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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo leute ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Seien
u1 = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}
[/mm]
u2 = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
u3 = [mm] \begin{pmatrix} i \\ t \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
drei Vektoren des [mm] C^3 [/mm] und t element C.
Bestimmen sie die Parameter t element C für die u1 , u2 und u3 linear unabhängig sind.
Wie gehe ich hier vor? |
Ich habe die frage auf anderen seiten nicht gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Fr 01.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo leute ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
>
> Seien
>
> u1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
1 \\
i \end{pmatrix}[/mm]
>
> u2 = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\
1 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> u3 = [mm]\begin{pmatrix} i \\
t \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> drei Vektoren des [mm]C^3[/mm] und t element C.
>
> Bestimmen sie die Parameter t element C für die u1 , u2
> und u3 linear unabhängig sind.
>
> Wie gehe ich hier vor?
Was bedeutet es denn, wenn Vektoren linear unabhäng sind? Was bedeutet es, wenn Vektoren linear abhägnig sind?
Stelle dann das hier zu betrachtende Gleichungssystem auf.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Wenn zwei vektoren z.B addiert das dritte ergeben ? Dann ist das irgendwie linear abhängig oder so?
WIe genau soll ich denn das LGs aufstellen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Fr 01.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Tyson,
> Wenn zwei vektoren z.B addiert das dritte ergeben ? Dann
> ist das irgendwie linear abhängig oder so?
>
> WIe genau soll ich denn das LGs aufstellen ?
Was studierst Du eigentlich? Ratewissenschaften?
Grüße
reverend
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Hallo,
> Wenn zwei vektoren z.B addiert das dritte ergeben ? Dann
> ist das irgendwie linear abhängig oder so?
>
> WIe genau soll ich denn das LGs aufstellen ?
Schau doch mal in deinen Vorlesungsmitschrieb - da steht sicher etwas von der Form:
"Vektoren [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn aus [mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3 [/mm] = 0$ folgt, dass [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$."
Stelle also das obige Gleichungssystem auf.
Die Vektoren sind linear abhängig, wenn das Gleichungssystem MEHR Lösungen für [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ [/mm] zulässt als nur [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Tyson |
LGS:
[mm] lambda_1+ lambda_3*i [/mm] = 0
[mm] lambda_1 [/mm] + [mm] lambda_2 [/mm] + [mm] lambda_3*t= [/mm] 0
[mm] lambda_1*i [/mm] + [mm] lambda_2 [/mm] = 0
Falls es stimmt , wie gehe ich weiter vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Fr 01.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> LGS:
>
> [mm]lambda_1+ lambda_3*i[/mm] = 0
>
> [mm]lambda_1[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] + [mm]lambda_3*t=[/mm] 0
>
> [mm]lambda_1*i[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] = 0
>
> Falls es stimmt , wie gehe ich weiter vor?
>
Löse das Gleichungssystem nach den [mm] \lambda_{i} [/mm] Dabei kann es sein, dass du irgendwann mal durch Terme mit t teilen musst. Betrachte die Fälle, bei denen du ein t hast, so dass der Term, durch den du dividierst, Null ergeben würde, separat.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
>
> > LGS:
> >
> > [mm]lambda_1+ lambda_3*i[/mm] = 0
> >
> > [mm]lambda_1[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] + [mm]lambda_3*t=[/mm] 0
> >
> > [mm]lambda_1*i[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] = 0
> >
> > Falls es stimmt , wie gehe ich weiter vor?
> >
>
> Löse das Gleichungssystem nach den [mm]\lambda_{i}[/mm] Dabei kann
> es sein, dass du irgendwann mal durch Terme mit t teilen
> musst. Betrachte die Fälle, bei denen du ein t hast, so
> dass der Term, durch den du dividierst, Null ergeben
> würde, separat.
>
> Marius
>
Ok ich mach das mal:
[mm] lambda_1 [/mm] + [mm] lambda_2 [/mm] + [mm] lambda_3*t= [/mm] 0
Was soll ich mit dieser Gleichung machen ?
