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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:24 Sa 09.05.2009 | | Autor: | jansimak |
| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Optimierungsproblem
2x1 + 3x2 = min
x1 + x2 [mm] \le [/mm] 1
3x1 + 2x2 [mm] \ge [/mm] -5
x1,x2 [mm] \ge [/mm] 0
Bringen Sie das LP auf Standardform und berechnen Sie sämtliche Basislösungen. Welche Lösungen sind zulässig? Welche Ecken sind degeneriert, welche nicht? |
Mein Lösungsansatz:
1) LP auf Standardform bringen
2x1 + 3x2 = min
x1 + x2 + x3 = 1
-3x1 - 2x2 + x4 = 5
2) Berechnen Sie sämtliche Basislösungen
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 0 &\mid&1 \\ -3 & -2 & 0 & 1 & \mid & 5 }
[/mm]
ZSF:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & \mid & 8 }
[/mm]
Spezielle Lösung:
x1 = -7
x2 = 8
x3 = 0
x4 = 0
ZF: 2(-7) + 3(8) = 10
Allgemeine Lösung:
x1 = -7 +2x3 + x4
x2 = 8 - 3x3 - x4
ZF: 2x1 + 3x2 = 10 - 5x3 - x4
Verkleinerung des Zielwertes durch Vergrößerung von x3, dabei ist x2 der Engpass
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & \mid & 8 }
[/mm]
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1/3 & 1 & 1/3 & \mid & 8/3 }
[/mm]
[mm] \vmat{ 1 & 2/3 & 0 & - 1/3 &\mid&- 5/3 \\ 0 & 1/3 & 1 & 1/3 & \mid & 8/3 }
[/mm]
Spezielle Lösung:
x1= -5/3
x2=0
x3= 8/3
x4=0
ZF: 2(-5/3) = -10/3
Allgemeine Lösung:
x1 = -5/3 - 2/3 x2 + 1/3 x4
x3 = 8/3 -1/3 x2 - 1/3 x4
ZF:
2(-5/3 - 2/3 x2 + 1/3 x4) + 3x2
= -10/3 - 4/3 x2 + 2/3 x4 + 3x2
= -10/3 + 5/3 x2 + 2/3 x4
Durch Vergrößerung von x2,x4 keine Verbesserung des Funktionswertes mehr erreichbar.
So und jetzt weiß ich zum einen nicht, ob ich richtig gerechnet habe und zum anderen, ob ich jetzt zwei degenerierte Ecken vorliegen habe. Wir haben als Definition lediglich bekommen, dass eine Ecke degeneriert ist, wenn m Einträge in (x1,...xn) > 0 sind.
Das wäre meines Erachtens genau hier der Fall. Aber was bedeutet eine degenerierte Ecke denn geometrisch? Wir haben uns im zweidimensionalen Raum die "Ecken" angeschaut, aber wenn ich zwei zusätzliche Variablen einführe (Schlupfvariablen), dann erweitere ich den Raum doch in den [mm] R^4 [/mm] oder nicht? Wie wirken sich also zum einen die Schlupfvariablen aus und was bedeutet in diesem Zusammenhang eine degnerierte Ecke?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Sa 09.05.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Gegeben sei das lineare Optimierungsproblem
>
> 2x1 + 3x2 = min
> x1 + x2 [mm]\le[/mm] 1
> 3x1 + 2x2 [mm]\ge[/mm] -5
> x1,x2 [mm]\ge[/mm] 0
>
> Bringen Sie das LP auf Standardform und berechnen Sie
> sämtliche Basislösungen. Welche Lösungen sind zulässig?
> Welche Ecken sind degeneriert, welche nicht?
> Mein Lösungsansatz:
>
> 1) LP auf Standardform bringen
>
> 2x1 + 3x2 = min
> x1 + x2 + x3 = 1
> -3x1 - 2x2 + x4 = 5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] x_1,x_2,x_3,x_4\ge{0}. [/mm] Ganz wichtig, sonst führt es nur unnötig zu Punktabzügen. Und das solltest du auch in deinen folgenden Rechnungen beachten.
Wie sieht denn der zulässige Bereich S des linearen Programms aus?
Es ist
[mm] 2x_1+3x_2=min
[/mm]
[mm] x_1+x_2+x_3=1
[/mm]
[mm] -3x_1-2x_2+x_4=5
[/mm]
[mm] x_1,x_2,x_3,x_4\ge{0}
[/mm]
Definieren wir uns [mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 1 }, x:=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}, b:=\vektor{1 \\ 5}
[/mm]
Dann ist [mm] S:=\{x|A*x=b,x_i\ge{0},i=1,2,3,4\} [/mm] die zulässige Menge des Problems.
> 2) Berechnen Sie sämtliche Basislösungen
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 & 0 &\mid&1 \\ -3 & -2 & 0 & 1 & \mid & 5 }[/mm]
>
Soweit reicht es eigentlich schon. Du wählst nun zwei Basisvariablen und dementsprechend ergeben sich zwei Nichtbasisvariablen. Beachte, Naichtbasisvariablen werden auf 0 gesetzt.
