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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels Normalgleichung:
Minimieren Sie [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2 [/mm] |
Hi,
meine erste Frage hierzu ist:
Ist Minimieren Sie [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2 [/mm] das Gleiche wie Minimieren Sie [mm] \parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2??
[/mm]
Weil ich habe gesehen, dass einige diese 1/2 davor schreiben und andere nicht, hat das eine bestimmte Bedeutung??
Dann wollte ich fragen, ob jemand von euch vielleicht eine Seite kennt, wo so eine Beispielaufgabe mal vorgerechnet wird? Denn irgendwie komme ich damit noch nicht zurecht.
Danke schon mal.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels
> Normalgleichung:
>
> Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm]
> für [mm]x\in \IR^2[/mm]
> Hi,
>
> meine erste Frage hierzu ist:
>
> Ist Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b
> [mm]\parallel_2^2[/mm] für [mm]x\in \IR^2[/mm] das Gleiche wie Minimieren
> Sie [mm]\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm] für [mm]x\in \IR^2??[/mm]
Ja
>
> Weil ich habe gesehen, dass einige diese 1/2 davor
> schreiben und andere nicht, hat das eine bestimmte
> Bedeutung??
Nur eine "kosmetische" !
>
> Dann wollte ich fragen, ob jemand von euch vielleicht eine
> Seite kennt, wo so eine Beispielaufgabe mal vorgerechnet
> wird? Denn irgendwie komme ich damit noch nicht zurecht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate
http://www.mathematik.uni-kl.de/~damm/PRAMA/ausgleich.pdf
FRED
>
> Danke schon mal.
>
> Gruß
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HI FRED,
mir ist gerade erst aufgefallen, dass ich die Aufgabe gar nicht komplett angegeben hatte. Deswegen nochmal:
> Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels Normalgleichung:
> Minimieren Sie $ [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] $ Ax - b $ [mm] \parallel_2^2 [/mm] $ für $ [mm] x\in \IR^2 [/mm] $ mit [mm] A=\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
> Ist das Problem eindeutig lösbar?
Ok, die Normalgleichung lautet ja: [mm] A^T Ax=A^T [/mm] b
damit erhalte ich [mm] A^T [/mm] A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 }\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}=\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 } [/mm] und [mm] A^T [/mm] b= [mm] \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
Damit erhalte ich dann:
[mm] \pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }x= \vektor{2 \\ 3} [/mm] und dann die Lösung:
x= [mm] \vektor{\bruch{-28}{8} \\ \bruch{11}{4}}
[/mm]
Und das ist dann die Lösung meines Minimierungsproblems, richtig??
Und auf die Frage der Eindeutigkeit der Lösung. Ja, die Lösung des Minimierungsproblems ist eindeutig, da Rang [mm] A=2\in \IR^2.
[/mm]
Könnt ihr das so bestätigen?
Grüße
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Hallo jaruleking,
> HI FRED,
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> mir ist gerade erst aufgefallen, dass ich die Aufgabe gar
> nicht komplett angegeben hatte. Deswegen nochmal:
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> > Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels
> Normalgleichung:
>
> > Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm]
> für [mm]x\in \IR^2[/mm] mit [mm]A=\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> > Ist das Problem eindeutig lösbar?
>
> Ok, die Normalgleichung lautet ja: [mm]A^T Ax=A^T[/mm] b
>
> damit erhalte ich [mm]A^T[/mm] A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 }\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}=\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }[/mm]
> und [mm]A^T[/mm] b= [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm]
>
> Damit erhalte ich dann:
>
> [mm]\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }x= \vektor{2 \\ 3}[/mm] und dann die
> Lösung:
>
> x= [mm]\vektor{\bruch{-28}{8} \\ \bruch{11}{4}}[/mm]
>
> Und das ist dann die Lösung meines Minimierungsproblems,
> richtig??
Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.
>
> Und auf die Frage der Eindeutigkeit der Lösung. Ja, die
> Lösung des Minimierungsproblems ist eindeutig, da Rang
> [mm]A=2\in \IR^2.[/mm]
Ok.
>
> Könnt ihr das so bestätigen?
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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HI MathePower,
> Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.
Wo steckt denn der Fehler? ich dachte, man kann es mit der Normalgleichung so rechnen, oder wie muss ich das machen??
grüße
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Hallo jaruleking,
> HI MathePower,
>
> > Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.
>
> Wo steckt denn der Fehler? ich dachte, man kann es mit der
> Normalgleichung so rechnen, oder wie muss ich das machen??
Das ist ja auch richtig so.
Der Fehler ist offenbar beim Auflösen des Gleichungssystems
[mm]\pmat{6 & 7 \\ 7 & 10}x=\pmat{2 \\ 3}[/mm]
passiert, denn der von Dir angegebene Vektor erfüllt
dieses Gleichungssystem nicht.
>
> grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mi 16.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
Achso ok.
Da hatte ich mich wohl verrechnet. aber mit x= $ [mm] \vektor{\bruch{4}{11} \\ \bruch{-1}{11}} [/mm] $ müsste es schon klappen, oder??
Gruß
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Hallo jaruleking,
> Achso ok.
>
> Da hatte ich mich wohl verrechnet. aber mit x=
> [mm]\vektor{\bruch{4}{11} \\ \bruch{-1}{11}}[/mm] müsste es schon
> klappen, oder??
Der Vektor lautet eher:
[mm]x=\pmat{-\bruch{1}{11} \\ \bruch{4}{11}}[/mm]
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 16.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
ohhh m...., da habe ich mich schon wieder verschrieben.
danke.
ciao
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