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| Aufgabe | Gegeben ist das Gleichungssystem:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] -2\lambda x_{1} [/mm] + [mm] \lambda x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] = 6
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] \lambda x_{3} [/mm] = 1
a) Für welche Werte [mm] \lambda (\lambda \varepsilon \IR) [/mm] ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?
b) Für welche Werte [mm] \lambda [/mm] existieren unendlich viele Lösungen?
c) Für welche Werte [mm] \lambda [/mm] existieren überhaupt keine Lösungen?
d) Man berechne die Lösung für [mm] \lambda [/mm] = 1
e) Man berechne die Lösung zu b) |
Hallo,
die Lösungen sind laut Prof. folgende:
a) [mm] \lambda \not= [/mm] 3 ; [mm] \lambda \not= [/mm] -3/2
b) [mm] \lambda [/mm] = 3
c) [mm] \lambda [/mm] = -3/2
d) [mm] x_{1} [/mm] = -7/10; [mm] x_{2} [/mm] = 1; [mm] x_{3} [/mm] = 2/5
e) [mm] x_{1} [/mm] = t; [mm] x_{2} [/mm] = -4t-1; [mm] x_{3} [/mm] = 2t+1; t [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Leider habe ich keinen Ansatz für die Aufgaben a), b) und c)
Danke und Gruß,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thomas,
stelle doch mal dein gleichungssystem in matrix-schreibweise dar. Eine eindeutige lösung existiert dann genau, wenn die determinante der koeffizienten-matrix ungleich 0 ist. Ist sie gleich 0, gibt es entweder unendlich viele lösungen (als lineare räume) oder gar keine.
Gruß
Matthias
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Hallo,
Klasse das mit den Determinanten kannte ich garnicht mehr und habe erstmal meinen Papula befragt! Aufgabe a) habe ich die richtige Lösung heraus, habe aber noch eine Frage zu b) und c):
Ist definiert, bei welchem Wert es unendlich viele oder garkeine Lösung gibt? Bzw. wie kann ich das berechnen, wenn ich jetzt [mm] \lambda \not= [/mm] 3 und [mm] \lambda \not= [/mm] -3/2 heraus habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Thomas!
> Ist definiert, bei welchem Wert es unendlich viele oder
> garkeine Lösung gibt? Bzw. wie kann ich das berechnen, wenn
> ich jetzt [mm]\lambda \not=[/mm] 3 und [mm]\lambda \not=[/mm] -3/2 heraus
> habe?
Im Prinzip ja! Wenn du die Matrix als lineare Abb. auffaßt, gibt es die beiden Möglichkeiten, daß der Vektor auf der rechten Seite im Bildbereich der linearen Abb. liegt (dann gibt es unendl. viele Lös.) oder er liegt da nicht drin (dann keine).
Rechnerisch merkst du das, wenn du versuchst, die Lösung auszurechnen. Dann endest du mit einer Gleichung vom Typ 0 = 0 (dann viele Lösungen) oder 1 = 0 (dann natürlich keine).
Das ist zugegebenermaßen eine etwas hemdsärmelige Erklärung. In voller Schönheit brauchst du lineare Algebra und Vektorräume dazu.
Gruß
Dieter
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Hallo,
> Rechnerisch merkst du das, wenn du versuchst, die Lösung
> auszurechnen. Dann endest du mit einer Gleichung vom Typ 0
> = 0 (dann viele Lösungen) oder 1 = 0 (dann natürlich
> keine).
Hm wovon die Lösung auszurechnen, also kannst du ein Beispiel geben, bei dem 1=0 oder 0=0 rauskommt?
Gruß,
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi,
setz mal [mm] \lambda [/mm] = 3 ein:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] -6x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] = 6
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 1
Jetzt II durch II + 3*I ersetzen und III durch III - I :
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] 6x_{2} [/mm] + [mm] 12x_{3} [/mm] = 6
[mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 1
Jetzt II durch II - 6*III ersetzen :
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
0 = 0
[mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 1
Da in der Mitte isse!
Den anderen Fall kannste selbst
Gruß
Dieter
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