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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = [mm] ((2x^5+x^3-3)/(-4x^5+x))
[/mm]
a) den Definitionsbereich
b) die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an den Definitionslücken
c) das Verhalten im unendlichen |
Aufgabe a) ist kein Problem: Der Zähler ist überall stetig differenzierbar, also werden die Nennernullstellen betrachtet: Dort erhalte ich x1 = [mm] -\wurzel[4]{0,25}
[/mm]
x2 = 0 und x3 = [mm] \wurzel[4]{0,25}. [/mm] Also ist D = R \ x1, x2, x3
Aufgabe b) Hier liegt mein Problem:
Ich soll die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an den Definitionslücken bestimmen. Zuerst wegen der Übersichtlichkeit mit 0. Also
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+\bruch{1}{n}}((2x^5+x^3-3)/(-4x^5+x)) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((2*(0+\bruch{1}{n})^5+(0+\bruch{1}{n})^3-3)/(-4(0+\bruch{1}{n})^5+(0+\bruch{1}{n})))=?
[/mm]
Nun komme ich auf kein Ergebnis. Hospital bringt auch nichts. Die binomischen Formeln kann ich auch nicht anwenden! Wie kommt man auf das Ergebnis? Müsste ja mit den anderen Def. lücken genauso funktionieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie für die Funktion f(x) =
> [mm]((2x^5+x^3-3)/(-4x^5+x))[/mm]
> a) den Definitionsbereich
> b) die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an den
> Definitionslücken
> c) das Verhalten im unendlichen
> Aufgabe a) ist kein Problem: Der Zähler ist überall stetig
> differenzierbar, also werden die Nennernullstellen
> betrachtet:
ich frage mich gerade, wo das ein logischer Schluß ist? Das klingt so, als wolltest Du sagen:
"Weil der Zähler stetig differenzierbar ist, betrachtet man die Nennernullstellen..."
???
Also dass man die Nennernullstellen betrachtet, ist korrekt. Es ist auch korrekt, dass die Funktion, die man dem Zähler entnimmt, überall stetig differenzierbar ist, nur: Was hat das mit dem Definitionsbereich zu tun?
Man kümmert sich oben also um die Nullstellen des Nenners:
> Dort erhalte ich x1 [mm] $\blue{x_1}$ [/mm] = [mm]-\wurzel[4]{0,25}[/mm]
> x2 [mm] $x_2$ [/mm] = 0 und x3 [mm] $x_3$ [/mm] = [mm]\wurzel[4]{0,25}.[/mm] Also ist D = R \ x1, x2, x3
Notation!!
[mm] $$D=\IR \setminus \blue{\{}x_1,x_2,x_3\blue{\}}=\IR \setminus\{\pm \sqrt[4]{0,25},\,0\}\,.$$
[/mm]
Übrigens:
[mm] $$\sqrt[4]{0,25}=\sqrt{\sqrt{0,25}}=\sqrt{0,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,,$$
[/mm]
also [mm] $-x_1=x_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\,.$ [/mm] (Oder meinetwegen auch [mm] $=\frac{\sqrt{2}}{2}\,.$)
[/mm]
> Aufgabe b) Hier liegt mein Problem:
> Ich soll die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an den
> Definitionslücken bestimmen. Zuerst wegen der
> Übersichtlichkeit mit 0. Also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+\bruch{1}{n}}((2x^5+x^3-3)/(-4x^5+x))[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((2*(0+\bruch{1}{n})^5+(0+\bruch{1}{n})^3-3)/(-4(0+\bruch{1}{n})^5+(0+\bruch{1}{n})))=?[/mm]
>
> Nun komme ich auf kein Ergebnis. Hospital bringt auch
> nichts.
Die Voraussetzungen zur Anwendung von Hospital sind ja auch gar nicht gegeben (es liegt weder ein Fall der Art [mm] "$0/0\,$" [/mm] noch ein Fall der Art [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] (jeweils bis auf Vorzeichen) vor!)!
> Die binomischen Formeln kann ich auch nicht
> anwenden! Wie kommt man auf das Ergebnis? Müsste ja mit den
> anderen Def. lücken genauso funktionieren.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Also erstmal darfst Du i.a. nicht einfach [mm] $\lim_{h \to 0+} [/mm] f(h)$ mit [mm] $\lim_{n \to \infty}f(1/n)$ [/mm] gleichsetzen; das geht nur, wenn man schon weiß, dass [mm] $\lim_{h \to 0+} [/mm] f(h)$ existiert. Ansonsten könnte man höchstens ansetzen:
Wenn [mm] $\lim_{h \to 0+} [/mm] f(h)$ existiert, dann gilt [mm] $\lim_{h \to 0+} f(h)=\lim_{n \to \infty}f(1/n)\,.$ [/mm] Aber es gibt durchaus Funktionen [mm] $g\,,$ [/mm] so dass zwar [mm] $\lim_{h \to 0+} [/mm] g(h)$ nicht existiert, aber trotzdem [mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] g(1/n)$ existiert.
Oben ist es allerdings doch möglich, mit [mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] f(1/n)$ zu argumentieren (wenngleich man das nicht so machen muss, man kann durchaus auch anders an die Sache herangehen):
Es gilt nämlich für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dass
[mm] $$f(1/n)=\frac{2\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^3}-3}{-4\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n}}=\frac{\frac{2+n^2-3n^5}{n^5}}{\frac{-4+n^4}{n^5}}=\frac{2+n^2-3n^5}{-4+n^4}\,.$$
[/mm]
Und hieraus erkennst Du nun, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(1/n)=-\infty$ [/mm] ist. (Wieso? Ist Dir das klar?)
P.S.:
Ich würde hier auch anders Überlegen:
Wir setzen [mm] $z(x):=2x^5+x^3-3$ [/mm] und [mm] $n(x):=-4x^5+x\,,$ [/mm] dann gilt (auf dem Definitinionsbereich von [mm] $f\,$), [/mm] dass [mm] $f(x)=z(x)/n(x)\,.$
[/mm]
Nun gilt [mm] $\lim_{x \to 0+}z(x)=-3$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 0+}n(x)=0+\,,$ [/mm] so dass man, da somit für genügend kleine $x > [mm] 0\,$ [/mm] stets $f(x) < 0$ ist, man anhand von
[mm] $$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{f(x)}=\frac{\lim\limits_{x \to 0+}n(x)}{\lim\limits_{x \to 0+}z(x)}=\frac{0}{-3}=0$$
[/mm]
nun
[mm] $$\lim_{x \to 0+}f(x)=-\infty$$
[/mm]
erkennt.
