Linearkombination von Vektoren < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 21.03.2013 | | Autor: | gizmo85 |
Ich soll in einer Aufgabe klären, ob Vektor a eine Linearkombination aus Vektor b und c ist. Als weitere Frage, ob die Vektoren eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden.
Ich habe nun die drei Vektoren a,b,c in eine 3x3 Matrix übertragen und die Determinante berechnet, diese ist 0.
Das bedeutet ja, dass keine Basis des [mm] R^3 [/mm] durch diese Vektoren gegeben sind.
Impliziert dieses ebenfalls das a durch b und c kombiniert werden kann? Also ist das allgemein gültig? Oder kann es auch nur sein, dass b und c abhängig sind, und keine generelle Aussage durch die det=0 gemacht werden kann, dass a auch eine Kombination von b und c ist?
Ich möchte nicht wissen wie blöd diese Frage für Mathe Cracks ist, seid nett :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So blöd ist deine Frage gar nicht. 
> Ich soll in einer Aufgabe klären, ob Vektor a eine
> Linearkombination aus Vektor b und c ist. Als weitere
> Frage, ob die Vektoren eine Basis des [mm]R^3[/mm] bilden.
>
> Ich habe nun die drei Vektoren a,b,c in eine 3x3 Matrix
> übertragen und die Determinante berechnet, diese ist 0.
>
> Das bedeutet ja, dass keine Basis des [mm]R^3[/mm] durch diese
> Vektoren gegeben sind.
Ja: und es bedeutet natürlich, dass a, b und c linear abhängig sind.
> Impliziert dieses ebenfalls das a durch b und c kombiniert
> werden kann? Also ist das allgemein gültig? Oder kann es
> auch nur sein, dass b und c abhängig sind, und keine
> generelle Aussage durch die det=0 gemacht werden kann, dass
> a auch eine Kombination von b und c ist?
>
Nein, das impliziert es nicht. Gegenbeispiel: die Vektoren
[mm] \vec{a}=\vektor{1\\1\\1}, \vec{b}=\vektor{2\\2\\2} [/mm] und [mm] \vec{c}=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
sind sicherlich linear abhängig und ihre Determinante (so man sie als Matrix zusammenfasst) wäre 0. Dennoch lässt sich c nicht als Linearkombination von a und b schreiben.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 21.03.2013 | | Autor: | gizmo85 |
Danke schon einmal für die schnelle Antwort!
Ich verwende hier mal die konkreten Zahlen, vielleicht gibt es ja eine sehr einfache oder offensichtliche Lösung
[mm] a=\vektor{1 \\ 1\\ 1}, b=\vektor{1\\ 9\\ -5}, c=\vektor{1 \\ -3\\ 4}
[/mm]
Wie kann ich in diesem Fall am einfachsten herausfinden, mit welchen Skalaren ich die Vektoren b und c multiplizieren muss, um addiert eine Kombination von a abzubilden? Bleibt nur das Gauß'sche Eliminationsverfahren?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke schon einmal für die schnelle Antwort!
>
> Ich verwende hier mal die konkreten Zahlen, vielleicht gibt
> es ja eine sehr einfache oder offensichtliche Lösung
>
> [mm]a=\vektor{1 \\ 1\\ 1}, b=\vektor{1\\ 9\\ -5}, c=\vektor{1 \\ -3\\ 4}[/mm]
>
> Wie kann ich in diesem Fall am einfachsten herausfinden,
> mit welchen Skalaren ich die Vektoren b und c
> multiplizieren muss, um addiert eine Kombination von a
> abzubilden? Bleibt nur das Gauß'sche
> Eliminationsverfahren?
Was heißt hier 'nur'?  Das ist doch sicherlich die eleganteste Methode. Sicherlich: du kannst es auch als 3x2-LGS ausschreiben, aber wenn du das dann löst, machst du mathematisch gesehen ja auch nichts anderes als bei Gauß.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
