Lineare (un)Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Woll |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob ide Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
a) [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
b) [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
c) [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] d)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
e) [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
ich habe diese Frage in keinem Anderem Forum gestellt.
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Hallo,
ich habe die Aufgaben gerechnet und würde ich würde gern wissen ob dies richtig ist, da ich mir noch total unsicher bin. Desweitern habe ich auch noch ein paar offene Fragen zu dem Thema. Ich würde mich sehr freuen wenn ich mir helfen könntet, da ich jetz krank war und nicht so richtig durchsteige und ich brauch es ja im Abi-LK^^
mein Lösungen und Fragen dazu:
zu A.
I 3r + 2s + 5t= 0
II -r - 2t= 0
III 4r + 1s + 1t= 0
3*II+I I 3r+2s =0
II -t=0 [mm] \to [/mm] t=0
III 4r+1s =0
2*III-I 5r=0 [mm] \to [/mm] r=0
I 3*0-2*s+5*0=0 [mm] \to [/mm] s=0
also linear unabhängig
zu B.
I 0r+3s+1t=0
II 4r =0
III 2t=0 [mm] \to [/mm] t=0, r=0, s=0
also linear unabhängig
zu C.
I 2r+3s+t=0
II r+ s+t=0
III -s+t=0
II*2-I I 2r+3s+t=0
II s-t=0 [mm] \to [/mm] s=t
III -s+t=0
s=t in I 2r+4t=0 [mm] \to [/mm] r=-2t, also r=-2s
d.h dann doch das sie linear abhängig sind das es unentlich viele Möglichkeiten gibt?!?!?! oder?
zu D.
I 1r+2s-3t=0
II 2r-1s+4t=0
III 4r+3s-2t=0
I r+2s- 3t=0
II-I*2 II -5s+10t=0 II+III
III-I*4 III -5s+10t=0
0=0
was hat das aber für die Abhängigkeit zu bedeuten? an diesem Punkt komm ich absolut nicht weiter oder habe ich einen Fehler beim LGS gemacht??
zu e.
I 1r+2s+2t-3u=0
II 1r-2s-1t+7u=0
III 2r-5s+3t+5u=0
I 1r+2s+2t- 3u=0
II-I II -4s-3t+10u=0
III-I*2 III -9s-1t+11u=0 dann III*4-II*9
I 1r+2s+2t- 3u=0 (**)
II -4s-3t+10u=0 (*)
III 23t-46u=0
23t=46u [mm] \to [/mm] t=2u
wenn ich das in II(*) einsetzte dann erhalte ich
u=s
wenn ich die beiden "Sachen" in I(**) einsetzte dann erhalte ich r=-3u
aber was hat das zu bedeuten? un -oder abhängig?
Der Woll(e)^^
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 28.08.2010 | | Autor: | jumape |
zu A.
I 3r + 2s + 5t= 0
II -r - 2t= 0
III 4r + 1s + 1t= 0
3*II+I I 3r+2s =0 hier hast du dich verrechnet
II -t=0 $ [mm] \to [/mm] $ t=0
III 4r+1s =0
2*III-I 5r=0 $ [mm] \to [/mm] $ r=0
I 3*0-2*s+5*0=0 $ [mm] \to [/mm] $ s=0
also linear unabhängig
weil du dich verrechnet hast hast schreibe ich mal wie es weitergeht:
3*II+I 2s-t=0 [mm] \to [/mm] t=2s
II -r-2t=0 [mm] \to [/mm] r=-2t=-4s
III 4r+s+t=0 [mm] \to [/mm] -16s+s+2s=0 [mm] \to [/mm] s=0 [mm] \to [/mm] r=-2t=-4s=0
[mm] \to [/mm] linear unabhängig
zu B.
I 0r+3s+1t=0
II 4r =0
III 2t=0 $ [mm] \to [/mm] $ t=0, r=0, s=0
also linear unabhängig
richtig
zu C.