[mm] $\text{(}$[i]Grobe [/mm] Notation[/i] ohne Kehrwert:
[mm] $$\lim_{x \to 0+}f(x)\;\;=\;\;\text{"}\;\frac{\lim\limits_{x \to 0+}z(x)}{\lim\limits_{x \to 0+}n(x)}\;\text{"}\;\;=\;\;\text{"}\;\frac{-3}{0+}\;\text{"}=-\infty\,.\text{)}$$
[/mm]
Analog:
Wegen [mm] $\lim_{x \to 0-}z(x)=-3$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 0-}n(x)=0-$ [/mm] ergibt sich (wieder in der groben Notation)
[mm] $$\lim_{x \to 0-}f(x)=\;\;\text{"}\;\frac{\lim\limits_{x \to 0-}z(x)}{\lim\limits_{x \to 0-}n(x)}\;\text{"}\;\;=\;\;\text{"}\;\frac{-3}{0-}\;\text{"}\;\;=\;\;+\infty\,.$$
[/mm]
P.P.S.:
Man kann auch ohne Kehrwert mathematisch sauber (d.h. ohne die grobe Notation; ich nenne das übrigens grobe Notation, da (in den Termen, die mit [mm] $\text{"},\text{"}$ [/mm] umgeben sind) es da notationsgemäß den Anschein hat, als würde man durch [mm] $0\,$ [/mm] dividieren, es aber eigentlich im Sinne des Grenzprozesses zu verstehen ist!) argumentieren:
Wegen [mm] $\lim_{x \to 0+}z(x)=-3$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta_1 [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass $z(x) < -2,5$ für alle $0 < x < [mm] \delta_1\,.$ [/mm] Ferner existiert wegen [mm] $\lim_{x \to 0+}n(x)=0+$ [/mm] ein [mm] $\delta_2 [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass $n(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $0 < x < [mm] \delta_2\,.$ [/mm] Daher ist
$$f(x) < [mm] \frac{-2,5}{n(x)}$$
[/mm]
für alle $0 < x < [mm] \delta:=\min\{\delta_1,\;\delta_2\}\,,$
[/mm]
und wegen $n(x) [mm] \to [/mm] 0+$ bei $x [mm] \to [/mm] 0+$ erkennt man damit, dass $f(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0+\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die Antwort! Das mit den Nennernullstellen meinte ich so, dass nur diese untersucht werden, weil der Zähler stetig diffenzierbar ist, also keine Definitionslücken. Hätte der Zähler auch noch welche, müsste man ja die Zähler- und die Nennernullstellen berechnen! So nur die Nennernullstellen! Mit der Notation ist mir schon klar, x1 ging nur schneller und was weiß ja wohl, was gemeint ist. Es ging mir um einen Lösungsansatz.
Wie schreibe ich das denn, wenn ich [mm] \limes_{x\rightarrow\0+\bruch{1}{n}} [/mm] nicht mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gleichsetzen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort! Das mit den Nennernullstellen
> meinte ich so, dass nur diese untersucht werden, weil der
> Zähler stetig diffenzierbar ist, also keine
> Definitionslücken.
es ist schon okay, wenn Du guckst, ob der Zähler bei den Nullstellen des Nenners auch welche hat; aber das ist für etwas anderes von Interesse (s.u., [mm] $(\star)$). [/mm] Etwas mit Differenzierbarkeit kommt dann zum Tragen, wenn Du dann Hospital anwenden willst. Warum Du hier von der stetigen Differenzierbarkeit des Zählers sprichst, weiß ich immer noch nicht. Wozu, glaubst Du, dass Du es brauchst?
Man braucht es nicht!!
> Hätte der Zähler auch noch welche,
> müsste man ja die Zähler- und die Nennernullstellen
> berechnen! So nur die Nennernullstellen!
Also interessant sind erstmal die Nennernullstellen, denn an diesen hat die "Funktion" (eigentlich ist das Wort sogar unangebracht!) Definitionslücken. [mm] $(\star)$ [/mm] Wenn der Zähler auch an einer Nullstelle des Nenners eine Nullstelle hat, dann kann man mit Hospital prüfen, ob die Funktion an der Stelle stetig fortsetzbar ist. Aber das ist hier eigentlich gar nicht gefragt. Es reicht also, wenn Du Dich um die Nullstellen des Nenners kümmerst!
> Mit der Notation
> ist mir schon klar, x1 ging nur schneller und was weiß ja
> wohl, was gemeint ist. Es ging mir um einen Lösungsansatz.
Okay, es geht schneller, ich finde es aber unleserlicher. Und die Notation [mm] $\IR \setminus x_1, x_2, x_3$ [/mm] ist einfach total falsch, da gehört wirklich
[mm] $\IR \setminus \{x_1,x_2,x_3\}$ [/mm] hin!
> Wie schreibe ich das denn, wenn ich
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+\bruch{1}{n}}[/mm] nicht mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gleichsetzen kann?
[mm] $\lim_{x \to 0+1/n} [/mm] f(x)$ macht doch eh keinen Sinn, Du meintest eher, dass Du [mm] $\lim_{n \to \infty}f(0+1/n)=\lim_{n \to \infty}f(1/n)$ [/mm] betrachten willst.
Wie gesagt, wenn man sagt:
Angenommen, [mm] $\lim_{x \to 0+}f(x)$ [/mm] existiert (in [mm] $\IR$). [/mm] Dann gilt auch [mm] $\lim_{n \to \infty}f(1/n)=\lim_{x \to 0+}f(x)$ [/mm] und Du dann zeigst, dass aber [mm] $\lim_{n \to \infty}f(1/n)$ [/mm] nicht in [mm] $\IR$ [/mm] existiert (das hättest Du quasi getan, wenn Du weitergerechnet hättest, bea.: [mm] $\infty \notin \IR$!), [/mm] dann kannst Du das so schreiben, wie Du es oben geschrieben hast.
