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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lineares Gleichungssystem
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Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Mo 08.11.2004
Autor: susannak

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Habt ihr vielleicht ne Ahnung wie ich das lösen soll?

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

3x         +5z = 1
-3x -7y  -3z = 0
6x - 14y+14z=6

(a) Zeigen Sie, dass das System über dem Körper F2 genau 2 Lösungen hat, über R aber unlösbar ist.

(b) Finden Sie ein ganzzahliges Gleichungssystem, das über F2 genau 8 Lösungen und über R genau ein Lösung hat.
        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mo 08.11.2004
Autor: cremchen

Hallo!

> 3x         +5z = 1
>  -3x -7y  -3z = 0
>  6x - 14y+14z=6

> (a) Zeigen Sie, dass das System über dem Körper F2 genau 2
> Lösungen hat, über R aber unlösbar ist.

zuerst wollt ich mal Fragen, wie denn der Körper F2 definiert ist? ist das der Restklassenring, der nur die Elemente 0, 1 enthält, bzw. allen anderen Zahlen ihre Restklassen zuordnet?

Was die Löung über [mm] \IR [/mm] angeht:
Wie weit bist du denn dabei gekommen?
Im Prinzip brauchst du so ja nur normal nach Gauss vorzugehen!
3x+0y+5z=1 (I)
-3x-7y-3z=0  (II)
6x-14y+14z=6   (III)
--------------------------- mit (II)+(I) und (III)-2(I)
3x+0y+5z=1
  -7y+2z=1     (I)
  -14y+4z=4     (II)
--------------------------- mit (II)-2(I)
3x+0y+5z=1
  -7y+2z=1  
       0=2
Das ist offenbar ein Widerspruch, somit besitzt das GS keine Lösung über [mm] \IR. [/mm]

Vielleicht kannst du es nun für F2 allein!?
Wenn nicht melde dich einfach nochmal!

Liebe Grüße
Ulrike

Bezug
                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 08.11.2004
Autor: susannak

Hallo!
Soweit hab ichs auch geschafft.
F2 ist {1,0}, und wie soll ich das dann ausrechnen?

Schon mal Danke!
Bezug
                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mo 08.11.2004
Autor: cremchen


Ok!
Als erstes einmal, mußt du dein Gleichungssystem in den Körper F2 transformieren

du weißt, das 0=0 und 1=1
weiter folgt in diesem Körper 2=0 3=1 4=0 5=1 usw. sowie -1=1 -2=0 -3=1 -4=0 -5=1 usw.

das heißt, für dein GS
3x         +5z = 1
-3x -7y  -3z = 0
6x - 14y+14z=6
ergibt sich:
1x + 0y + 1z=1
1x + 1y + 1z=0
0x + 0y + 0z=0

Nun kannst du wieder Gauss machen, mit der Tatsache, dass im F2 1+1=0 gilt.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!

Liebe Grüße
Ulrike

Bezug
                                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mo 08.11.2004
Autor: susannak

Aha!!! Danke, jetzt hab ich's endlich vestanden.

Bezug
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