Linienintegral < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Linienintegral $ [mm] \integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] }
[/mm]
längs der Punkte A=(0;0) und B=(2;4).
Der Weg $ [mm] C_1 [/mm] $ kann beschrieben werden durch$ [mm] s(t)=\vektor{t \\ 2t} [/mm] $ mit $ t=[0;2] $. |
Hallo,
und hier schon die nächste Frage.
Wir haben in der Vorlesung das Linienintegral nur berechnet in der Schreibweise das $ F(x) $ ein Vektor ist bzw wie einer geschrieben wird. Also z.B. so:
$ [mm] F(x)=\pmat{ x & y^2 \\ x & y } [/mm] $.
In der Schreibweise weiß ich nun gar nicht wie ich an die Sache rangehen soll und aus den Lösungen im Buch werde ich auch nicht schlau.
Gruß und Danke!
'Tschuldigung ich habe mir vorgenommen meine Fragen explizieter zu stellen. Also ich habe das nun so aufgefasst, dass ich das ganze so schreiben kann in meiner Aufgabe:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{\vektor{y \\ x^2+xy} \cdot \vektor{1 \\ 2t}} [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{2}{(y+(x^2+xy \cdot 2 \cdot t))dt} [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{2}{(t^2+(t^2+t \cdot t^2 \cdot 2 \cdot t))dt} [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{2}{(2t^2+2 \cdot t^4))dt} [/mm] $
$ [ [mm] \bruch{2}{3}t^3+\bruch{2}{5}t^5 [/mm] ] [mm] \approx [/mm] 18
Die Lösung sagt etwas anderes. Bin ich auf dem falschen Weg oder hat sich nur der Fehlerteufel eingeschlichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Linienintegral $ [mm]\integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] }[/mm]
>
> längs der Punkte A=(0;0) und B=(2;4).
> Der Weg [mm]C_1[/mm] kann beschrieben werden durch[mm] s(t)=\vektor{t \\ 2t}[/mm]
> mit [mm]t=[0;2] [/mm].
>
> Hallo,
> und hier schon die nächste Frage.
> Wir haben in der Vorlesung das Linienintegral nur
> berechnet in der Schreibweise das [mm]F(x)[/mm] ein Vektor ist bzw
> wie einer geschrieben wird. Also z.B. so:
> [mm]F(x)=\pmat{ x & y^2 \\ x & y } [/mm].
Das ist aber eine Matrix die von x und y abhängt !
>
> In der Schreibweise weiß ich nun gar nicht wie ich an die
> Sache rangehen soll und aus den Lösungen im Buch werde ich
> auch nicht schlau.
>
> Gruß und Danke!
>
> 'Tschuldigung ich habe mir vorgenommen meine Fragen
> explizieter zu stellen. Also ich habe das nun so
> aufgefasst, dass ich das ganze so schreiben kann in meiner
> Aufgabe:
> [mm]\integral_{0}^{2}{\vektor{y \\ x^2+xy} \cdot \vektor{1 \\ 2t}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(y+(x^2+xy \cdot 2 \cdot t))dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(t^2+(t^2+t \cdot t^2 \cdot 2 \cdot t))dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(2t^2+2 \cdot t^4))dt}[/mm]
> $ [
> [mm]\bruch{2}{3}t^3+\bruch{2}{5}t^5[/mm] ] [mm]\approx[/mm] 18
>
> Die Lösung sagt etwas anderes.
kein Wunder, denn oben sind einige Fehler drin. Rechne nochmal und zwar so, mit $ [mm] s(t)=\vektor{t \\ 2t} =\vektor{s_1(t) \\ s_2(t)}$:
[/mm]
$ [mm] \integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)*s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))*s_2'(t)] dt}$
[/mm]
FRED
> Bin ich auf dem falschen
> Weg oder hat sich nur der Fehlerteufel eingeschlichen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> kein Wunder, denn oben sind einige Fehler drin. Rechne
> nochmal und zwar so, mit [mm]s(t)=\vektor{t \\ 2t} =\vektor{s_1(t) \\ s_2(t)}[/mm]:
>
> [mm]\integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)*s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))*s_2'(t)] dt}[/mm]
Was ist den $ [mm] s_1(t) [/mm] $ $ [mm] s_1'(t) [/mm] $ $ [mm] s_2(t) [/mm] $ und $ [mm] s_2'(t) [/mm] $ ?