Hier aber auch mal ein Beispiel, wo [mm] $\lim_{x \to 0+}h(x)$ [/mm] nicht existiert, dennoch aber [mm] $\lim_{n \to \infty}h(1/n)$ [/mm] existiert:
Betrachte mal [mm] $h(x):=\sin(\pi/x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR \setminus\{0\}$). [/mm] Hier existiert [mm] $\lim_{x \to 0+}h(x)$ [/mm] nicht, aber es ist [mm] $\lim_{n \to \infty}h(1/n)=\lim_{n \to \infty}\sin(n*\pi)=\lim_{n \to \infty}0=0\,.$ [/mm]
Also alleine durch Betrachten von [mm] $\lim_{n \to \infty}f(1/n)$ [/mm] wirst Du i.a. nicht herausfinden, ob [mm] $\lim_{x \to 0+}f(x)$ [/mm] existiert. Es gilt allerdings:
Es sind äquivalent (wenn [mm] $D_f$ [/mm] der Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] ist):
a) [mm] $\lim_{x \to 0+}f(x)$ [/mm] existiert
b) Für alle Folgen [mm] $(h_n)_n$ [/mm] in [mm] $D_f$ [/mm] mit den Eigenschaften, dass [mm] $h_n [/mm] > 0$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty}h_n=0$, [/mm] gilt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(h_n)$ [/mm] existiert.
Zudem gilt: Falls a) oder b) erfüllt ist, dann gilt, dass [mm] $\lim_{x \to 0+}f(x)=\lim_{n \to \infty}f(h_n)$, [/mm] wenn [mm] $(h_n)_n$ [/mm] eine Folge mit den Eigenschaften, die in b) erwähnt wurden, ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Es muss natürlich heißen [mm] \limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}. [/mm] Wie schreibe ich denn diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
nein: du meinst [mm] $\lim_{x \to 0+}$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}$.
[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> Hallo,
>
> > Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> nein: du meinst [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] bzw. [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}[/mm].
>
> > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> > diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
>
> Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
>
> Gruß,
> Marcel
Nein, ich meine das was ich geschrieben habe. Vielleicht ist die Schreibweise bei Euch nicht üblich. x soll gegen die Definitionslücken + die Nullfolge 1/n laufen. Also die Definitionslücke + eine marginal größere oder kleinere Zahl. Ich weiß schon, was ich meine und was nicht! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> > Hallo,
> >
> > > Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
> >
> > nein: du meinst [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] bzw. [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}[/mm].
>
> >
> > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> > > diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
> >
> > Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Nein, ich meine das was ich geschrieben habe. Vielleicht
> ist die Schreibweise bei Euch nicht üblich. x soll gegen
> die Definitionslücken + die Nullfolge 1/n laufen. Also die
> Definitionslücke + eine marginal größere oder kleinere
> Zahl. Ich weiß schon, was ich meine und was nicht! :)
>
Also von rechts angenähert Definitionslücke + 1/n, von links angenähert Def.lücke - 1/n
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Nochmal wegen des stetig differenzierbaren Zählers. Würde der Zähler z.B. ln (x-2) lauten, dann müsste man auch noch den Zähler auf Nullstellen untersuchen, da dann noch 2 als vierte Definitionslücke hinzu kommt. Das meinte ich! Da aber der Zähler für alle x aus R definiert ist, braucht man nur den Nenner zu betrachten!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Sry, hab was verwechselt. Ist ok! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nochmal wegen des stetig differenzierbaren Zählers. Würde
> der Zähler z.B. ln (x-2) lauten, dann müsste man auch noch
> den Zähler auf Nullstellen untersuchen,
ne, wenn der Zähler [mm] $\ln(x-2)$ [/mm] lauten würde, dann wäre der Zähler für alle $x < 2$ nicht definiert.
Du wirfst hier einige Notationen und Begrifflichkeiten durcheinander, ich kenne leider die Ursache davon nicht, sonst wüßte ich sie vll. zu beheben. Also nochmal:
Die Nullstellen des Zählers sind hier vollkommen irrelevant, die "Zählerfunktion" [mm] $z(x)\,$ [/mm] könnte man durchaus auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert betrachten. Das liefert keine Einschränkung. Nur die Nullstellen der Nennerfunktion [mm] $n(x)\,$ [/mm] sind hier interessant.
Und alles andere habe ich nun schon zweimal gesagt, ich denke, das kannst Du alles nochmal nachlesen und drüber nachdenken. Und ich meine das auch nicht böse, wenn ich irgendwo schreibe, dass das Unsinn ist, sondern ich sage dass dann so, weil es einfach Unsinn ist. Und ich hoffe, wenn Du lange genug drüber nachgedacht hast, dass Du dann auch irgendwann zu der Überzeugung gelangst, dass so etwas wie [mm] $\lim_{x \to 0+}$ [/mm] durch [mm] $\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}$ [/mm] zu ersetzen, wirklich Unsinn ist 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
> >
> > nein: du meinst [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] bzw. [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}[/mm].
>
> >
> > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> > > diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
> >
> > Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Nein, ich meine das was ich geschrieben habe. Vielleicht
> ist die Schreibweise bei Euch nicht üblich. x soll gegen
> die Definitionslücken + die Nullfolge 1/n laufen. Also die
> Definitionslücke + eine marginal größere oder kleinere
> Zahl. Ich weiß schon, was ich meine und was nicht! :)
dann vergiss' das, was Du meinst. [mm] $\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}$ [/mm] würde bedeuten, dass man $x$ gegen [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] laufen lassen würde, wobei $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest sei. Das hat nichts mehr mit [mm] $\lim_{x \to 0+}$ [/mm] zu tun... Es macht hier in dem Zusammenhang einfach keinen Sinn, [mm] $\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}$ [/mm] zu schreiben. Das hat auch nichts mehr mit nicht üblich zu tun, wenn man [mm] $\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}$ [/mm] für [mm] $\lim_{x \to 0+}$ [/mm] schreiben will: Das ist einfach Unsinn und falsch!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
> > >
> > > nein: du meinst [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] bzw. [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}[/mm].
>
> >
> > >
> > > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> > > > diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
> > >
> > > Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Nein, ich meine das was ich geschrieben habe. Vielleicht
> > ist die Schreibweise bei Euch nicht üblich. x soll gegen
> > die Definitionslücken + die Nullfolge 1/n laufen. Also die
> > Definitionslücke + eine marginal größere oder kleinere
> > Zahl. Ich weiß schon, was ich meine und was nicht! :)
>
> dann vergiss' das, was Du meinst. [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm]
> würde bedeuten, dass man [mm]x[/mm] gegen [mm]\frac{1}{n}[/mm] laufen lassen
> würde, wobei [mm]n \in \IN[/mm] fest sei. Das hat nichts mehr mit
> [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] zu tun... Es macht hier in dem Zusammenhang
> einfach keinen Sinn, [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm] zu
> schreiben. Das hat auch nichts mehr mit nicht üblich zu
> tun, wenn man [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm] für [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm]
> schreiben will: Das ist einfach Unsinn und falsch!
