Linearer Abschluss im Dualraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein normierter Raum und konvergiere die Folge der linearen Funktionale aus X* [mm] f_n \to [/mm] f schwach. Das heißt:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] (f_n,x) \to [/mm] (f,x). Man fragt, ob der Limes f zum Abschluss der Linearen Hülle von [mm] f_n [/mm] gehört. |
Sei L der Abschluss der Linearen Hülle von [mm] f_n [/mm] und gehöre f dazu nicht.
Weil L ein abgeschlossener Subraum ist, dann existiert ein Element x** [mm] \in [/mm] X**, das
[mm] \langle [/mm] x**, f [mm] \rangle [/mm] = 1 und [mm] \langle [/mm] x**, y [mm] \rangle [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] L. (Das ist eine Folgerung vom Satz von Hahn-Banach, die im Unterricht bewiesen worden war)
Falls X reflexiv ist, dann [mm] \langle [/mm] x**,x* [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x*,x [mm] \rangle \forall [/mm] x* [mm] \in [/mm] X*.
So haben wir, das [mm] \langle [/mm] x**, f [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f, x [mm] \rangle [/mm] = 1 und [mm] \langle [/mm] x**, [mm] f_n \rangle [/mm] = [mm] \langle f_n, [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = 0. Aber das bedeutet, dass wir keine schwache Konvergenz haben, statt sie zu haben.
So, wenn X reflexiv ist, kann man die Frage positiv beantworten.
Aber was kann man sagen, wenn X unreflexiv ist. Ich habe mich bemüht, die negative Antwort zu zeigen, aber ich war erfolglos.
Ich habe einen Raum [mm] C^1[-1,1] [/mm] genommen und die Folge [mm] \langle f_n, [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = n/2(f(1/n) + f(-1/n)) ausgewählt.
Diese Folge konvergiert zu f'(0).
Aber wie kann man zeichen, das f'(0) zu L nicht gehört?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 17.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Während ich auf eine Antwort gewartet hatte, versuchte ich das zu benutzen, das [mm] f_n [/mm] eine schwache Cauchy-Folge ist. Aber noch einmal brauchte ich die Reflexivität des gegebenen Raums.
Aber ich interessiere mich für unreflexive Räume. Ich meine, das der Satz in diesem Fall falsch ist, und ich bin auf folgende Idee gekommen.
Nehmen wir [mm] L_\infty(0,1), [/mm] der unreflexiv ist. Sei [mm] f_n [/mm] = [mm] \mathrm{ess } \sup\limits_{(0,1-1/n)} [/mm] x(t). Dann konvergiert sie gegen f = [mm] \mathrm{ess } \sup\limits_{(0,1)} [/mm] x(t) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in L_\infty(0,1)
[/mm]
Aber wie kann man genau beweisen, dass f zum linearen Abschluss der [mm] f_n [/mm] nicht gehört.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Mi 20.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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