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Die Arbeit die eine Kraft entlang x liefert wird durch [mm] E=\integral_{a}^{b}{F(x(t))*x'(t) dt} [/mm] beschrieben.
Die Antwort hängt nicht vom Weg x ab wenn [mm] F=-\nabla*U(x).
[/mm]
Alternativ: wenn [mm] \nabla [/mm] x F=0 dann ist die Kraft auch 'konservativ'.
Warum?
Hallo :)
was sind konservative Kräfte?
und wie kann ich beweisen dass das so ist?
Habt ihr einen Ansatz für mich?
Ist F nur von t abhängig? Falls das so ist und muss die Ableitung von F=0 sein das würde ja [mm] \nabla [/mm] x F=0 dann aussagen. ?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> De arbeid die een kracht levert langs pad x is
> [mm]E=\integral_{a}^{b}{F(x(t))*x'(t) dt}[/mm]
> Die antwoord hangt
> niet af van het pad het pad als [mm]F=-\nabla*U(x).[/mm]
> Alternatief: als [mm]\nabla[/mm] x F=0 dan is de kracht ook
> conservatief. Waroom?
> Also die Arbeit die eine Kraft entlang x liefert wird
> durch [mm]E=\integral_{a}^{b}{F(x(t))*x'(t) dt}[/mm] beschrieben.
> Die Antwort hängt nicht vom Weg x ab wenn
> [mm]F=-\nabla*U(x).[/mm]
> Alternativ: wenn [mm]\nabla[/mm] x F=0 dann ist die Kraft auch
> 'konservativ'.
> Warum?
>
>
> Hallo :)
>
> was sind konservative Kräfte?
Siehe hier
> und wie kann ich beweisen dass das so ist?
> Habt ihr einen Ansatz für mich?
> Ist F nur von t abhängig? Falls das so ist und muss die
> Ableitung von F=0 sein das würde ja [mm]\nabla[/mm] x F=0 dann
> aussagen. ?
Nein. Wenn [mm]F=-\nabla*U(x)[/mm] ist, dann kannst du doch
(EDIT: Gleichung korrigiert)
[mm] \bruch{d}{dt} U(x(t)) = - F(x(t))*x'(t) [/mm]
durch $U(x)$ ausdrücken. Was kommt dabei heraus?
Und [mm] $\nabla\times( \nabla [/mm] U(x))$ kannst du auch ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hilfe :) :) :)
ich hab gar nicht geahnt, dass in dieses Frage wirklich Physik drin steckt :) das ist toll, kann ich gleich weiter verwenden :)
also ich habe jetzt für F [mm] -\nabla*U(x) [/mm] eingesetzt
[mm] \bruch{d}{dt}*(-\nabla*U(x))
[/mm]
[mm] -\nabla*U(x)=-\begin{pmatrix} u_x(x) \\ u_y(x) \\ u_z(x) \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} u_x(x)\bruch{d}{dt} \\ u_y(x)\bruch{d}{dt} \\ \bruch{d}{dt}u_z(x)ß\end{pmatrix}
[/mm]
kann ich das noch vereinfachen?
und dann habe ich [mm] \nabla [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} u_x(x) \\ u_y(x) \\ u_z(x) \end{pmatrix} [/mm] gerechnet und bin auf [mm] (\bruch{du_z}{dy}-\bruch{du_y}{dz}, \bruch{du_x}{dz}-\bruch{du_z}{d_x}, \bruch{du_y}{d_x}-\bruch{du_x}{dy}) [/mm]
stimmt das so? und was kann mir das sagen?
Vielen lieben Dank! :) :)
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 02.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ich habe jetzt für F [mm]-\nabla*U(x)[/mm] eingesetzt
> [mm]\bruch{d}{dt}*(-\nabla*U(x))[/mm]
> [mm]-\nabla*U(x)=-\begin{pmatrix} u_x(x) \\ u_y(x) \\ u_z(x) \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} u_x(x)\bruch{d}{dt} \\ u_y(x)\bruch{d}{dt} \\ \bruch{d}{dt}u_z(x)ß\end{pmatrix}[/mm]
>
> kann ich das noch vereinfachen?
Sorry, da habe ich links $F(x(t)$ statt $U(x(t))$ geschrieben. Nach der Kettenregel ist
[mm]\bruch{d}{dt} \Phi(x(t)) = (\nabla \Phi)(x(t)) * x'(t) = - F(x(t))*x'(t) [/mm]
Wenn du hier beide Seiten ins Integral einsetzt und den Hauptsatz anwendest, ist:
[mm]\integral_a^b F(x(t))*x'(t) dt = - \integral_a^b \bruch{d}{dt} \Phi(x(t)) dt = -( \Phi(x(b)) - \Phi(x(a))) [/mm]
>
> und dann habe ich [mm]\nabla[/mm] x [mm]\begin{pmatrix} u_x(x) \\ u_y(x) \\ u_z(x) \end{pmatrix}[/mm]
> gerechnet und bin auf [mm](\bruch{du_z}{dy}-\bruch{du_y}{dz}, \bruch{du_x}{dz}-\bruch{du_z}{d_x}, \bruch{du_y}{d_x}-\bruch{du_x}{dy})[/mm]
> stimmt das so? und was kann mir das sagen?
Fast 
Erst einmal sind alle Ableitungen partielle Ableitungen, also z.B. [mm] $\bruch{\partial u_z}{\partial y}$, [/mm] nicht [mm] $\bruch{du_z}{dy}$.
[/mm]
Dann ist doch z.B. [mm] $u_y=\bruch{\partial u}{\partial y}$, [/mm] also steht da
[mm] \left(\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial y}, \bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial x},\bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial y}-\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial x}\right) [/mm]
Was kommt also heraus?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen, vielen Dank für Deine Hilfe!
also ja, partiell, das wollte ich eigentlich auch schreiben :D
$ [mm] \left(\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial y}, \bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial x},\bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial y}-\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial x}\right) [/mm] $
Was kommt also heraus?
da kommt dann 0 raus? :)
ist das dann schon die erklärung?
vielen lieben dank und einen schönen abend :) :)
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 02.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vielen, vielen Dank für Deine Hilfe!
> also ja, partiell, das wollte ich eigentlich auch
> schreiben :D
>
>
> [mm]\left(\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial y}, \bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial z}-\bruch{\partial^2 u}{\partial z\partial x},\bruch{\partial^2 u}{\partial x\partial y}-\bruch{\partial^2 u}{\partial y\partial x}\right)[/mm]
>
> Was kommt also heraus?
>
> da kommt dann 0 raus? :)
>
> ist das dann schon die erklärung?
Ja, denn wenn die Kraft von einem Potential herkommt, also [mm] $F=-\nabla [/mm] U$, dann hast du mit dieser Rechnung herausbekommen, dass [mm] $\nabla \times [/mm] F=0$ ist.
Die Umkehrung (aus [mm] $\nabla \times [/mm] F=0$ folgt [mm] $F=-\nabla [/mm] U$) gilt, wenn die Kraft im ganzen Raum definiert ist (die genaue Formulierung spare ich mir, die würde hier zu weit führen)
Viele Grüße
Rainer
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