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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 28.10.2007 | | Autor: | Jacek |
Hi, ich habe nach der ersten Vorlesung einige Aufgaben zu lösen. Darunter auch eine Aufgabe zur linearen Optimierung.
Bei dieser Augabe habe ich so meine Probleme...
Die Aufgabe lautet:
"Eine Gärtnerei kann von einem Nachbargrundstück bis zu 5 ha Land erwerben. Das Land soll teilweise als Freiland, aber auch mit Folie überdacht bewirtschaftet werden.
Für die Bewirtschaftung stehen mehr als 420 Arbeitstage pro Jahr zur Verfügung. 1 ha Freiland erfordert 40 Arbeitstage im Jahr, während 1 ha überdachtes Land 240 Arbeitstage jährlich benötigt.
An Kosten entstehen für 1 ha Freiland pro Jahr 800, dagegen fallen für 1 ha überdachtes Land pro Jahr 2400 an, wobei die Baukosten der Überdachung nicht berücksitigt werden. Die Gärtnerei möchte die Kosten auf insgesamt 4800 im Jahr beschränken.
Der voraussichtliche jährliche Reingewinn pro ha Freiland beträgt 100, 1 ha überdachtes Land erwirtschaftet 200.
Wie viel Land sollte die Gärtnerei kaufen & wie viel ha dann mit Folie überdecken, wenn der jährliche Gewinn möglichst groß sin soll?"
Ich muss dieses u.a. graphisch darstellen, dazu benötige ich jedoch zu erst die einzelnen Gleichungen...
Bei diesen habe ich so meine Probleme...
2 Gleichungen müssten stimmen:
[mm] 40x_{1} [/mm] + [mm] 240x_{2} \le [/mm] 420
[mm] 800x_{1} [/mm] + [mm] 2400x_{2} \le [/mm] 4800
meine Frage:
Was mache ich mit der anfänglichen Info: 5 ha Land, teilweise überdachte, teilweise nicht.
Sowie mit dem Reingewinn von 100 bzw 200 pro ha FreiLand bzw überdachtem Land.
Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen könnte.
Wäre nett!!!
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Hallo Jacek!
> "Eine Gärtnerei kann von einem Nachbargrundstück bis zu 5
> ha Land erwerben. Das Land soll teilweise als Freiland,
> aber auch mit Folie überdacht bewirtschaftet werden.
> Für die Bewirtschaftung stehen mehr als 420 Arbeitstage
> pro Jahr zur Verfügung. 1 ha Freiland erfordert 40
> Arbeitstage im Jahr, während 1 ha überdachtes Land 240
> Arbeitstage jährlich benötigt.
> An Kosten entstehen für 1 ha Freiland pro Jahr 800€,
> dagegen fallen für 1 ha überdachtes Land pro Jahr 2400€ an,
> wobei die Baukosten der Überdachung nicht berücksitigt
> werden. Die Gärtnerei möchte die Kosten auf insgesamt 4800€
> im Jahr beschränken.
> Der voraussichtliche jährliche Reingewinn pro ha Freiland
> beträgt 100€, 1 ha überdachtes Land erwirtschaftet 200€.
> Wie viel Land sollte die Gärtnerei kaufen & wie viel ha
> dann mit Folie überdecken, wenn der jährliche Gewinn
> möglichst groß sin soll?"
>
> Ich muss dieses u.a. graphisch darstellen, dazu benötige
> ich jedoch zu erst die einzelnen Gleichungen...
> Bei diesen habe ich so meine Probleme...
>
> 2 Gleichungen müssten stimmen:
> [mm]40x_{1}[/mm] + [mm]240x_{2} \le[/mm] 420
> [mm]800x_{1}[/mm] + [mm]2400x_{2} \le[/mm] 4800
Ich nehme an [mm] x_{1} [/mm] ist die Variable, welche das Freiland und [mm] x_{2} [/mm] welche überdachtes Land darstellen. Unter diesem Aspekt stimmt die erste Restriktion nicht. Laut Aufgabe stehen für die Bewirtschaftung "mehr als 420 Arbeitstage" zur Verfügung. Restriktion I müsste demnach lauten:
Restriktion I: [mm]40x_{1}[/mm] + [mm]240x_{2} \ge[/mm] 420
Deine Restriktion II ist soweit richtig aufgestellt und lautet:
Restriktion II: [mm]800x_{1}[/mm] + [mm]2400x_{2} \le[/mm] 4800
> meine Frage:
> Was mache ich mit der anfänglichen Info: 5 ha Land,
> teilweise überdachte, teilweise nicht.
Im Grunde ist die Antwort recht einfach. In dieser Angabe versteckz sich eine weitere Restriktion, nämlich jene, dass du nicht unendlich viel Farmland zur Verfügung hast sondern lediglich 5 ha. Demnach darf die Summe aus Freiland und überdachter Fläche maximal 5 ha betragen, was uns zu folgender dritter Restriktion führt:
Restriktion III: [mm] x_{1}+x_{2} \le [/mm] 5 ha
> Sowie mit dem Reingewinn von 100€ bzw 200€ pro ha FreiLand
> bzw überdachtem Land.
Mit dieser Angabe bekommst du den Hinweis darauf, nach welchem Kriterium du dein Optimum beurteilst (die sog. Zielfunktion ZF). Offensichtlich soll dein jährlicher Gewinn ja maximal sein. Der Gewinn ergibt sich durch die jeweiligen ha an überdachtem und unüberdachtem Land. Es ist also zu maximieren:
ZF: [mm] Gewinn=100\bruch{Euro}{ha}*x_{1}+200\bruch{Euro}{ha}*x_{2} \to [/mm] Max!
Grafisch sollte das ganze recht einfach zu lösen sein. Mathematisch könnte man hier den Simplex-Algorithmus verwenden. Probiers mal! 
Wenn du noch Fragen oder Probleme haben solltest, dann her damit! 
Gruß,
Tommy
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