Linearität des Integrals < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 18.04.2007 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,R,\mu) [/mm] ein Maßraum und E [mm] \subset [/mm] X eine messbare Menge. Gegeben seien zwei auf E integrierbare Funktionen f und g.
Zeigen Sie: [mm] \integral_{E}^{}{(f+g) d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{E}^{}{f d\mu} [/mm] + [mm] \integral_{E}^{}{g d\mu} [/mm] |
Hallo!
Zu beweisen ist ja quasi die Linearität des Integrals, oder?
Aber wie mache ich das am Besten? Kann mir einer mit einem Ansatz helfen?
Vielen Dank!
papillon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Sa 21.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde versuchen, das ganze von hinten aufzuzäumen.
Also:
$ [mm] \integral_{E}^{}{f d\mu} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{E}^{}{g d\mu} [/mm] $
Und jetzt die Definition des Integrales benutzen, und dann so umformen, dass ich am Ende (F+G)'habe, dass ist ja dann [mm] \integral_{E}(f+g)d\mu
[/mm]
Marius
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Danke erstmal!
Hab mir schon gedacht, dass es so gehen könnte. Aber ich komme nicht ganz durch damit:
[mm] \integral_{E}^{}{f d\mu} [/mm] + [mm] \integral_{E}^{}{g d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{E}^{}{f^{+} d\mu} [/mm] - [mm] \integral_{E}^{}{f^{-} d\mu} [/mm] + [mm] \integral_{E}^{}{g^{+} d\mu} [/mm] - [mm] \integral_{E}^{}{g^{-} d\mu} [/mm]
Wieso kann ich das jetzt einfach zu [mm] \integral_{E}^{}{(f+g) d\mu} [/mm] zusammenfassen? Diese letzten Schritt würde ich gerne noch erläutert bekommen!
Danke, papillon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 24.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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