Nach t auflösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Sa 02.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst nichts it dieseteinzelnen Gl. machen, sondern das Gleichungssystem z.B, nach Gauss lösen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:11 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > > LGS:
> > >
> > > [mm]lambda_1+ lambda_3*i[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]lambda_1[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] + [mm]lambda_3*t=[/mm] 0
> > >
> > > [mm]lambda_1*i[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] = 0
> > >
> > > Falls es stimmt , wie gehe ich weiter vor?
> > >
> >
> > Löse das Gleichungssystem nach den [mm]\lambda_{i}[/mm] Dabei kann
> > es sein, dass du irgendwann mal durch Terme mit t teilen
> > musst. Betrachte die Fälle, bei denen du ein t hast, so
> > dass der Term, durch den du dividierst, Null ergeben
> > würde, separat.
> >
>
> > Marius
> >
>
> Ok ich mach das mal:
>
> [mm]lambda_1[/mm] + [mm]lambda_2[/mm] + [mm]lambda_3*t=[/mm] 0
>
> Was soll ich mit dieser Gleichung machen ?
>
> Nach t auflösen?
Du hast das lineare GLS (wenn das so stimmt, denn ich habe nichts
nachgerechnet; aber andere hätten andernfalls sicher interveniert)
(I) [mm]\lambda_1+ \lambda_3*i = 0[/mm]
(II) [mm]\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3*t=0[/mm]
(III) [mm]\lambda_1*i+ \lambda_2 = 0[/mm]
Für dieses hast Du bzgl. des Tripels [mm] $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ [/mm] die Lösungsmenge
anzugeben (wobei es dabei aber eine [mm] $t\,$-Abhängigkeit [/mm] geben wird -
d.h., die Lösungsmenge [mm] $\IL\,$ [/mm] ist eigentlich erstmal als [mm] $\IL(t)$ [/mm]
anzusehen!).
Wie angedeutet ist das etwa mit dem Gauß-Alg. zu lösen.
Tipp: In (I) taucht die Variable [mm] $\lambda_2$ [/mm] nicht auf, also liegt es im
nächsten Schritt nahe, "die Gleichung (I) mitzunehmen und bei einer
Kombination der Gleichungen (II) und (III) [mm] $\lambda_2$ [/mm] zu eliminieren."
D.h. "kopiere (I)" und berechne etwa (III)-(II)...
P.S. Ich gebe Dir vielleicht mal zum Verständnis eine relativ einfache
Aufgabe, deren Lösung man sich im Kopf zurechtbasteln kann; und wenn
Du diese Aufgabe dann auch rechnerisch verstehst, ist es ein sehr
einfaches Analogon zu obiger Aufgabe:
Für welche $t [mm] \in \IR$ [/mm] sind [mm] $(1,1)^T,\;(1,t)^T \in \IR^2$ [/mm] linear unabhängig? (Wir
betrachten hier [mm] $\IR^2$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum!)
[/mm]
Ich behaupte: Für alle $t [mm] \not=1$ [/mm] sind diese beiden Vektoren linear
unabhängig.
Wie beweist man das?
Seien [mm] $\lambda_1,\lambda_2 \in \IR\,.$ [/mm] Wir betrachten die Gleichung
[mm] $$(\*)\;\;\;\lambda_1*(1,1)^T+\lambda_2*(1,t)^T=(0,0)^T$$
[/mm]
bzw. das lineare GLS
[mm] $$(1)\;\;\;\;\;\;\lambda_1*1+\lambda_2*1=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$(2)\;\;\;\;\;\;\lambda_1*1+\lambda_2*t=0\,.$$
[/mm]
Du weißt nun: Die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig,
wenn [mm] $(\*)$ [/mm] die Lösungsmenge
[mm] $$\{(0,0)^T\}$$
[/mm]
hat!