>
> Gruß,
> Marcel
>
Hab doch geschrieben, dass n gegen unendlich läuft! Meinetwegen kann ich n auch k oder sonst wie nennen. Wenn ich schreibe das x gegen 0+(1/n) läuft, und n gegen unendlich, 0 ist ja eine Definitionslücke der gegebenen Funktion, dann heißt das, dass ich mich von RECHTS annähere! Also an der Definitionslücke 0 + einer marginal kleinen Zahl (1/n) mit n gegen unendlich! Weiß nicht, was daran Unsinn sein soll, wenn man 1/n als Nullfolge definiert! Wenn ich n natürlich nicht definiere, dann kann man n als eine beliebige Zahl auffassen, dass ist mir klar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Es muss natürlich heißen [mm]\limes_{x\rightarrow\ {0+\bruch{1}{n}}}[/mm]
> > > >
> > > > nein: du meinst [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] bzw. [mm]\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}.[/mm] Wie schreibe ich denn
> > > > > diese Verknüpfung, wenn ich diese nicht gleichsetzen kann?
> > > >
> > > > Das ist auch keine Verknüpfung. Rest: Siehe Antwort oben!
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > > Nein, ich meine das was ich geschrieben habe. Vielleicht
> > > ist die Schreibweise bei Euch nicht üblich. x soll gegen
> > > die Definitionslücken + die Nullfolge 1/n laufen. Also die
> > > Definitionslücke + eine marginal größere oder kleinere
> > > Zahl. Ich weiß schon, was ich meine und was nicht! :)
> >
> > dann vergiss' das, was Du meinst. [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm]
> > würde bedeuten, dass man [mm]x[/mm] gegen [mm]\frac{1}{n}[/mm] laufen lassen
> > würde, wobei [mm]n \in \IN[/mm] fest sei. Das hat nichts mehr mit
> > [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm] zu tun... Es macht hier in dem Zusammenhang
> > einfach keinen Sinn, [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm] zu
> > schreiben. Das hat auch nichts mehr mit nicht üblich zu
> > tun, wenn man [mm]\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}[/mm] für [mm]\lim_{x \to 0+}[/mm]
> > schreiben will: Das ist einfach Unsinn und falsch!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> >
> Hab doch geschrieben, dass n gegen unendlich läuft!
> Meinetwegen kann ich n auch k oder sonst wie nennen. Wenn
> ich schreibe das x gegen 0+(1/n) läuft, und n gegen
> unendlich, 0 ist ja eine Definitionslücke der gegebenen
> Funktion, dann heißt das, dass ich mich von RECHTS
> annähere!
das, was Du da sagst, wäre formal [mm] $\lim_{x \to 0+}=\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to 0+\frac{1}{n}}$... [/mm] und auch diese Gleichheit gilt nicht ohne weiteres (zumal ich nicht weiß, warum Dir ein "doppelter Grenzwertprozeß" - wie rechterhand - einfacher erscheint wie ein einfacher Grenzwertprozeß - wie linkerhand). Ich habe Dir einen Satz formuliert, wie man [mm] $\lim_{x \to 0+}$ [/mm] mit Folgen [mm] $(h_n)_n$ [/mm] charakterisieren kann; benutze bitte diesen. Das ist wesentlich einfacher, als diese ganze "Bastelei", die Du hier vorhast, die zudem von Fehlern gekennzeichnet ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Dich richtig verstehe meinst Du folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))
[/mm]
Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))= \limes_{n\rightarrow\infty}f(1/n)
[/mm]
Das ist aber i.a. nicht das gleiche wie
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(h)
[/mm]
Aber das hat Marcel Dir schon gepredigt .....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Wenn ich Dich richtig verstehe meinst Du folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))[/mm]
>
>
> Dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))= \limes_{n\rightarrow\infty}f(1/n)[/mm]
ich weiß, dass Dir das klar ist, aber ein Hinweis für Morpheus:
Selbst diese Gleichheit muss ja i.a. noch nicht mal gelten. Dort würde ja [mm] $\lim_{x \to 1/n}f(x)=f(1/n)$ [/mm] benutzt werden, wofür man die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an den Stellen [mm] $x=x_n=1/n\,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] bräuchte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Wenn ich Dich richtig verstehe meinst Du folgendes:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))[/mm]
>
> >
> >
> > Dann gilt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{x\rightarrow 1/n}f(x))= \limes_{n\rightarrow\infty}f(1/n)[/mm]
>
> ich weiß, dass Dir das klar ist,
Danke
Aber Du hast natürlich mit dem fehlenden Stetigkeitsargument recht
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Ich meine folgendes, nicht dass wir uns missverstehen: ^^
Bsp.:
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{x^3-3x^2}{x^2+x}
[/mm]
Bestimmen Sie
a) den Definitionsbereich
b) die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an den Definitionslücken
c) Das Verhalten im unendlichen
a) Zur Bestimmung des Definitionsbereiches habe ich die Nennernullstellen bestimmt: Man erhält [mm] x_{1}= [/mm] -1 oder [mm] x_{2}= [/mm] 0. Also ist D = [mm] \IR \backslash [/mm] {-1;0}.
b) Nun zu den rechts- und linksseitigen Grenzwerten:
Betrachtung der ersten Definititionslücke [mm] x_{1}= [/mm] -1 mit Annäherung von RECHTS: JETZT KOMMT DER AUSDRUCK: [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+ \bruch{1}{n}}. [/mm] x soll also gegen -1 PLUS eine marginal kleine Zahl streben, der Nullfolge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] . Nun also komlett: [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+ \bruch{1}{n}}\bruch{x^3-3x^2}{x^2+x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+ \bruch{1}{n}}\bruch{x(x^2-3x)}{x(x+1)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+ \bruch{1}{n}}\bruch{x^2-3x}{x+1} [/mm] = (nun wird für x -1+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eingesetzt und definiert, dass n gegen unendlich läuft)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty }\bruch{( -1+ \bruch{1}{n})^2-3( -1+ \bruch{1}{n})}{ -1+ \bruch{1}{n}+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty }\bruch{( -1+ \bruch{1}{n})^2+3 - \bruch{3}{n})}{ \bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] .
