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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 18.02.2009 | | Autor: | trouff |
| Aufgabe | Seien die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, [/mm] vec{c} aus [mm] \IR^3 [/mm] linear unabhängig. Untersuchen Sie, ob dann auch die Vektoren [mm] \{ \vec {a}+ 2 \vec {b}; \vec {a} + \vec {b} +\vec {c}, \vec {a} -\vec {b} - \vec {c} \} [/mm] auch linear unabhängig sind
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Hallo Mathefreunde!
So meine idee dazu ist es zwei gleichungen aufzustellen.
Eine gleichung die aus der linearen unabhängikeit der einzelnen vektoren besteht und eine für die lineare unabhängigkeit der anderen gleichung.
Jetzt habe ich mir gedacht kann man die einzelnen vektoren aus der einen gleichung ausklammern.
Das wird dann zu:
[mm] (\lambda_{4} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm] + [mm] \lambda_{5}) [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] + (2 * [mm] \lambda_{4} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm] - [mm] \lambda_{6})* \vec{b} [/mm] + ( [mm] \lambda_{5} [/mm] + [mm] \lambda_{6}) [/mm] * [mm] \vec{c} [/mm]
Die andere Gleichung kann man ja auch zu einem Vektor auflösen.
Das Problem ist aber [mm] \lambda [/mm] könnte null sein und zum auflösen nach einem vektor muss ich durch [mm] \lambda [/mm] teilen.
Die andere Sache ist, dass ich nicht weiß wie ich jetzt weiter vorgehen kann. Ich ´kann natürlich noch die eine in die andere Gleichung einsetzen, aber dann habe ich viele unbekannte und nur 2 Gleichungen.
Wäre für eoinen Tip dankbar.
Mfg trouff
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Seien die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b},[/mm] vec{c} aus [mm]\IR^3[/mm]
> linear unabhängig. Untersuchen Sie, ob dann auch die
> Vektoren [mm]\{ \vec {a}+ 2 \vec {b}; \vec {a} + \vec {b} +\vec {c}, \vec {a} -\vec {b} - \vec {c} \}[/mm]
> auch linear unabhängig sind
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> Hallo Mathefreunde!
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> So meine idee dazu ist es zwei gleichungen aufzustellen.
> Eine gleichung die aus der linearen unabhängikeit der
> einzelnen vektoren besteht und eine für die lineare
> unabhängigkeit der anderen gleichung.
> Jetzt habe ich mir gedacht kann man die einzelnen vektoren
> aus der einen gleichung ausklammern.
Hallo,
Dein Gedanke ist gut.
Ist Dir klar, was lineare Unabhängigkeit bedeutet? Dies: wenn eine Linearkombination von vec{a}, [mm] \vec{b},[/mm] [/mm] vec{c} den Nullvektor ergibt, dann müssen alle Faktorne vor den Vektoren =0 sein.
> Das wird dann zu:
> [mm] \red{\vec{0}}=[/mm] [mm](\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] + [mm]\lambda_{5})[/mm] * [mm]\vec{a}[/mm] + (2 *
> [mm]\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] - [mm]\lambda_{6})* \vec{b}[/mm] + (
> [mm]\lambda_{5}[/mm] [mm] \red{-}[/mm] [mm]\lambda_{6})[/mm] * [mm]\vec{c}[/mm]
Hieraus folgt nun, daß die Klammern jeweils =0 sind, denn vec{a}, [mm] \vec{b},[/mm] [/mm] vec{c} sind als unabhängig vorausgesetzt.
Das daraus entstehende homogene lineare Gleichungssystem ist zu lösen. Erhält man, daß alle [mm] \lambda [/mm] =0 sind so sind die Vektoren
[mm] \vec{a}+ [/mm] 2 [mm] \vec{b}; \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} +\vec{c}, \vec{a} -\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{c} [/mm] linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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> Die andere Gleichung kann man ja auch zu einem Vektor
> auflösen.
> Das Problem ist aber [mm]\lambda[/mm] könnte null sein und zum
> auflösen nach einem vektor muss ich durch [mm]\lambda[/mm] teilen.
>
> Die andere Sache ist, dass ich nicht weiß wie ich jetzt
> weiter vorgehen kann. Ich ´kann natürlich noch die eine in
> die andere Gleichung einsetzen, aber dann habe ich viele
> unbekannte und nur 2 Gleichungen.
>
> Wäre für eoinen Tip dankbar.
>
> Mfg trouff
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>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 18.02.2009 | | Autor: | trouff |
Danke schonmal
Stehe leider immer noch ein bisschen auf dem schlauch.
Die Gleichungen die ich zu lösen habe sind diese richtig:
0 = [mm] \lambda_{4} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm]
0 = 2 * [mm] \lambda_{4} [/mm] + [mm] \lambda_{5} [/mm] - [mm] \lambda_{6}
[/mm]
0 = [mm] \lambda_{5} [/mm] - [mm] \lambda_{6}
[/mm]
Aber kann es nicht so auskommen, dass die Vektoren sich Gegenseitig auslöschen.
mfg trouff
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Hallo trouff,
> Danke schonmal
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> Stehe leider immer noch ein bisschen auf dem schlauch.
> Die Gleichungen die ich zu lösen habe sind diese richtig:
>
> 0 = [mm]\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm]
Hier muß es heißen:
[mm]0 = \lambda_{4} + \lambda_{5}+ \lambda_{\red{6}}[/mm]
> 0 = 2 * [mm]\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] - [mm]\lambda_{6}[/mm]
> 0 = [mm]\lambda_{5}[/mm] - [mm]\lambda_{6}[/mm]
>
> Aber kann es nicht so auskommen, dass die Vektoren sich
> Gegenseitig auslöschen.
>
> mfg trouff
>
Gruß
MathePower
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> Seien die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b},[/mm] [mm] \vec{c} [/mm] aus [mm]\IR^3[/mm]
> linear unabhängig. Untersuchen Sie, ob dann auch die
> Vektoren [mm]\{ \vec {a}+ 2 \vec {b}; \vec {a} + \vec {b} +\vec {c}, \vec {a} -\vec {b} - \vec {c} \}[/mm]
> auch linear unabhängig sind
> [mm](\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] + [mm]\lambda_{5})[/mm] * [mm]\vec{a}[/mm] + (2 *
> [mm]\lambda_{4}[/mm] + [mm]\lambda_{5}[/mm] - [mm]\lambda_{6})* \vec{b}[/mm] + (
> [mm]\lambda_{5}[/mm] + [mm]\lambda_{6})[/mm] * [mm]\vec{c}[/mm]
hallo trouff
Anstatt dich mit den Lambdas herumzuschlagen,
könntest du auch die analoge Frage beantworten:
Sind die Vektoren
[mm] $\vec{u}=\vektor{1\\2\\0}\ ,\quad\vec{v}=\vektor{1\\1\\1}\ ,\quad\vec{w}=\vektor{1\\-1\\-1}$
[/mm]
linear unabhängig ?
Gruß Al-Chw.
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