(Beachte: Die Lösungsmenge hier ist [mm] $\{(r,s)^T \in \IR^2:\;\;r*(1,1)^T+s*(1,t)^T=(0,0)^T\}$... [/mm] )
Nun kann man aber die Lösungsmenge von [mm] $(1)\,$ [/mm] und [mm] $(2)\,$ [/mm] (also [mm] $(\*)$)
[/mm]
gemäß des Gaußalg. berechnen...
Also: Wie gehst Du hier vor, um Dich von der Richtigkeit meiner Behauptung
zu überzeugen? Rechne uns das mal vor! (Wenn Du das bei der einfachen
Aufgabe mit den Gleichungen [mm] $(1)\,$ [/mm] und [mm] $(2)\,$ [/mm] verstanden hast, wirst Du
auch eher verstehen, was ich oben mit [mm] $\IL=\IL(t)$ [/mm] meinte...)
P.P.S. Natürlich "wirkt" Deine Aufgabe ein wenig komplizierter, weil da [mm] $\IC^3$ [/mm] als
[mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] betrachtet wird. Aber von der Vorgehensweise ist da
nichts wirklich anders... (es kann zwar sein, dass Du irgendwann [mm] $\IC \cong \IR^2$
[/mm]
irgendwo benutzt und damit Gleichungen "aufbläst" - aus einer werden dann
zwei - aber das macht die generelle Vorgehensweise auch nicht komplexer,
man rechnet höchstens ein bisschen zuviel oder gar unnötig umständlich...
aber irgendwann musst Du hier auch mal selbst ein bisschen mehr
durchblicken und selbst mehr rechnen. Unterschätze das nicht: Man lernt
gerade auch viel, wenn man solche Aufgaben mal vollständig durchrechnet;
und es wäre auch sinnvoll, wenn Du Dir selbst beim Rechnen klar machst,
wo Du herkommst, wo Du hinwillst und wie man sich sinnvoll zum Ziel
rechnet. Oben merkt man bei Dir sehr deutlich schon an der Frage, ob Du
die Gleichung nach [mm] $t\,$ [/mm] auflösen sollst, dass Du Dir keinerlei Gedanken
darüber gemacht hast, worum es bei dieser Aufgabe hier eigentlich geht...
Das ist kein Vorwurf, sondern einfach - ganz sachlich - eine Feststellung!
Und das ist auch gar nicht so selten, dass Leute bei derartigen Aufgaben
den Überblick über den "Sinn" der Variablen verlieren können. Ich sag's
jetzt mal zusammenfassend so:
In dem GLS sind die [mm] "$\lambda$-Variablen" [/mm] diejenigen Variablen, in denen
Du das GLS lösen willst. Das [mm] $t\,$ [/mm] hat die Rolle eines Parameters: Es ist
beliebig, aber fest. Nur: Man muss Fallunterscheidungen bzgl. [mm] $t\,$ [/mm] treffen,
um die Lösungsmenge des GLS "in den [mm] $\lambda$-Variablen" [/mm] angeben zu können...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Ich weiß nicht ob ich richtig gerechnet hab .
Ich habe nach Gauß das raus:
1. 0. i
0. 1. t-i
0 0 [mm] -i^2-t+i. [/mm]
Auf der rechten Seite sind jeweils 0 en die habe ich nicht geschrieben .
Stimmt die Matrix ?
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Hallo,
> Ich weiß nicht ob ich richtig gerechnet hab .
>
> Ich habe nach Gauß das raus:
>
> 1. 0. i
>
> 0. 1. t-i
>
> 0 0 [mm]-i^2-t+i.[/mm]
>
>
> Auf der rechten Seite sind jeweils 0 en die habe ich nicht
> geschrieben .
>
> Stimmt die Matrix ?
Ja, sie stimmt, du solltest allerdings noch [mm] -i^2=1 [/mm] nutzen.
Außerdem war das ja nur die Vorarbeit. Jetzt musst du das Resultat hinsichtlich der Aufgabenstellung interpretieren. Wie ist die lineare Unabhängigkeit definiert?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Das ist das Problem . Ich weiß nicht was ich genau weiter machen soll.
