Lineare Varietät < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
es geht um folgende Aufgabe: Geg. sei eine Teilmenge L des [mm] \IR^{3}
[/mm]
L = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \IR \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \IR \vektor{-3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
a) Warum ist L eine lineare Varietät?
b) Bestimmen Sie das lin. Gleichungssystem, das L als sein Nullstellengebilde hat.
Eigene Lösungsversuche:
a) Es existiert A [mm] \in \IR^{3 \times 3} [/mm] und b [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit Ax=b, sodass L der Lösungsraum dieser Gleichung ist.
b) Das Produkt der Matrix A mit einem der beiden variablen Summanden aus L ergibt 0. Kern(A) bestizt die Dimension 2.
Nach Einsetzen erhalte ich dieses Polynom:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4
Sind diese Lösungen korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 19.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal eine Frage zu Crispys Lösung. Bei der a) hat er ja eigentlich nur die Definition angegeben. Die lineare Varietät ist doch das Nullstellengebilde von linearen Gleichungen. Muss man da nicht irgendwas rechnen, um zu sagen dass es eine lineare Varietät ist? Weil ich mein, hier wurde als Antwort nur eine Definition angegeben. Aber woran erkennt man so schnell, dass L eine lineare Varietät ist?
und zur b) Was ist denn mit den variablen Summanden gemeint? Ich versteh die Lösung zur b) nicht so ganz, zumal wir das Kreuzprodukt noch gar nicht hatten. Kann man es auch anders lösen?
ich hoffe, es kann mir jemand die b) ein bisschen anders erklären. Die Lösung von Crispy ist wahrscheinlich nur für Schnellchecker, zu denen ich leider nicht gehöre 
danke, Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo Moe,
dont't Panic. Ich bin selbst kein Schnellchecker, habe aber im vorherigen Posting nur die wichtigsten Schritte zusammengefasst, ob meine Annahmen richtig sind.
a) zu beweisen ist etwas schwieriger. (Ich weiß nicht, ob das notwendig ist, denn die Aufgabe heisst ja "Warum ist...") L ist ja eine Teilmenge von [mm] \IR^3. [/mm]
Also [mm]L \subseteq \IR^3[/mm]
Jetzt behaupte ich L ist genau dann eine lineare Varietät, wenn L ein affiner Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] ist.
L ist ja einmal ein fester Vektor und das Erzeugnis von zwei anderen Vektoren. Die beiden Vektoren, die mit einer beliebigen Konstente aus [mm] \IR [/mm] multipliziert werden dürfen habe ich als "variable" Summanden bezeichnet - formal nicht ganz korrekt.
b)
Gleichungssystem das ist ja Ax=b
[mm]A \in \IR^{3\times3}[/mm] und [mm]b \in \IR^3[/mm] und unser tolles L ist die Lösung davon.
Jetzt weißt du, dass in L die beiden hinteren Summanden mit was belibigem multipliziert werden dürfen.
Dann weißt du, dass
[mm] A * \vektor { -1 \\ 1 \\ 1} = 0[/mm] und [mm] A * \vektor { -3 \\ 2 \\ 4} = 0[/mm]
Jetzt musst du ein entsprechendes A suchen.
Wenn du dann dieses A hast, fehlt nur noch das b.
Das bekommst du, wenn du
[mm] A * \vektor { -1 \\ 2 \\ 4} = b[/mm] rechnest.
Schließlich hast du ein lineares Gleichungssystem.
(Hinweis noch zu A: zuerst habe ich gesagt es ist aus [mm] \IR^{3\times3}. [/mm] Du stellst fest, dass alle 3 Zeilen in A gleich sind, und A dann nur noch Rang 1 hat.)
Bei Rückfragen einfach nochmal melden.
Gruss, Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke für deine antwort. ich hab mal versucht, die b) so zu machen, wie du es gesagt hast. Ich hab aber irgendwie ein Problem bei der bestimmung von A. Bei mir kommt auch heraus, dass A den Rang 1 hat.
