte ihn nachvollziehen.
Du musst entschuldigen, bei ausführlichen Antworten "überfliege" ich gerne mal die Beweise, um Zeit zu sparen *g*
Danke Dir, hast mir sehr geholfen.
Klausur kam das heute leider nicht vor, shit happens :D
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 24.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hey Marcel,
>
> habe mir Deinen Beweis nochmal angesehen und konnte ihn
> nachvollziehen.
> Du musst entschuldigen, bei ausführlichen Antworten
> "überfliege" ich gerne mal die Beweise, um Zeit zu sparen
> *g*
kein Problem. 
> Danke Dir, hast mir sehr geholfen.
Gerne.
> Klausur kam das heute leider nicht vor, shit happens :D
Na, Du lernst ja hoffentlich nicht nur für die Klausur, sondern überwiegend
für Dich. Natürlich ist das etwas schade, wenn man's nun kann, es aber
"nicht zum Einsatz kommen durfte"...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Ladon |
> Ist [mm]f(x)=x^{0,2}[/mm] Lipschitz-stetig, lokal Lipschitz-stetig,
> oder nur stetig?
>
> Prüfe Lipschitz-Stetigkeit:
> [mm]d(f(x),f(y))=|x^{0,2}[/mm] - [mm]y^{0,2}|[/mm] < L |x-y|=L d(x,y)
> [mm]\gdw \bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|}[/mm] < L
>
> [mm]\bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|}[/mm] ist der
> Differenzenquotient, der ist unbeschränkt, wenn die
> Ableitung unbeschränkt ist.
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{5*x^{0,8}}[/mm] ---> unbeschränkt, denn
> [mm]f'(x)-->\infty[/mm] für x-->0.
>
> Also gibt es zu jedem L stets x,y, sodass [mm]\bruch{|x^{0,2} - y^{0,2}|}{|x-y|}[/mm]
> > L sind --> f ist nicht Lipschitz-stetig.
Ich würde hier evtl. mit dem Mittelwertsatz argumentieren, statt Differenzenquotient. Wenn f Lipschitz-stetig sein soll, dann sollte f insbesondere stetig sein und es ex. [mm] $\xi\in [/mm] ]x,y[$, s.d. [mm] $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\xi)$ [/mm] ist. Wegen [mm] $f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}
Ist nur ein Vorschlag meinerseits...
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für den Vorschlag!
Das ist ja quasi formal korrekt aufgeschrieben, was ich "lapidar" hingeschrieben habe: "Der Differenzenquotient ist dann unbeschränkt, wenn die Ableitung unbeschränkt ist"
Das ist ja dann die Folgerung aus dem Mittelwertsatz.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, danke für den Vorschlag!
>
> Das ist ja quasi formal korrekt aufgeschrieben, was ich
> "lapidar" hingeschrieben habe: "Der Differenzenquotient ist
> dann unbeschränkt, wenn die Ableitung unbeschränkt ist"
> Das ist ja dann die Folgerung aus dem Mittelwertsatz.
es gibt halt eine schöne Charakterisierung der Lipschitzstetigkeit mithilfe
der Ableitung - siehe Antwort oben.
Gruß,
Marcel
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