Bitte hilf mir
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Das ist das Problem . Ich weiß nicht was ich genau weiter
> machen soll.
>
> Bitte hilf mir
Nein. Du hast ein Skript oder ein Lehrbuch. Falls nein, dann ist die ganze Sache an dem Punkt schon schiefgelaufen und du besorgst dir zunächst geeignete Lektüre.
Falls du aber über Unterlagen verfügst, dann muss dort der Begriff Lineare Unabhängigkeit definiert sein. Diese Definition hat etwas mit der Struktur der Lösungsmenge deines LGS zu tun, und aus dieser Definition geht so glasklar hervor, was jetzt zu tun ist. OBendrein wurde weiter oben schon mehrfach darauf hingewiesen, was jetzt zu tun ist, sodass man leider nicht umhin kommt, zum wiederholten Male zu konstatieren, dass du dir die Sache hier zu einfach machst.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Wie gehe ich genau weiter vor?
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Hallo Tiger-Tyson,
es wurde zwar im Thread schon mehrfach erläutert, aber bitte, warum nicht nochmal: wähle t so, dass das LGS als einzige Lösung die Triviallösung besitzt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo,
>
> > Ich weiß nicht ob ich richtig gerechnet hab .
> >
> > Ich habe nach Gauß das raus:
> >
> > 1. 0. i
> >
> > 0. 1. t-i
> >
> > 0 0 [mm]-i^2-t+i.[/mm]
> >
> >
> > Auf der rechten Seite sind jeweils 0 en die habe ich nicht
> > geschrieben .
> >
> > Stimmt die Matrix ?
>
> Ja, sie stimmt, du solltest allerdings noch [mm]-i^2=1[/mm] nutzen.
>
> Außerdem war das ja nur die Vorarbeit. Jetzt musst du das
> Resultat hinsichtlich der Aufgabenstellung interpretieren.
> Wie ist die lineare Unabhängigkeit definiert?
>
>
> Gruß, Diophant
>
Ich verstehe es immer noch nicht ganz.
Was mache ich jetzt genau?
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Hallo Tyson,
willst Du Dir nicht langsam mal ein anderes Forum suchen?
> Ich verstehe es immer noch nicht ganz.
>
> Was mache ich jetzt genau?
Diophant hat hier doch schon geschrieben:
es wurde zwar im Thread schon mehrfach erläutert, aber bitte, warum nicht nochmal: wähle t so, dass das LGS als einzige Lösung die Triviallösung besitzt.
Vielleicht kannst Du es kursiv ja besser lesen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Sollen die drei Vektoren der Matrix 0 ergeben oder wie?
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Hallo Tyson,
du hast bis jetzt folgendes gemacht: Du hattest die drei Vektoren [mm] $u_1,u_2,u_3$ [/mm] aus der Aufgabenstellung und das Gleichungssystem
[mm] $\lambda_1 u_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 u_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 u_3 [/mm] = 0$
gebildet.
Du weißt: Wenn dieses Gleichungssystem MEHR Lösungen besitzt als [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$, dann sind die Vektoren [mm] $u_1,u_2,u_3$ [/mm] linear abhängig.
(siehe Def. von Linearer Unabhängigkeit!)
Du hast obiges Gleichungssystem äquivalent umgeformt in das Gleichungssystem
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.
[/mm]
Äquivalent umgeformt bedeutet, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen. Du musst nun also schauen, FÜR WELCHE WAHL VON t das obige Gleichungssystem mehr Lösungen als [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$ besitzt.
(Hinweis: Dafür musst du gucken, wann in der Matrix links linear abhängige Zeilen entstehen, also z.B. Nullzeilen)
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 So 03.03.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo Tyson,
>
> du hast bis jetzt folgendes gemacht: Du hattest die drei
> Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aus der Aufgabenstellung und das
> Gleichungssystem
>
> [mm]\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0[/mm]
>
> gebildet.