Nun für die Annäherung von links: [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1- \bruch{1}{n}}\bruch{x^2-3x}{x+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty }\bruch{( -1- \bruch{1}{n})^2-3( -1- \bruch{1}{n})}{ -1- \bruch{1}{n}+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty }\bruch{( -1- \bruch{1}{n})^2+3 + \bruch{3}{n})}{ - \bruch{1}{n}} [/mm] = - [mm] \infty [/mm]
Nun habe ich das analog für die Definitionslücke [mm] x_{2}= [/mm] 0 gerechnet und erhalte bei beiden Annäherungen 0. Ist ja auch logisch, denn denn die Definitionslücke 0 lässt sich durch umformen der Funktion eliminieren. 0 ist also eine stetig behebbare Definitionslücke, -1 eine Polstelle. Was ist jetzt daran falsch? Wenn ich 1/n als Nullfolge definiere, indem n gegen unendlich läuft ist doch alles korrekt? Verstehe das Problem nicht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Du bist unverbesserlich
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Ich habe mir jetzt die Mühe gemacht, alles aufzuschreiben und habe das Problem daran nicht verstanden, also bitte ich um eine Antwort!> Du bist unverbesserlich
>
>
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Befehl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Man kommt mit dieser Methode immer zur richtigen Lösung! Hab genau das Problem daran nicht verstanden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man kommt mit dieser Methode immer zur richtigen Lösung!
> Hab genau das Problem daran nicht verstanden?
nein, man kommt eben nicht immer zur richtigen Lösung. [mm] $\lim_{x \to 0+} \sin(\pi/x)$ [/mm] existiert nicht, aber [mm] $\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \frac{1}{n}} \sin(\pi/x)=0$!
[/mm]
Ich habe nicht umsonst einen Satz formuliert, wo drinsteht:
Für alle Nullfolgen [mm] $(h_n)_n$ [/mm] in ...
Dort steht nichts davon, dass es ausreicht, speziell [mm] $h_n=1/n\,$ [/mm] zu setzen... (auch ändert es hier nichts, [mm] $\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1/n}\sin(\pi/x)$ [/mm] zu betrachten; auch dieser "Doppellimes" ist hier $=0$, s.o.).
Du klammerst Dich zusehr an Deiner Vorgehensweise fest, weil Du einfach willst, dass sie richtig ist, was sie aber im allgemeinen leider nicht ist. Sonst könnte ich kein Gegenbeispiel angeben.
Ein weiteres Problem erscheint mir, dass Du Dir nicht bewußt bist, dass man nicht einfach die Äquivalenz (oder Folgerungen) von gewissen Aussagen einfach in den Raum schmeißen und dann benutzen darf, sondern dass man in der Mathematik nicht umsonst erst Sätze benutzt, nachdem man sie bewiesen hat; und nicht, nachdem man sie formuliert und behauptet hat und auf deren Richtigkeit vertraut.
Alles andere habe ich schon mindestens zwei oder dreimal gesagt, wenn Du Dir das gesagte nicht bewußt machst, drehen wir uns leider nur im Kreis, weil Du dann weiterhin einfach behauptest, dass Deine Methode richtig ist und nur Beispiele aufführst, wo sie (aus gewissen Gründen: Stetigkeit der Funktion an gewissen Stellen etc.) zwar ausnahmsweise klappt; Du aber die Fälle, wo es schiefgeht, einfach ignorierst (in diesem Sinne hat Fred Recht, dass er sagt, Du seist unverbesserlich; auch, wenn es vll. etwas hart formuliert ist).
Ich kann auch behaupten:
Für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $x^2 [/mm] > [mm] y^2$ $\gdw$ [/mm] $x > y$.
Und wenn ich mich jetzt nur auf $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ beschränke, stimmt das auch. Aber für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt weder [mm] $x^2 [/mm] > [mm] y^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $x > y$ (betrachte z.B. $x=-3$ und $y=2$), noch gilt die Folgerung $x > y [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] > [mm] y^2$ [/mm] (betrachte z.B. $x=3$ und $y=-4$).
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Man kommt mit dieser Methode immer zur richtigen Lösung!
> > Hab genau das Problem daran nicht verstanden?
>
> nein, man kommt eben nicht immer zur richtigen Lösung.
> [mm]\lim_{x \to 0+} \sin(\pi/x)[/mm] existiert nicht, aber [mm]\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \frac{1}{n}} \sin(\pi/x)=0[/mm]!
>
> Ich habe nicht umsonst einen Satz formuliert, wo
> drinsteht:
> Für alle Nullfolgen [mm](h_n)_n[/mm] in ...
>
> Dort steht nichts davon, dass es ausreicht, speziell
> [mm]h_n=1/n\,[/mm] zu setzen... (auch ändert es hier nichts, [mm]\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1/n}\sin(\pi/x)[/mm]
> zu betrachten; auch dieser "Doppellimes" ist hier [mm]=0[/mm],
> s.o.).
>
> Du klammerst Dich zusehr an Deiner Vorgehensweise fest,
> weil Du einfach willst, dass sie richtig ist, was sie aber
> im allgemeinen leider nicht ist. Sonst könnte ich kein
> Gegenbeispiel angeben.
>
> Ein weiteres Problem erscheint mir, dass Du Dir nicht
> bewußt bist, dass man nicht einfach die Äquivalenz (oder
> Folgerungen) von gewissen Aussagen einfach in den Raum
> schmeißen und dann benutzen darf, sondern dass man in der
> Mathematik nicht umsonst erst Sätze benutzt, nachdem man
> sie bewiesen hat; und nicht, nachdem man sie formuliert und
> behauptet hat und auf deren Richtigkeit vertraut.
>
> Alles andere habe ich schon mindestens zwei oder dreimal
> gesagt, wenn Du Dir das gesagte nicht bewußt machst, drehen
> wir uns leider nur im Kreis, weil Du dann weiterhin einfach
> behauptest, dass Deine Methode richtig ist und nur
> Beispiele aufführst, wo sie (aus gewissen Gründen:
> Stetigkeit der Funktion an gewissen Stellen etc.) zwar
> ausnahmsweise klappt; Du aber die Fälle, wo es schiefgeht,
> einfach ignorierst (in diesem Sinne hat Fred Recht, dass er
> sagt, Du seist unverbesserlich; auch, wenn es vll. etwas
> hart formuliert ist).
