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Hallo ich habe folgende Aufgabe:
Pruefen auf lineare Unabhaengigkeit (4 Punkte)
Wir definieren drei Vektoren.
> v1:=<1,2,1,5>;
> v2:=<1,2,1,2>;
> v3:=<2,4,2,7>;
Mit Maple koennen wir auf einfache Weise Linearkombinationen von Vektoren berechnen, z.B. mit den Koeffizienten 1,-2,4 ....
> 1*v1-2*v2+4*v3;
oder auch mit den Unbestimmten a,b,c
> a*v1+b*v2+c*v3;
[ a + b + 2 c ]
[2 a + 2 b + 4 c]
[ a + b + 2 c ]
[5 a + 2 b + 7 c]
Um nun zu pruefen, ob die Vektoren v1,v2 und v3 linear unabhaengig sind, fassen wir diese Linearkombination zusammen (das Zeichen % im Argument von evalm() bedeutet, dass an dessen Stelle die letzte Eingabe gesetzt wird, hier also die Linearkombination)
> L:=evalm(%);
L := [a + b + 2 c, 2 a + 2 b + 4 c, a + b + 2 c, 5 a + 2 b + 7 c]
Wir setzen die linken Seiten gleich Null und lassen diese Gleichungen von Maple loesen. (Was ist wohl L[1]?)
> solve({L[1]=0,L[2]=0,L[3]=0,L[4]=0},{a,b,c});
{b = -c, a = -c, c = c}
SO bis dahin kein Problem:
Aber wie gehts weiter?? Ich habe keine Ahnung welcher befehl das sein könnte
Geben Sie nun drei unterschiedliche Linearkombinationen von v1,v2 und v3 an, die den Nullvektor ergeben. (3 Punkte)
Sind die Vektoren v1, v2 und v3 linear unabhaengig? (1 Punkt)
Vielen Dank
Christin
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Liebe Christin,
wenn Du bei der Lösung von Gleichungssystemen auf Gleichungen wie c=c stößt, dann ist diese Gleichung offenbar für jedes von Dir gewählte c gültig. Die drei Beispiele, die gefordert waren, können also z.B. für c=1, c=2, c=3 angegeben werden (a und b ergeben sich ja aus c).
Manchmal erhält man bei Computeralgebra Systemen auch Gleichungen wie 1=1 oder gleich "true" als Teil einer Lösung. Dann fehlt in den anderen Gleichungen, die zurückgegeben wurden aber mindestens eine der Variablen, für die gelöst werden sollte. Diese können dann frei aus dem Definitionsbereich gewählt werden. Deshalb spricht man auch vom Freiheitsgrad oder von unterbestimmten Gleichungssystemen (als Tipp für das Schlagwortregister von Mathebüchern).
Alles Gute,
Peter
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