> Du weißt: Wenn dieses Gleichungssystem MEHR Lösungen
> besitzt als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm], dann
> sind die Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] linear abhängig.
>
> (siehe Def. von Linearer Unabhängigkeit!)
>
> Du hast obiges Gleichungssystem äquivalent umgeformt in
> das Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Äquivalent umgeformt bedeutet, dass beide
> Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen. Du musst
> nun also schauen, FÜR WELCHE WAHL VON t das obige
> Gleichungssystem mehr Lösungen als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm]
> besitzt.
>
> (Hinweis: Dafür musst du gucken, wann in der Matrix links
> linear abhängige Zeilen entstehen, also z.B. Nullzeilen)
>
> Viele Grüße,
> Stefan
[mm] lambda_2 [/mm] +(t-i)*lambda3 = 0
[mm] lambda_2+ t*lambda_3-lambda_3 [/mm] = 0
t = [mm] (lambda_3-lambda_2)/(lambda_3) [/mm]
Wäre das so in Ordnung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 So 03.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo Tyson,
> >
> > du hast bis jetzt folgendes gemacht: Du hattest die drei
> > Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aus der Aufgabenstellung und das
> > Gleichungssystem
> >
> > [mm]\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0[/mm]
> >
> > gebildet.
> > Du weißt: Wenn dieses Gleichungssystem MEHR Lösungen
> > besitzt als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm], dann
> > sind die Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] linear abhängig.
> >
> > (siehe Def. von Linearer Unabhängigkeit!)
> >
> > Du hast obiges Gleichungssystem äquivalent umgeformt in
> > das Gleichungssystem
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> > = [mm]\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.[/mm]
> >
> > Äquivalent umgeformt bedeutet, dass beide
> > Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen. Du musst
> > nun also schauen, FÜR WELCHE WAHL VON t das obige
> > Gleichungssystem mehr Lösungen als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm]
> > besitzt.
> >
> > (Hinweis: Dafür musst du gucken, wann in der Matrix links
> > linear abhängige Zeilen entstehen, also z.B. Nullzeilen)
> >
> > Viele Grüße,
> > Stefan
>
> [mm]lambda_2[/mm] +(t-i)*lambda3 = 0
>
> [mm]lambda_2+ t*lambda_3-lambda_3[/mm] = 0
>
> t = [mm](lambda_3-lambda_2)/(lambda_3)[/mm]
>
> Wäre das so in Ordnung ?
Nein, das siehst du nach ca zwei Sekunden, dass in der Lösung kein i mehr auftaucht.
Marius
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 So 03.03.2013 | | Autor: | Tyson |
>
> > > Hallo Tyson,
> > >
> > > du hast bis jetzt folgendes gemacht: Du hattest die drei
> > > Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aus der Aufgabenstellung und das
> > > Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0[/mm]
> > >
>
> > > gebildet.
> > > Du weißt: Wenn dieses Gleichungssystem MEHR
> Lösungen
> > > besitzt als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm], dann
> > > sind die Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] linear abhängig.
> > >
> > > (siehe Def. von Linearer Unabhängigkeit!)
> > >
> > > Du hast obiges Gleichungssystem äquivalent umgeformt in
> > > das Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> > > = [mm]\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.[/mm]
> > >
> > > Äquivalent umgeformt bedeutet, dass beide
> > > Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen. Du musst
> > > nun also schauen, FÜR WELCHE WAHL VON t das obige
> > > Gleichungssystem mehr Lösungen als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm]
> > > besitzt.
> > >
> > > (Hinweis: Dafür musst du gucken, wann in der Matrix links
> > > linear abhängige Zeilen entstehen, also z.B. Nullzeilen)
> > >
> > > Viele Grüße,
> > > Stefan
> >
> > [mm]lambda_2[/mm] +(t-i)*lambda3 = 0
> >
> > [mm]lambda_2+ t*lambda_3-i*lambda_3[/mm] = 0
> >
> > t = [mm](lambda_3-lambda_2)/(i*lambda_3)[/mm]
> >
> > Wäre das so in Ordnung ?