> Ich kann auch behaupten:
> Für [mm]x,y \in \IR[/mm] gilt
> [mm]x^2 > y^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x > y[/mm].
>
> Und wenn ich mich jetzt nur auf [mm]x,y \ge 0[/mm] beschränke,
> stimmt das auch. Aber für [mm]x,y \in \IR[/mm] gilt weder [mm]x^2 > y^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x > y[/mm] (betrachte z.B. [mm]x=-3[/mm] und [mm]y=2[/mm]), noch gilt
> die Folgerung [mm]x > y \Rightarrow x^2 > y^2[/mm] (betrachte z.B.
> [mm]x=3[/mm] und [mm]y=-4[/mm]).
>
> Gruß,
> Marcel
Wieso existiert [mm] \lim_{x \to 0+} \sin(\pi/x) [/mm] nicht und [mm] \lim_{n \to \infty} \sin(\pi*n) [/mm] schon? Ist doch das gleiche oder? Hast Du mal nen Plotter wo ich die Funktion einzeichnen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morpheus!
> Wieso existiert [mm]\lim_{x \to 0+} \sin(\pi/x)[/mm] nicht und
> [mm]\lim_{n \to \infty} \sin(\pi*n)[/mm] schon? Ist doch das
> gleiche oder?
Nein, das ist nicht das gleiche. Du vergleichst hier auch Äpfel mit Birnen. Schließlich ist $x_$ eine reelle Zahl, und für $n_$ werden nur diskrete Werte wie $n \ = \ 1;2;3;4;...$ angenommen.
Und für genau diese Werte ist der Sinus gerade Null. Bei dem x-Grenzwert werden aber auch alle anderen Werte zwischen [mm] $\left[-1;+1\right]$ [/mm] angenommen.
Gruß
Loddar
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> Hallo Morpheus!
>
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> > Wieso existiert [mm]\lim_{x \to 0+} \sin(\pi/x)[/mm] nicht und
> > [mm]\lim_{n \to \infty} \sin(\pi*n)[/mm] schon? Ist doch das
> > gleiche oder?
>
> Nein, das ist nicht das gleiche. Du vergleichst hier auch
> Äpfel mit Birnen. Schließlich ist [mm]x_[/mm] eine reelle Zahl, und
> für [mm]n_[/mm] werden nur diskrete Werte wie [mm]n \ = \ 1;2;3;4;...[/mm]
> angenommen.
>
> Und für genau diese Werte ist der Sinus gerade Null. Bei
> dem x-Grenzwert werden aber auch alle anderen Werte
> zwischen [mm]\left[-1;+1\right][/mm] angenommen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ok, könntest Du mir das nochmal genauer erklären? Für n = 4 wäre der Ausdruck z.B. nicht 0! Auch wenn x eine reelle Zahl und n die Eigenschaften besitzt, verstehe ich nicht, was das damit zu tun hat, warum der eine nicht existiert und der andere schon.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und für genau diese Werte ist der Sinus gerade Null. Bei
> > dem x-Grenzwert werden aber auch alle anderen Werte
> > zwischen [mm]\left[-1;+1\right][/mm] angenommen.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
> Ok, könntest Du mir das nochmal genauer erklären? Für n = 4
> wäre der Ausdruck z.B. nicht 0!
doch: [mm] $\sin(\pi/x)$ [/mm] ist für $x=1/4$ gerade [mm] $\sin(4\pi)=0\,.$
[/mm]
> Auch wenn x eine reelle
> Zahl und n die Eigenschaften besitzt, verstehe ich nicht,
> was das damit zu tun hat, warum der eine nicht existiert
> und der andere schon.
[mm] $\lim_{x \to 0+}\sin(\pi/x)$ [/mm] existiert nicht, denn:
Betrachte mal die Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $h_n:=\frac{2}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] Dann ist [mm] $\sin(\pi/h_n)=\sin(n*\pi/2)\,,$ [/mm] und die Folge [mm] $\big(\sin(n*\pi/2)\big)_n$ [/mm] hat die Häufungspunkte [mm] $-1,\,$ [/mm] $0$ und [mm] $1\,,$ [/mm] kann folglich also nicht konvergieren (d.h. [mm] $\lim_{n \to \infty} \sin(\pi/h_n)$ [/mm] existiert nicht). Somit ist Aussage b) von hier verletzt, woraus folgt, dass auch a) von dort nicht stimmen kann.
P.S.:
Das Schaubild von $x [mm] \mapsto \sin(\pi/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Ist es korrekt, wenn ich folgendes schreibe?
rechtsseitiger GW: [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+\varepsilon }\bruch{x^2-3x}{x+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{(-1+\varepsilon)^2-3(-1+\varepsilon)}{-1+\varepsilon+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{1+3-3\varepsilon}{\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{4}{\varepsilon}=\infty
[/mm]
linksseitiger GW: [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1-\varepsilon }\bruch{x^2-3x}{x+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{(-1-\varepsilon)^2-3(-1-\varepsilon)}{-1-\varepsilon+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{1+3+3\varepsilon}{-\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{4}{-\varepsilon}=-\infty [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist es korrekt, wenn ich folgendes schreibe?
>
> rechtsseitiger GW:
an was und wovon?
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1+\varepsilon }\bruch{x^2-3x}{x+1}=[/mm]
Es ist im Prinzip wieder das alte Lied: So macht das keinen Sinn!
Ich weiß, was Du machen willst:
Du willst erst $x [mm] \to -1+\varepsilon$ [/mm] und danach dann [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ laufen lassen. Wozu? Zum einen machst Du so aus einem 'Einfach-Limes' wieder einen doppelten zum anderen bräuchtest Du da i.a. mindestens wieder Stetigkeitsargumente, um so vorgehen zu dürfen... (Das Durchgestrichene lasse ich mal weg; ich bin da gerade hier selbst ein wenig skeptisch, und zu müde zum weiter drüber nachdenken... vll. ginge das hier doch auch ohne Stetigkeitsargument?!...)
Was Du machen kannst, ist, zu schreiben:
[mm] $$\lim_{\substack{x=-1+\varepsilon\\0 < \varepsilon \to 0}}\frac{x^2-3x}{x+1}=\lim_{0 < \varepsilon \to 0}\bruch{(-1+\varepsilon)^2-3(-1+\varepsilon)}{-1+\varepsilon+1}=\ldots$$
[/mm]
Aber aus Deiner Notation ist das zum einen nicht klar, zum anderen steht auch nirgends, dass stets [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] sein soll...