I 2r+3s+t=0
II r+ s+t=0
III -s+t=0
II*2-I I 2r+3s+t=0
II s-t=0 $ [mm] \to [/mm] $ s=t
III -s+t=0
s=t in I 2r+4t=0 $ [mm] \to [/mm] $ r=-2t, also r=-2s
d.h dann doch das sie linear abhängig sind das es unentlich viele Möglichkeiten gibt?!?!?! oder?
richtig
zu D.
I 1r+2s-3t=0
II 2r-1s+4t=0
III 4r+3s-2t=0
I r+2s- 3t=0
II-I*2 II -5s+10t=0 II+III
III-I*4 III -5s+10t=0
0=0
was hat das aber für die Abhängigkeit zu bedeuten? an diesem Punkt komm ich absolut nicht weiter oder habe ich einen Fehler beim LGS gemacht??
also aus II weißt du s=2t und dann in I einsetzen: r+t=0 [mm] \to [/mm] r=-t. t ist also beliebig, also gibt es unendlich viele lösungen, also nicht linear unabhängig
zu e. was du hier machst weiß ich nicht, du vergleichst jedenfalls nicht die drei gegebenen vektoren sondern 4 andere.
I 1r+2s+2t-3u=0
II 1r-2s-1t+7u=0
III 2r-5s+3t+5u=0
I 1r+2s+2t- 3u=0
II-I II -4s-3t+10u=0
III-I*2 III -9s-1t+11u=0 dann III*4-II*9
I 1r+2s+2t- 3u=0 (**)
II -4s-3t+10u=0 (*)
III 23t-46u=0
23t=46u $ [mm] \to [/mm] $ t=2u
wenn ich das in II(*) einsetzte dann erhalte ich
u=s
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Woll |
| Aufgabe | | e) [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] |
ich bedanke mich dann erstmal für die jetzige hilfe. danke hat mir eht geholfen ;)
" was du hier machst weiß ich nicht, du vergleichst jedenfalls nicht die drei gegebenen vektoren sondern 4 andere."
ich bin leider in meinen Aufzeichungen verrutscht und habe somit die falschen Vektoren abgeschrieben. hier ist noch mal der lösungsweg für die jetz richtigen Vektoren(oben geschreiben)
zu e.
I 1r+2s+2t-3u=0
II 1r-2s-1t+7u=0
III 2r-5s+3t+5u=0
I 1r+2s+2t- 3u=0
II-I II -4s-3t+10u=0
III-I*2 III -9s-1t+11u=0 dann III*4-II*9
I 1r+2s+2t- 3u=0 (**)
II -4s-3t+10u=0 (*)
III 23t-46u=0
23t=46u $ [mm] \to [/mm] $ t=2u
wenn ich das in II(*) einsetzte dann erhalte ich
u=s
wenn ich die beiden "Sachen" in I(**) einsetzte dann erhalte ich r=-3u
aber was hat das zu bedeuten? un -oder abhängig?
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Hallo Woll,
> e) [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> ich bedanke
> mich dann erstmal für die jetzige hilfe. danke hat mir eht
> geholfen ;)
>
> " was du hier machst weiß ich nicht, du vergleichst
> jedenfalls nicht die drei gegebenen vektoren sondern 4
> andere."
>
> ich bin leider in meinen Aufzeichungen verrutscht und habe
> somit die falschen Vektoren abgeschrieben. hier ist noch
> mal der lösungsweg für die jetz richtigen Vektoren(oben
> geschreiben)
>
> zu e.
>
> I 1r+2s+2t-3u=0
> II 1r-2s-1t+7u=0
> III 2r-5s+3t+5u=0
>
> I 1r+2s+2t- 3u=0
> II-I II -4s-3t+10u=0
> III-I*2 III -9s-1t+11u=0 dann III*4-II*9
>
> I 1r+2s+2t- 3u=0 (**)
> II -4s-3t+10u=0 (*)
> III 23t-46u=0
>
> 23t=46u [mm]\to[/mm] t=2u
> wenn ich das in II(*) einsetzte dann erhalte ich
> u=s
>
> wenn ich die beiden "Sachen" in I(**) einsetzte dann
> erhalte ich r=-3u
>
> aber was hat das zu bedeuten? un -oder abhängig?
Die in der Aufgabe genannten Vektoren sind somit linear abhängig.
Gruss
MathePower
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