>
> Nein, das siehst du nach ca zwei Sekunden, dass in der
> Lösung kein i mehr auftaucht.
Jetzt müsste es stimmen oder?
>
>
>
> Marius
> >
>
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Hallo Tyson,
viel deutlicher als Stefan kann man es kaum noch sagen.
Du rechnest an der zweiten Zeile herum, und das auch noch falsch.
Viel leichter ist es, mit der dritten Zeile herauszufinden, wann die Lösung des LGS nicht eindeutig ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:18 So 03.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Tyson,
>
> du hast bis jetzt folgendes gemacht: Du hattest die drei
> Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aus der Aufgabenstellung und das
> Gleichungssystem
>
> [mm]\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0[/mm]
>
> gebildet.
> Du weißt: Wenn dieses Gleichungssystem MEHR Lösungen
> besitzt als [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm], dann
> sind die Vektoren [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] linear abhängig.
>
> (siehe Def. von Linearer Unabhängigkeit!)
>
> Du hast obiges Gleichungssystem äquivalent umgeformt in
> das Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Äquivalent umgeformt bedeutet, dass beide
> Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen.
das ist schon richtig. Nichtsdestotrotz bin ich ein Vertreter davon, dass
man daran erinnert, dass Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] per Definitionem "genau dann"
( witzige Wortwahl hier, ne  ) äquivalent heißen, im Zeichen $A [mm] \iff B\,,$ [/mm] wenn sowohl
die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ als auch die Folgerung $A [mm] \Leftarrow [/mm] B$ (was ja nur als andere
Notation für $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ benutzt wird) gelten.
Natürlich passt das dann mit den Lösungsmengen auch entsprechend
zusammen. So hat bspw. für $x [mm] \in \IR$ [/mm] die triviale Gleichung $x=3$ nur die Lösung
[mm] $x=3\,,$ [/mm] während [mm] $x^2=9$ [/mm] halt [mm] $x=3\,$ [/mm] oder [mm] $x=-3\,$ [/mm] als Lösungen hat.
Es gilt halt nur $x=3 [mm] \Rightarrow x^2=9\,,$ [/mm] aber [mm] $x^2=9 \Rightarrow [/mm] x=3$
wäre falsch...
P.S. Das ganze ist keine Kritik an Dir, aber ich kenne es aus Schulbüchern
schon teilweise so, dass dort drin steht "Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung,
weil sich dabei die Lösungsmenge verändert..."
Unter gewissen Voraussetzungen ist dem gar nicht so: Sind $x,r [mm] \ge 0\,,$ [/mm]
so gilt $x=r [mm] \iff x^2=r^2\,$ [/mm] oder auch $x=r [mm] \iff \sqrt{x}=\sqrt{r}$... [/mm]
Natürlich passt die Aussage mit den Lösungsmengen dann auch: Unter
der universellen Zusatzvoraussetzung $x,r [mm] \ge [/mm] 0$ haben die Gleichungen
[mm] $$x=r\,,$$
[/mm]
[mm] $$x^2=r^2\,,$$
[/mm]
[mm] $$\sqrt{x}=\sqrt{r}$$
[/mm]
alle die gleiche Lösungsmenge in der Variablen [mm] $x\,$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 So 03.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
schön, dass Du Dir Hoffnung machst, dass der Fragesteller auch nur ein Wort Deiner hilfreichen Erläuterung versteht.
Ich sehe da ehrlich gesagt komplett schwarz.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:21 So 03.03.2013 | | Autor: | Tyson |
Habe ich nun richtig gerechnet oder falsch . Das verstehe ich jetzt nicht?????
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> Habe ich nun richtig gerechnet oder falsch . Das verstehe
> ich jetzt nicht?????
Hallo,
ich sehe nirgendwo Deine Rechnung zusammenhängend, und ich mag mir nicht die Details in einem ellenlangen Thread zusammensuchen.