$ s' $ ist die Ableitung aber was ist $ [mm] s_1 [/mm] $ und $ [mm] s_2 [/mm] $ ?
Gruß
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Hallo Haiza,
>
> > kein Wunder, denn oben sind einige Fehler drin. Rechne
> > nochmal und zwar so, mit [mm]\red{s(t)=\vektor{t \\
2t} =\vektor{s_1(t) \\
s_2(t)}}[/mm]:
>
> >
> > [mm]\integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)*s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))*s_2'(t)] dt}[/mm]
>
> Was ist den [mm]s_1(t)[/mm] [mm]s_1'(t)[/mm] [mm]s_2(t)[/mm] und [mm]s_2'(t)[/mm] ?
![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Das steht doch fett oben drüber. Fred hat es dir doch hingeschrieben, ich habe es nochmal rot markiert.
[mm]s_1, s_2[/mm] sind die Komponentenfunktionen von $s$ ...
>
> [mm]s'[/mm] ist die Ableitung aber was ist [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] ?
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Hm...
Ich glaub ich verstehe euch nicht korrekt. Also so:
$ [mm] s_1(t)=t s_1'(t)=1 [/mm] $
$ [mm] s_2(t)=2t s_2'(t)=2 [/mm] $
Eingesetzt in:
$ [mm] \integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)\cdot{}s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))\cdot{}s_2'(t)] dt} [/mm] $
ergibt das:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{[2t \cdot{}1+(t^2+t \cdot 2t)\cdot{}2] dt} [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{2}{2t+t^2+2t^2} [/mm] $
$ [mm] [t^2+ \bruch{1}{3}t^3+\bruch{3}{2}t^3]_0^2 [/mm] $
$ [mm] 2^2+ \bruch{1}{3}2^3+\bruch{3}{2}2^3= [/mm] 18,66 $
Andere Rechnung aber selber Ergebnis. Wo liegt mein Fehler und vorallem habe ich in obrigen Rechnung ja nicht einmal die Funktion $ F $mit drin.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 15.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hm...
>
> Ich glaub ich verstehe euch nicht korrekt. Also so:
>
> [mm]s_1(t)=t s_1'(t)=1[/mm]
> [mm]s_2(t)=2t s_2'(t)=2[/mm]
>
> Eingesetzt in:
> [mm]\integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)\cdot{}s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))\cdot{}s_2'(t)] dt}[/mm]
>
> ergibt das:
> [mm]\integral_{0}^{2}{[2t \cdot{}1+(t^2+t \cdot 2t)\cdot{}2] dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{2t+t^2+2t^2}[/mm]
Du hast bei der Stammfunktion einen Dreher drin - mal abgesehen davon, dass man im Integral zusammenfassen sollte.
[mm] $\integral_{0}^{2}{2t+t^2+2t^2}dt$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{2}{2t+3t^2}dt$
[/mm]
$ [mm] =\left[t^{2}+t^{3}\right]_{0}^{2} [/mm] $
$ [mm] =\left[2^{2}+2^{3}\right]-\left[0^{2}+0^{3}\right] [/mm] $
$ =4+8 $
$ =12 $
> [mm][t^2+ \bruch{1}{3}t^3+\bruch{3}{2}t^3]_0^2[/mm]
Die Stammfunktion zu dem Summanden 2t² wäre [mm] \frac{2}{3}t^{3} [/mm] gewesen
> [mm]2^2+ \bruch{1}{3}2^3+\bruch{3}{2}2^3= 18,66[/mm]
>
> Andere Rechnung aber selber Ergebnis. Wo liegt mein Fehler
> und vorallem habe ich in obrigen Rechnung ja nicht einmal
> die Funktion [mm]F [/mm]mit drin.
>
> Gruß
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Also erstmal verstehe ich nicht warum ich die Stammfunktion $ [mm] \vec{F} [/mm] $ nicht mit drin habe. Dann stimmt das Ergebnis nicht mit der Lösung überein und dazu kommt noch dass ich grade als Tipp von unserem Prof gelesen habe, $ [mm] \vec{F} [/mm] $ so zu schreiben:
$ [mm] \vec{F}= \vektor{y \\ x^2+xy} [/mm] $.