Ich hab versucht, das A herauszubekommen aus der Gleichung A [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0. Am Ende hab ich stehen [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Ich hab das Gleichungssystem gelöst und die Lösungsmenge ist X = { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
Aber wie komm ich jetzt auf das gesuchte A?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Danke, Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Do 21.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> hallo,
> Ich hab versucht, das A herauszubekommen aus der Gleichung
> A [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = 0. Am Ende hab ich stehen
> [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da stimmt was nicht.
A ist ja eine 3x3 Matrix.
[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
und die multipliziert mit [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ergibt:
[mm]-1 * a_{11} + 1 * a_{12} + 1 * a_{13} = 0[/mm]
Das gleiche Spiel noch mit dem anderen Vektor:
[mm]-3 * a_{11} + 2 * a_{12} + 4 * a_{13} = 0[/mm]
Wegen dem Rang 1 sind alle 3 Zeilen von A linear abhängig. Es genügt also, wenn man die Berechnungen mit einer Zeile durchführt.
Mit den [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{13} [/mm] hast du dann dein A.
Das genaue A brauchst du um das Gleichungssystem zu bestimmen.
> Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Aber immer doch
> Danke, Moe007
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 21.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mich vertippt, meine Matrix lautet eigentlich so [mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Daraus erkenn ich, dass die 3 Zeilen linear abh. sind und der rang von A somit 1 ist.
Ich erhalte so wie du [mm] -a_{11} [/mm] + [mm] a_{12} [/mm] + [mm] a_{13} [/mm] =0
und [mm] -3a_{11} [/mm] +2 [mm] a_{12} [/mm] + [mm] 4a_{13} [/mm] =0
Aber wie komm ich jetzt auf die Matrix A??
Ich hab mal weiter dieses Gleichungssystem gelöst und bekomm als Lösung X = { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ 2 \\ 1 \\ 1} [/mm] | [mm] \lambda \in \IR} [/mm] heraus. Wie komm ich aber auf das A??? Oder hätte man dieses Gleichungssystem nicht lösen brauchen.
Ich hoffe, du verstehst mein Problem.
Danke, Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 21.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo,
> ich hab mich vertippt, meine Matrix lautet eigentlich so
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Du denkst an etwas falsches. Hier gibt es nur eine Matrix und das ist A.
Deine Matrix ist nicht das gesuchte A!
> Daraus erkenn ich, dass die 3 Zeilen linear abh. sind und
> der rang von A somit 1 ist.
> Ich erhalte so wie du [mm]-a_{11}[/mm] + [mm]a_{12}[/mm] + [mm]a_{13}[/mm] =0
> und [mm]-3a_{11}[/mm] +2 [mm]a_{12}[/mm] + [mm]4a_{13}[/mm] =0
>
> Aber wie komm ich jetzt auf die Matrix A??
[mm]a_{11}[/mm], [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{13}[/mm] stellen die erste Zeile der Matrix dar.
Wenn du diese Gleichungen löst erhältst du
[mm]a_{11} = 2[/mm], [mm]a_{12} = 1[/mm] und [mm]a_{13} = 1[/mm]
> Ich hab mal weiter dieses Gleichungssystem gelöst und
> bekomm als Lösung
> X = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ 2 \\ 1 \\ 1} [/mm] heraus.
> Wie komm ich aber auf das A???
> Oder hätte man dieses Gleichungssystem nicht lösen
> brauchen.
Die Lösung X musst du nicht bestimmen, die hast du ja, das ist das L.
Es geht um das Gleichungssystem Ax = b.
Du brauchst das A und das b, NICHT das x. Es ist das Gleichungssystem gesucht und nicht die Lösung. (wahrlich keine übliche Aufgabenstellung).
Das A hast du jetzt: [mm]A = \pmat{ 2 & 1 & 1}[/mm] Das x hast du auch, das ist ja grad dieses L.
Ax = b - jetzt fehlt noch das b.
Also:
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 1} * \vektor{-1 \\ 2 \\ 4} = b[/mm]
Dann bekommst du das b.
> Ich hoffe, du verstehst mein Problem.
Offengesagt nicht so wirklich.
> Danke, Moe007
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