> ZSF:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & \mid & 8 }[/mm]
>
> Spezielle Lösung:
>
> x1 = -7
> x2 = 8
> x3 = 0
> x4 = 0
Das Vorgehen ist korrekt; du hast als Basisvariablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gewählt. Stellt sich nur die Frage:
Kann das wirklich eine zulässige Basislösung sein? Bedenke: [mm] x_1\ge{0} [/mm] nach Voraussetzung!
> ZF: 2(-7) + 3(8) = 10
>
> Allgemeine Lösung:
>
> x1 = -7 +2x3 + x4
> x2 = 8 - 3x3 - x4
>
> ZF: 2x1 + 3x2 = 10 - 5x3 - x4
> Verkleinerung des Zielwertes durch Vergrößerung von x3,
> dabei ist x2 der Engpass
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & \mid & 8 }[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & -2 & -1 &\mid&-7 \\ 0 & 1/3 & 1 & 1/3 & \mid & 8/3 }[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2/3 & 0 & - 1/3 &\mid&- 5/3 \\ 0 & 1/3 & 1 & 1/3 & \mid & 8/3 }[/mm]
>
> Spezielle Lösung:
>
> x1= -5/3
> x2=0
> x3= 8/3
> x4=0
Auch das ist korrekt. Du hast als Basisvariablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] gewählt.
Auch hier gilt: Kann das wirklich eine zulässige Basislösung sein? Bedenke: [mm] x_1\ge{0} [/mm] nach Voraussetzung!
> ZF: 2(-5/3) = -10/3
>
> Allgemeine Lösung:
>
> x1 = -5/3 - 2/3 x2 + 1/3 x4
> x3 = 8/3 -1/3 x2 - 1/3 x4
>
> ZF:
>
> 2(-5/3 - 2/3 x2 + 1/3 x4) + 3x2
> = -10/3 - 4/3 x2 + 2/3 x4 + 3x2
> = -10/3 + 5/3 x2 + 2/3 x4
>
> Durch Vergrößerung von x2,x4 keine Verbesserung des
> Funktionswertes mehr erreichbar.
> So und jetzt weiß ich zum einen nicht, ob ich richtig
> gerechnet habe und zum anderen, ob ich jetzt zwei
> degenerierte Ecken vorliegen habe.
Bis hier hast du keine zulässigen Basislösungen gefunden, da die Restriktion [mm] x\ge{0} [/mm] in beiden Fällen verletzt wurde.
> Wir haben als Definition
> lediglich bekommen, dass eine Ecke degeneriert ist, wenn m
> Einträge in (x1,...xn) > 0 sind.
Also wir haben es so definiert: Eine degenerierte Ecke liegt vor, wenn in einer zulässigen Basislösung eine Basisvariable den Wert 0 hat.
> Das wäre meines Erachtens genau hier der Fall. Aber was
> bedeutet eine degenerierte Ecke denn geometrisch? Wir haben
> uns im zweidimensionalen Raum die "Ecken" angeschaut, aber
> wenn ich zwei zusätzliche Variablen einführe
> (Schlupfvariablen), dann erweitere ich den Raum doch in den
> [mm]R^4[/mm] oder nicht? Wie wirken sich also zum einen die
> Schlupfvariablen aus und was bedeutet in diesem
> Zusammenhang eine degnerierte Ecke?
Geometrisch ist eine degenerierte Ecke folgendes: Wir befinden uns im [mm] \IR^2. [/mm] Wenn sich im [mm] \IR^2 [/mm] mehr als 3 Hyperbenen in einem zulässigen Eckpunkt schneiden, liegt eine degenerierte Ecke vor. Allgemein: Wenn sich im [mm] \IR^n [/mm] mehr als n Hyperbenen in einem zulässigen Eckpunkt schneiden, liegt eine degenerierte Ecke vor!
Zurück zu deinem konkreten Beispiel. Du hast einmal [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] als Basisvariablen genommen und ein anderes Mal [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Du musst, wenn du wild drauf losrechnest, was in dieser Aufgabe ja gefordert ist, alle möglich Kombinationen von Basisvariablen durchgehen. Sprich, du musst [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] Kombinationen ausprobieren, da du aus den insgesamt 4 Variablen [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] immer nur zwei für deine Basis auswählen musst. Da kann es dann passieren, dass du auf unzulässige Lösungen triffst - wie in deinem Falle, siehe oben. Das soll ja dann später mit dem Simplexalgorithmus behoben werden. Der Simplex prüft nämlich nur alle zulässigen Basislösungen auf deren Optimalität.
Wenn du alle Kombinationen ausprobiert und den jeweiligen Zielfunktionswert berechnet hast, wirst du als optimale Lösung:
Basisvariablen [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] und dementsprechend Nichtbasisvar. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit ZF 3
erhalten!
MfG barsch
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