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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 03.10.2007 | | Autor: | flooo |
| Aufgabe | Für welchen Wert des Parameters t hat das folgende LGS keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen.
[mm] 2x_{1}+x_{2}+tx_{3}= [/mm] 0
[mm] 2x_{2}+x_{3}= [/mm] t
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}= [/mm] 1 |
Zunächst forme ich um :
[mm] 2x_{1}+x_{2}+tx_{3}= [/mm] 0
[mm] 0x_{1}+\bruch{2x_{2}}{t}+\bruch{x_{3}}{t}= [/mm] 1
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}= [/mm] 1
und bring das ganze in eine Diagonalmatrix
2 1 t 0
0 2/t 1/t 1
1 1 1 1
mit dem Ergebnis
1 0 0 [mm] \bruch{-3t + t^2 +1}{-3+2t}
[/mm]
0 1 0 [mm] \bruch{-2t + t^2 +2}{-3+2t}
[/mm]
0 0 1 [mm] \bruch{-4+t}{-3+2t}
[/mm]
daraus folgere ich dass für
t= 1,5 : keine Lösung
t=4 :genau eine Lösung
t [mm] \in \IR [/mm] ohne 4; 1,5
Stimmt meine Überlegung oder hab ich Fehler
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> Für welchen Wert des Parameters t hat das folgende LGS
> keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen.
> [mm]2x_{1}+x_{2}+tx_{3}=[/mm] 0
> [mm]2x_{2}+x_{3}=[/mm] t
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=[/mm] 1
> Zunächst forme ich um :
>
> [mm]2x_{1}+x_{2}+tx_{3}=[/mm] 0
> [mm]0x_{1}+\bruch{2x_{2}}{t}+\bruch{x_{3}}{t}=[/mm] 1
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=[/mm] 1
>
> und bring das ganze in eine Diagonalmatrix
>
>
> 2 1 t 0
> 0 2/t 1/t 1
> 1 1 1 1
Hallo,
hier schaffst Du Dir durch das Dividieren durch t unnötige Arbeit: Du mußt nun den Fall t=0 gesondert untersuchen.
>
> mit dem Ergebnis
>
> 1 0 0 [mm]\bruch{-3t + t^2 +1}{-3+2t}[/mm]
> 0 1 0 [mm]\bruch{-2t + t^2 +2}{-3+2t}[/mm]
>
> 0 0 1 [mm]\bruch{-4+t}{-3+2t}[/mm]
Du hast, um auf diese Form zu kommen, durch -3+2t dividiert.
Du mußt in solch einem Fall dazuschreiben "für [mm] t\not=1,5" [/mm] und diesen Fall dann gesondert untersuchen.
>
> daraus folgere ich dass für
>
> t= 1,5 : keine Lösung
Das wäre das Ergebnis der Untersuchung des Falles t=1.5
> t=4 :genau eine Lösung
das stimmt zwar, aber warum hast Du t=4 einzeln untersucht???
(Ich weiß es natürlich, warum Du das getan hast... Du hast das gemacht, weil da die rechte Seite in der unteren Zeile =0 wird, aber das interessiert gar nicht, denn Du hast ja für [mm] t\not=1.5 [/mm] keine Leerzeile in Deiner umgeformten Koeffizientenmatrix.)
> t [mm]\in \IR[/mm] ohne 4; 1,5
Was ist hier??? Du verrätst es gar nicht...
Da für [mm] t\not=1.5 [/mm] die Koeffizientenmatrix stets vollen Rang hat, gibt es immer genau eine Lösung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo flooo,
ganz generell:
Du solltest nur dann durch einen Term mit Variable dividieren, wenn es sich partout nicht vermeiden läßt.
Denn dadurch mußt du i.d.R. einen Fall gesondert untersuchen, nämlich wenn die Variable einen Wert hat, der den Term Null werden läßt.
Du kommst bei der Lösung dieser Aufgabe ohne Division durch t aus.
Nur ganz am Ende mußt du einmal durch 2t-3 dividieren. Daraus ergibt sich dann auch die einzige Fallunterscheidung, wie sie Angela korrekt angegeben hat.
Ich würde vorschlagen, du löst die Aufgabe mit diesen Hnweisen noch einmal.
Liebe Grüße
Will
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