Also beziehe ich mich nochmal auf meine erste Rechnung wo auch um die 18 raus kamen. Wo war dort der Fehler?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also erstmal verstehe ich nicht warum ich die Stammfunktion
> [mm]\vec{F}[/mm] nicht mit drin habe. Dann stimmt das Ergebnis
> nicht mit der Lösung überein und dazu kommt noch dass ich
> grade als Tipp von unserem Prof gelesen habe, [mm]\vec{F}[/mm] so zu
> schreiben:
> [mm]\vec{F}= \vektor{y \\ x^2+xy} [/mm].
Mit diesem F ist
$ [mm] \integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] }= \integral_{0}^{2}{F(s(t))*s'(t) dt } [/mm] = [mm] \int\limits_{0}^{2}{(6t^2+2t) \ dt} [/mm] $
FRED
>
> Also beziehe ich mich nochmal auf meine erste Rechnung wo
> auch um die 18 raus kamen. Wo war dort der Fehler?
>
> Gruß
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Hallo,
> Hm...
>
> Ich glaub ich verstehe euch nicht korrekt. Also so:
>
> [mm]s_1(t)=t s_1'(t)=1[/mm]
> [mm]s_2(t)=2t s_2'(t)=2[/mm]
>
> Eingesetzt in:
> [mm]\integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)\cdot{}s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))\cdot{}s_2'(t)] dt}[/mm]
>
> ergibt das:
> [mm]\integral_{0}^{2}{[2t \cdot{}1+(t^2+t \cdot 2t)\cdot{}2] dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{2t+t^2+2t^2}[/mm]
Es ist doch wohl [mm] $(t^2+t\cdot{}2t)\cdot{}2=3t^2\cdot{}2=6t^2$
[/mm]
Nun berechne nochmal [mm] $\int\limits_{0}^{2}{(6t^2+2t) \ dt}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Nun berechne nochmal [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2+2t) \ dt}[/mm]
Ist falsch. Wenn müsste es [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2-2t) \ dt}[/mm] heißen.
Dann stimmt die Lösung und es kommt 20 raus. Aber warum ist meine Funktion $ [mm] \vec{F} [/mm] $ nun nicht mit einbezogen, das verstehe ich nicht. Dann ist es ja völlig egal worum es geht in der Aufgabe solange s(t) definiert ist.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nun berechne nochmal [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2+2t) \ dt}[/mm]
>
> Ist falsch. Wenn müsste es [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2-2t) \ dt}[/mm]
> heißen.
Nein.
> Dann stimmt die Lösung und es kommt 20 raus.
Nein
> Aber warum
> ist meine Funktion [mm]\vec{F}[/mm] nun nicht mit einbezogen, das
> verstehe ich nicht. Dann ist es ja völlig egal worum es
> geht in der Aufgabe solange s(t) definiert ist.
Schau hier:
https://matheraum.de/read?i=815932
FRED
>
> Gruß
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Hallo nochmal,
> > Nun berechne nochmal [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2+2t) \ dt}[/mm]
>
> Ist falsch.
Wieso das? Obiges Integral ergibt 20
> Wenn müsste es [mm]\int\limits_{0}^{2}{(6t^2-2t) \ dt}[/mm]
> heißen.
Woher sollte das "-" kommen?
> Dann stimmt die Lösung und es kommt 20 raus.
Tut es nicht, es kommt 12 raus!
> Aber warum
> ist meine Funktion [mm]\vec{F}[/mm] nun nicht mit einbezogen, das
> verstehe ich nicht. Dann ist es ja völlig egal worum es
> geht in der Aufgabe solange s(t) definiert ist.
>
> Gruß
>
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Jetzt hab ich es kapiert.
Ich habe von Anfang an den Ausdruck:
$ [mm] \integral_{}^{C}{[y dx+(x^2+xy)dy] } =\integral_{0}^{2}{[s_2(t)\cdot{}s_1'(t)+(s_1(t)^2+s_1(t)s_2(t))\cdot{}s_2'(t)] dt} [/mm] $
falsch aufgenommen. Ich dachte das wäre eine allgemeine Formel weil ich es so verstanden hatte, das mein Rechenweg oben völlig falsch war.
Jetzt habe ich grade meine Rechnung oben wiederholt und festgestellt das ist s(t) nicht korrekt abgeleitet hatte. Nachdem ich korrekt abgeleitet hatte habe ich jetzt auch auf "meine" Rechenweise die richtige Lösung raus bekommen.
Ich war verwirrt. Ich Entschuldige mich hiermit bei euch.
Danke für die großartige Unterstützung und das ihr immer so schnell Antwortet. Schade, dass es keinen "Danke -Button" gibt.
Gruß
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