Lineasierung < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 17.09.2007 | | Autor: | sarose |
| Aufgabe | Der zeitliche Verlauf einer Epidemie kann mathematisch beschrieben werden. Hierbei kann die gesamte Bevölkerung in vier Gruppen eingeteilt werden:
Gruppe 1: [mm] $\dot x_{1}(t)=-\alpha*x_{1}(t)*x_{2}(t) [/mm] $
Gruppe 2: [mm] $\dot x_{2}(t)=-x_{2}(t)+\alpha*x_{1}(t)*x_{2}(t)$
[/mm]
Gruppe 3: [mm] $\dot x_{3}(t)=\beta*x_{2}(t)$
[/mm]
Gruppe 4: [mm] $\dot x_{4}(t)=(1-\beta)*x_{2}(t)$
[/mm]
a) Linearisieren Sie die Gleichungen der Gruppe 1 und 2.
Lösung:
gruppe 1: [mm] $\dot x_{1}(t)= [/mm] - [mm] \alpha* x_{1}(t) [/mm] - [mm] \alpha* x_{2}(t)$
[/mm]
gruppe 2: [mm] $\dot x_{2}(t)= \alpha* x_{1}(t) [/mm] + [mm] (\alpha-1)* x_{2}(t)$
[/mm]
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Leider ist es mir nicht möglich das Ganze nachzuvollziehen. Bisher habe ich nur eine Kurve linearisiert mit Hilfe der Steigung.
Das geht hier ja nicht, oder?
Gruß Sarose
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Hi
ich habe das so errechnet / nachvollzogen ...
du hast ja Gruppe1 und Gruppe2, ich habe daraus
erstmal eine Matrix gemacht.
A= [mm] \vektor{Gruppe1 \\ Gruppe2} [/mm] = [mm] \vektor{-\alpha*x_{1}(t)*x_{2}(t) \\ -x_{2}(t)+\alpha*x_{1}(t)*x_{2}(t)}
[/mm]
Linearisieren kannst du die Matrix indem du folgendermassen eine 2x2Matrix daraus erzeugst...(Ableitungen/Steigung)
[mm] A_{lin} [/mm] = [mm] \pmat{ 1. Zeile nach x_{1}(t) & 1. Zeile nach x_{2}(t) \\ 2. Zeile nach x_{1}(t) & 2. Zeile nach x_{2}(t) }
[/mm]
[mm] A_{lin} [/mm] = [mm] \pmat{ -\alpha*x_{2}(t) & -\alpha*x_{1}(t) \\ \alpha*x_{2}(t) & \alpha*x_{1}(t)-1 }
[/mm]
nun Alle Summanden die z.B. ein [mm] x_{1}(t) [/mm] als Faktor enthalten auf die linke Spalte der 2x2 Matrix und alle Summanden mit [mm] x_{2}(t) [/mm] als Faktor auf die rechte Spalte. Hier zu beachten... unten rechts steht: [mm] x_{1}(t)*\alpha-1
[/mm]
die -1 bleibt als Summand unten rechts stehen, weil sie kein [mm] x_{1}(t)
[/mm]
als Faktor enthaelt.
und x(punkt)(t) = [mm] \vektor{x_{1}(punkt)(t) \\ x_{2}(punkt)(t)} [/mm] = [mm] A_{lin}*\vec{x}(t) [/mm] = [mm] A_{lin}*\vektor{x_{1}(t) \\ x_{2}(t)}
[/mm]
daraus folgt...
[mm] \pmat{ -\alpha & -\alpha \\ \alpha & \alpha-1 } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1}(t) \\ x_{2}(t)} [/mm] = [mm] \vec{x}(punkt)(t) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}(punkt)(t) \\ x_{2}(punkt)(t)} [/mm]
Hoffe das war so verständlich ;p
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 21.09.2007 | | Autor: | sarose |
Habe ich das richtig verstanden, dass du die partiellen Ableitungen bildest und anschließend addierst??
Gruß Sarose
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Sarose,
> Habe ich das richtig verstanden, dass du die partiellen
> Ableitungen bildest
genau ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und anschließend addierst??
nein, addiert wird hier nicht
[mm] \dot \vec{x(t)}=\pmat{ -\alpha & -\alpha \\ \alpha & (\alpha-1) }*\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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