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{(-1+\varepsilon)^2-3(-1+\varepsilon)}{-1+\varepsilon+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{1+3-3\varepsilon}{\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{4}{\varepsilon}=\infty[/mm]
>
> linksseitiger GW: [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1-\varepsilon }\bruch{x^2-3x}{x+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{(-1-\varepsilon)^2-3(-1-\varepsilon)}{-1-\varepsilon+1}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{1+3+3\varepsilon}{-\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 }\bruch{4}{-\varepsilon}=-\infty[/mm]
> ?
Generell:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen rechtsseitigen Grenzwert [mm] $f(x_0^+)$ [/mm] hat, dann kannst Du schreiben:
[mm] $$f(x_0^+)=\lim_{0 < \varepsilon \to 0} f(x_0+\varepsilon)\,,$$
[/mm]
oder
[mm] $$f(x_0^+)=\lim_{\substack{ \varepsilon \to 0\\\varepsilon > 0}}f(x_0+\varepsilon)\,,$$
[/mm]
oder, eher unüblich
[mm] $$f(x_0^+)=\lim_{\substack{x=x_0+\varepsilon\\0 < \varepsilon \to 0}}f(x)\,.$$
[/mm]
Analog:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen linksseitigen Grenzwert [mm] $f(x_0^-)$ [/mm] hat, dann kannst Du schreiben:
[mm] $$f(x_0^-)=\lim_{0 < \varepsilon \to 0} f(x_0-\varepsilon)\,,$$
[/mm]
oder
[mm] $$f(x_0^-)=\lim_{\substack{ \varepsilon \to 0\\\varepsilon > 0}}f(x_0-\varepsilon)\,,$$
[/mm]
oder, eher unüblich
[mm] $$f(x_0^-)=\lim_{\substack{x=x_0-\varepsilon\\0 < \varepsilon \to 0}}f(x)\,.$$
[/mm]
So würde z.B. die formale Rechnung zum rechtsseitigen Grenzwert von [mm] $f(x):=\frac{x^2-3x}{x+1}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=-1$ [/mm] so aussehen:
[mm] $$f(-1^+)=\lim_{0 < \varepsilon \to 0} \frac{(-1+\varepsilon)^2-3(-1+\varepsilon)}{(-1+\varepsilon+1)}=\lim_{0 < \varepsilon \to 0}\frac{4-5\varepsilon+\varepsilon^2}{\varepsilon}=\infty\,.$$
[/mm]
Übrigens:
Ich bin mir ziemlich sicher, dass Du Dich mit Grenzwerten zumindest genügend gut auskennst, bzw. Du weißt, was Du machst. Aber mit Deinen Notationen musst Du wirklich vorsichtiger umgehen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Ok, vielen Dank, diese Antwort hat mir sehr geholfen!
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Das mit der Notation habe ich jetzt verstanden! Nun aber zu meinem eigentlichen Problem, nämlich dem, dass ich nicht auf die Lösung des rechts- und linksseitigen Grenzwert komme:
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{2x^5+x^3-3}{-4x^5+x}.
[/mm]
Bestimmen Sie die links- und die rechtsseitigen Grenzwerte an den Definitionslücken!
Also habe ich den Nenner der Funktion auf Nullstellen untersucht und die Lösungen [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] = 0 oder [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] erhalten.
Zunächst das Verhalten an der Definitionslücke 0:
rechtsseitiger GW: [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0+\varepsilon)^5+(0+\varepsilon)^3-3}{-4(0+\varepsilon)^5+0+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{\varepsilon}=-\infty
[/mm]
linksseitiger GW: [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0-\varepsilon)^5+(0-\varepsilon)^3-3}{-4(0-\varepsilon)^5+0-\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{-\varepsilon}=\infty
[/mm]
Nun fangen meine Problem an, weil ich nicht auf ein sinnvolles Ergebnis komme. Analog also für das Verhalten an der Definitonslücke [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}:
[/mm]
rechtsseitiger GW: [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=? [/mm] Wie geht es jetzt denn weiter? Wär nett, wenn mir das jemand zu Ende rechnen würde! Müsste ja für die letzte Definitionslücke genauso gehen! Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> Das mit der Notation habe ich jetzt verstanden! Nun aber zu
> meinem eigentlichen Problem, nämlich dem, dass ich nicht
> auf die Lösung des rechts- und linksseitigen Grenzwert
> komme:
>
> Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =
> [mm]\bruch{2x^5+x^3-3}{-4x^5+x}.[/mm]
> Bestimmen Sie die links- und die rechtsseitigen Grenzwerte
> an den Definitionslücken!
>
> Also habe ich den Nenner der Funktion auf Nullstellen
> untersucht und die Lösungen [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> oder [mm]x_{2}[/mm] = 0 oder [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> erhalten.
> Zunächst das Verhalten an der Definitionslücke 0:
> rechtsseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0+\varepsilon)^5+(0+\varepsilon)^3-3}{-4(0+\varepsilon)^5+0+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{\varepsilon}=-\infty[/mm]
>
> linksseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0-\varepsilon)^5+(0-\varepsilon)^3-3}{-4(0-\varepsilon)^5+0-\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{-\varepsilon}=\infty[/mm]
>
> Nun fangen meine Problem an, weil ich nicht auf ein
> sinnvolles Ergebnis komme. Analog also für das Verhalten an
> der Definitonslücke [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}:[/mm]
> rechtsseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
> Wie geht es jetzt denn weiter? Wär nett, wenn mir das
> jemand zu Ende rechnen würde! Müsste ja für die letzte
> Definitionslücke genauso gehen! Vielen Dank
Kann ich hier folgendes schreiben?: [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{-3}{\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}= -\infty [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> > Das mit der Notation habe ich jetzt verstanden! Nun aber zu
> > meinem eigentlichen Problem, nämlich dem, dass ich nicht
> > auf die Lösung des rechts- und linksseitigen Grenzwert
> > komme:
> >
> > Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =
> > [mm]\bruch{2x^5+x^3-3}{-4x^5+x}.[/mm]
> > Bestimmen Sie die links- und die rechtsseitigen
> Grenzwerte
> > an den Definitionslücken!
> >
> > Also habe ich den Nenner der Funktion auf Nullstellen
> > untersucht und die Lösungen [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > oder [mm]x_{2}[/mm] = 0 oder [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > erhalten.
