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Hallo!
Es sei t E IR. Man untersuche, ob U ein linearer Teilraum von IR (hoch n)ist:
n:= 5 , U:= {x/x E IR (hoch 5), 3 x1 + 4 x3 + 2 x5 >=t}
Ich habe nun die Bedingungen für den linearen Teilraum gelernt, weiß allerdings leider überhaupt nicht wie ich an so eine Aufgabe herangehen soll.
Wenn ich z.B. überprüfen soll, dass U den Nullvektor enthält. Kann ich das dann einfach mit 0* x1 + 4 * x3 + 2*x5 >= 0 machen ?
Ich wäre sehr froh, wenn ihr mir erklären könntet wie ich bei der Überprüfung der einzelnen Kriterien vorgehe, da ich mehrere solche Aufgaben zu lösen habe und es gerne endlich richtig verstehen würde wie es funktioniert.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Es sei t [mm] \in \IR. [/mm] Man untersuche, ob U:= {x [mm] \in \IR^5: 3x_1 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 2x_5 \ge [/mm] t} ein linearer Teilraum
> von [mm] \IR^5 [/mm] ist.
> Ich habe nun die Bedingungen für den linearen Teilraum
> gelernt, weiß allerdings leider überhaupt nicht wie ich an
> so eine Aufgabe herangehen soll.
> Wenn ich z.B. überprüfen soll, dass U den Nullvektor
> enthält. Kann ich das dann einfach mit 0* x1 + 4 * x3 +
> 2*x5 >= 0 machen ?
Einfach: ja. Aber nicht so wie Du!
Schauen wir uns erst einmal an, welche 5-Tupel [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 } [/mm] in U liegen. Das sind genau diese, für die gilt [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 2x_5 \ge [/mm] t.
Wenden wir uns der Frage zu, ob der Nullvektor, also [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 0} [/mm] in U liegt.
Wann liegt er in U?
Wenn 3*0 + 4*0 + 2*0 [mm] \ge [/mm] t <==> 0 [mm] \ge [/mm] t.
Hm. Wie interpretieren wir das? Das bedeutet, daß wir für positive t fertig sind. Wenn das vorgegebene t positiv ist, kann U kein Unterraum sein, denn der Nullvektor liegt nicht drin.
Für t [mm] \le [/mm] 0 ist der Nullvektor in U enthalten.
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> Ich wäre sehr froh, wenn ihr mir erklären könntet wie ich
> bei der Überprüfung der einzelnen Kriterien vorgehe,
Vielleicht kommst Du nun schon allein weiter.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Erst mal vielen Dank für die Hilfe. Das mit dem 0-Vektor ist mir nun auch klar. Aber ich verstehe leider als noch nicht wie ich die 2. Bedingung (U ist abgeschlossen gegenüber der Addition, Def. v,w E W > v + w E W) nachweisen kann.
Hast du vielleicht einen Buchtipp für mich zu Linearen Algebra im Grundstudium ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Sind [mm] $(x_1,x_2,x_3)^T$ [/mm] und [mm] $(y_1,y_2,y_3)^T$ [/mm] Elemente der zu betrachtenden Menge, dann gilt nach Voraussetzung
[mm] $3x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 \ge [/mm] t$
und
[mm] $3y_1 [/mm] + [mm] 4y_2 [/mm] + [mm] 2y_3 \ge [/mm] t$.
Die Frage ist, ob dann auch
[mm] $3(x_1+y_1) [/mm] + [mm] 4(x_2+y_2) [/mm] + [mm] 2(x_3 +y_3) \ge [/mm] t$
gelten muss. Das ist aber offenbar nicht der Fall (versuche mal einen Gegenbeispiel zu finden).
Daher ist die Menge nicht abgeschlossen bezüglich der Addition und somit kein Unterraum.
Ein gutes einführendes Buch ist das Buch "Lineare Algebra" von Prof. Beutespacher, vieweg-Verlag.
Liebe Grüße
Stefan
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