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| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] seien linear unabhängig.
h sei eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet, die außerdem folgende Eigenschaften besitzt:
1.) [mm] h(\vec{a}+\vec{b})=h(\vec{a})+h(\vec{b})
[/mm]
2.) [mm] \lambda*h (\vec{a})=h(\lambda\vec{a})
[/mm]
3.) Falls [mm] h(\vec{a})=h(\vec{b}), [/mm] so folgt zwingend [mm] \vec{a}=\vec{b}
[/mm]
Für alle Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b}; [/mm] für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] |
Beweise: [mm] h(\vec{a}_{1}) [/mm] und [mm] h(\vec{a}_{2}) [/mm] sind linear unabhängig...
ich bin am verzweifeln... ich bekomm nicht mal einen Ansatz zu dieser Aufgabe hin :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Vektoren [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] seien linear
> unabhängig.
> h sei eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet,
> die außerdem folgende Eigenschaften besitzt:
> 1.) [mm]h(\vec{a}+\vec{b})=h(\vec{a})+h(\vec{b})[/mm]
> 2.) [mm]\lambda*h (\vec{a})=h(\lambda\vec{a})[/mm]
> 3.) Falls
> [mm]h(\vec{a})=h(\vec{b}),[/mm] so folgt zwingend [mm]\vec{a}=\vec{b}[/mm]
> Für alle Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b};[/mm] für alle [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Beweise: [mm]h(\vec{a}_{1})[/mm] und [mm]h(\vec{a}_{2})[/mm] sind linear
> unabhängig...
>
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> ich bin am verzweifeln... ich bekomm nicht mal einen Ansatz
> zu dieser Aufgabe hin :-(
Du sollst zeigen:
aus $t,s [mm] \in \IR$ [/mm] und (*) $th( [mm] \vec{a}_{1})+sh( \vec{a}_{2}) [/mm] = 0 $
folgt $t=s=0$
Zeige nun mit 1.) und 2.) , dass aus (*) folgt:
$h(t [mm] \vec{a}_{1}+s\vec{a}_{2}) [/mm] = h(0) $
Benutze jetzt 3.) und die lineare Unabhängigkeit von [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] um zu $t=s=0$ zu gelangen.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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tut mir leid ich kann dir nicht ganz folgen...
wo kommen t und s her??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> tut mir leid ich kann dir nicht ganz folgen...
>
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> wo kommen t und s her??
So, dann sind wir am Anfang der Geschichte : wenn Du 2 vektoren hast, wann heißen die beiden linear unabhängig ? Ist Dir das überhaupt klar ?
FRED
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zwei vektoren heißen linear abhängig wenn eine nicht triviale darstellung des nullvektors möglich ist...
heißt wenn mindestens ein parameter ungleich null ist....
richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> zwei vektoren heißen linear abhängig wenn eine nicht
> triviale darstellung des nullvektors möglich ist...
>
> heißt wenn mindestens ein parameter ungleich null ist....
>
>
> richtig??
Ja und wann heißen sie linear unabhängig ?
Antworte jetzt bitte nicht mit "wenn sie nicht linear abhängig sind" !
FRED
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wenn nur eine triviale darstellung des nullvektors möglich ist..
also alle parameter sind gleich 0 und es gibt sonst keine weitere darstellung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Na also, und was habe ich Dir geschrieben:
"Du sollst zeigen:
aus $ t,s [mm] \in \IR [/mm] $ und (*) $ th( [mm] \vec{a}_{1})+sh( \vec{a}_{2}) [/mm] = 0 $
folgt $ t=s=0 $"
Jetzt klar ?
FRED
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ich habe gerade noch einmal versucht den beweis ausführlich darzustellen:
ich verwende [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ansatt s und t
[mm] \lambda*h(\vec{a}_{1})+\mu*h(\vec{a}_{2})=0
[/mm]
=> [mm] \lambda=\mu=0
[/mm]
aus 1.) folgt:
[mm] h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0
[/mm]
aber wie genau komme ich nun auf diese zeile:
[mm] h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))= [/mm] h(0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich habe gerade noch einmal versucht den beweis
> ausführlich darzustellen:
>
>
> ich verwende [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ansatt s und t
>
>
> [mm]\lambda*h(\vec{a}_{1})+\mu*h(\vec{a}_{2})=0[/mm]
>
> => [mm]\lambda=\mu=0[/mm]
>
> aus 1.) folgt:
>
> [mm]h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0[/mm]
>
> aber wie genau komme ich nun auf diese zeile:
>
> [mm]h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=[/mm] h(0)
Zeige: h(0) = 0
FRED
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Ok...
Nun folgt aus 3.):
[mm] \lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0
[/mm]
Da [mm] \lambda=\mu=0 [/mm] folgt [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] sind lin. unabhängig...
Somit sind auch [mm] h(\vec{a}_{1}) [/mm] und [mm] h(\vec{a}_{2}) [/mm] lin. unabhängig...
Ist der Beweis so komplett??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok...
Hast Du h(0) = 0 zeigen können ?
>
> Nun folgt aus 3.):
>
> [mm]\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0[/mm]
Richtig
>
> Da [mm]\lambda=\mu=0[/mm] folgt [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] sind
> lin. unabhängig...
Nein !!!!! [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] sind doch nach Vor. lin. unabhängig!! Und daher folgt [mm]\lambda=\mu=0[/mm]
Somit sind auch [mm]h(\vec{a}_{1})[/mm] und [mm]h(\vec{a}_{2})[/mm] lin.
unabhängig...
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> Ist der Beweis so komplett??
Ja , bis auf h(0) =0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Do 03.12.2009 | | Autor: | Lenzen666 |
achso ja h=h(0)...
[mm] h(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0
[/mm]
da [mm] \lambda=\mu=0 [/mm]
folgt: [mm] \lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0
[/mm]
also h(0)=0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> achso ja h=h(0)...
>
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> [mm]h(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0[/mm]
>
> da [mm]\lambda=\mu=0[/mm]
>
> folgt: [mm]\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0[/mm]
>
> also h(0)=0
Unsinn ! Allein aus den Eigenschaft 2.) kannst Du zeigen, dass h(0) =0 ist:
$h(0) = h(0*0) = 0*h(0) = 0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 03.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
ja, ok. Oder:
[mm] h(\vec{c})=h(\vec{c}+\vec{0})=h(\vec{c})+h(\vec{0}) [/mm]
lg
rev
PS: Diese Mitteilung stand irgendwo verloren in der Prärie herum. Ich hatt sie schon gegen 14:41 hier hinterlassen wollen, aber sie muss mir aus der Tasche gefallen sein. 
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