> > Zunächst das Verhalten an der Definitionslücke 0:
> > rechtsseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0+\varepsilon)^5+(0+\varepsilon)^3-3}{-4(0+\varepsilon)^5+0+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{\varepsilon}=-\infty[/mm]
>
> >
> > linksseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(0-\varepsilon)^5+(0-\varepsilon)^3-3}{-4(0-\varepsilon)^5+0-\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0} \bruch{-3}{-\varepsilon}=\infty[/mm]
>
> >
> > Nun fangen meine Problem an, weil ich nicht auf ein
> > sinnvolles Ergebnis komme. Analog also für das Verhalten an
> > der Definitonslücke [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}:[/mm]
> > rechtsseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
> > Wie geht es jetzt denn weiter? Wär nett, wenn mir das
> > jemand zu Ende rechnen würde! Müsste ja für die letzte
> > Definitionslücke genauso gehen! Vielen Dank
>
> Kann ich hier folgendes schreiben?:
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{-3}{\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}= -\infty[/mm]
> ?
>
Letztes bitte ignorieren! Hab mich verschrieben. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> > > Nun fangen meine Problem an, weil ich nicht auf ein
> > > sinnvolles Ergebnis komme. Analog also für das Verhalten an
> > > der Definitonslücke [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}:[/mm]
> > > rechtsseitiger GW: [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
> > > Wie geht es jetzt denn weiter? Wär nett, wenn mir das
> > > jemand zu Ende rechnen würde! Müsste ja für die letzte
> > > Definitionslücke genauso gehen! Vielen Dank
Also weiß wie beschreiben hier nicht weiter. Könnte das höchstens noch wie folgt umformen: [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{\bruch{2}{\wurzel{2}^5}+\bruch{1}{\wurzel{2}^3}-3}{-\bruch{4}{\wurzel{2}^5}+{\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}}=? [/mm] Der Zähler ist ja jetzt negativ. Aber hat Nenner jetzt ein negatives oder positives Vorzeichen? Das wäre ja wichtig zu wissen, weil das ja entscheidet, ob das Ergebnis [mm] -\infty [/mm] oder [mm] \infty [/mm] ist.
Das sehe ich hier noch nicht so gut. Was habe ich eventuell bei der Berechnung falsch gemacht?
Gruß
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Hallo!
Ich werde es jetzt einfach mal für [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}} [/mm] rechnen:
$ [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=? [/mm] $
Im Zähler sind nur die Terme ohne [mm] \epsilon [/mm] interessant:
$= [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2*\bruch{1}{\wurzel{2^{5}}}+\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=? [/mm] $
$= [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=? [/mm] $
Der Zähler ist also negativ. Der Nenner geht gegen Null, mann muss nur noch untersuchen, ob aus dem Negativen gegen 0 geht oder aus dem Positiven. Da [mm] $-4*\left(\bruch{1}{\sqrt(2)}+\epsilon\right)^{5}$ [/mm] negativ ist, die [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}} [/mm] sich mit denen herausheben, welche durch das Ausklammern der binomischen Formel entstehen und der Koeffizient vor dem [mm] \epsilon, [/mm] welches durch Ausklammern der binomischen Formel entsteht, wie man leicht sieht, "negativer" als -1 ist, ist der gesamte Nenner negativ für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0.
Im Nenner steht insgesamt:
[mm] $-4\epsilon-10*\sqrt{2}*\epsilon^{2}-20*\epsilon^{3}-10*\sqrt{2}*\epsilon^{4}-4*\epsilon^{5}.$
[/mm]
Da kann man noch mal sehr schön sehen, dass alles negativ ist.
Viele Grüße, Stefan.
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> Hallo!
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> Ich werde es jetzt einfach mal für [mm]\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
> rechnen:
>
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^3-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
>
> Im Zähler sind nur die Terme ohne [mm]\epsilon[/mm] interessant:
>
> [mm]= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2*\bruch{1}{\wurzel{2^{5}}}+\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
>
> [mm]= \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
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> Der Zähler ist also negativ. Der Nenner geht gegen Null,
> mann muss nur noch untersuchen, ob aus dem Negativen gegen
> 0 geht oder aus dem Positiven. Da
> [mm]-4*\left(\bruch{1}{\sqrt(2)}+\epsilon\right)^{5}[/mm] negativ
> ist, die [mm]\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm] sich mit denen herausheben,
> welche durch das Ausklammern der binomischen Formel
> entstehen und der Koeffizient vor dem [mm]\epsilon,[/mm] welches
> durch Ausklammern der binomischen Formel entsteht, wie man
> leicht sieht, "negativer" als -1 ist, ist der gesamte
> Nenner negativ für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0.
>
> Im Nenner steht insgesamt:
>
> [mm]-4\epsilon-10*\sqrt{2}*\epsilon^{2}-20*\epsilon^{3}-10*\sqrt{2}*\epsilon^{4}-4*\epsilon^{5}.[/mm]
>
> Da kann man noch mal sehr schön sehen, dass alles negativ
> ist.
>
> Viele Grüße, Stefan.
Ok danke, aber wie kommt darauf, dass
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2*\bruch{1}{\wurzel{2^{5}}}+\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?
[/mm]
Das stimmt zwar, aber weiß nicht, wie ich das erkenne!
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Hallo!
Falls das Folgende nicht deine Frage beantworten sollte, bitte ich sie genauer zu stellen.
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{2*\bruch{1}{\wurzel{2^{5}}}+\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=\limes_{\varepsilon\rightarrow\ 0 , \varepsilon>0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}-3}{-4(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon)^5+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\varepsilon}=?[/mm]
>
> Das stimmt zwar, aber weiß nicht, wie ich das erkenne!
Nun ja, es gilt
[mm] $\bruch{1}{\sqrt{2^{5}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2*2^{4}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}*4}$
[/mm]
Das sind einfach angewandte Potenzgesetze und das Wurzelgesetz für positive reelle Zahlen a,b:
[mm] $\sqrt{a*b} [/mm] = [mm] \sqrt{a}*\sqrt{b}$.
[/mm]
Man erhält also
[mm] $2*\bruch{1}{\wurzel{2^{5}}}+\bruch{1}{\wurzel{2^{3}}} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{\sqrt{2}*4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}*2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}*2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\sqrt{2}*2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Da man den Zähler vereinfachen möchte, muss man auf die Idee kommen, solche Gesetze anzuwenden. Den Blick dafür erhältst du aber vielleicht erst nach einigen Übungsaufgaben 
Viele Grüße, Stefan.
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