Ich helfe Dir nämlich kostenlos in meiner Freizeit und erwarte, daß mir das, was ich anschauen soll, wohlgeordnet auf dem Silbertablett serviert wird.
Kochrezept für die Aufgabe:
gegeben drei Vektoren, die auf lineare Unabhängigkeit geprüft werden sollen.
Stelle sie als Spalten in eine Matrix,
bring diese Matrix auf Zeilenstufenform.
Entscheide, für welche Parameter t die Matrix den Rang 3 hat.
Für diese Parameter sind die Vektoren linear unabhängig.
Ich bin nur bereit eeine ventuelle Lösung anzuschauen, wenn sie zusammenhängend und nachvollziehbar gepostet werden.
LG Angela
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Es gäbe einen noch kürzeren Tipp, der aus einem
einzigen Stichwort besteht:
Determinante
Um den Tipp zu befolgen, ist dann nur eine recht
simple Rechnung durchzuführen.
Ihn auch zu verstehen, ist allerdings auch wieder
etwas anspruchsvoller.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 So 03.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Es gäbe einen noch kürzeren Tipp, der aus einem
> einzigen Stichwort besteht:
>
> Determinante
ja, das klappt bei [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren des [mm] $\IR^n\,$ [/mm] oder [mm] $\IC^n\,,$ [/mm] und hier ist [mm] $n=3\,.$
[/mm]
> Um den Tipp zu befolgen, ist dann nur eine recht
> simple Rechnung durchzuführen.
> Ihn auch zu verstehen, ist allerdings auch wieder
> etwas anspruchsvoller.
Etwas: Determinante=0 [mm] $\iff$ [/mm] die drei Vektoren sind linear abhg.
(Und für Tyson:
[mm] $\bullet$ [/mm] Determinante=0 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die drei Vektoren sind linear abhg.
[mm] $\bullet$ Determinante$\not=0$ $\Rightarrow$ [/mm] die drei Vektoren sind linear unabhg.
(letzteres wegen Kontraposition.))
Wobei Du sicher meinst, dass es nicht schwer ist, sich diese Folgerungen
zu behalten, sondern dass es "etwas schwerer" ist, deren Richtigkeit zu
beweisen...
P.S. Genau an Deinen Vorschlag dachte ich, als ich Angelas Antwort
gelesen habe, noch bevor ich Deine Mitteilung gelesen hatte...
Gruß,
Marcel
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> Hallo Al,
>
> > Es gäbe einen noch kürzeren Tipp, der aus einem
> > einzigen Stichwort besteht:
> >
> > Determinante
>
> ja, das klappt bei [mm]n\,[/mm] Vektoren des [mm]\IR^n\,[/mm] oder [mm]\IC^n\,,[/mm]
> und hier ist [mm]n=3\,.[/mm]
>
> > Um den Tipp zu befolgen, ist dann nur eine recht
> > simple Rechnung durchzuführen.
> > Ihn auch zu verstehen, ist allerdings auch wieder
> > etwas anspruchsvoller.
>
> Etwas: Determinante=0 [mm]\iff[/mm] die drei Vektoren sind linear
> abhg.
>
> Wobei Du sicher meinst, dass es nicht schwer ist, sich
> diese Folgerungen
> zu behalten, sondern dass es "etwas schwerer" ist, deren
> Richtigkeit zu
> beweisen...
> .....
> Gruß,
> Marcel
Ja Marcel,
du hast mich richtig verstanden. Um (einem
gewissen Gehreiz ... äh ... Rehgeiz oder so
folgend) meinen Tipp auf ein Stichwort zu
beschränken, musste ich mich halt ganz kurz
und knapp fassen ...
LG  Al
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Hallo,
damit wir zum Schluss kommen:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.$
[/mm]
Das ist das vorliegende Gleichungssystem.
In der dritten Zeile entsteht eine Nullzeile (also eine Gleichung der Form [mm] $0\cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] 0\cdot \lambda_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot \lambda_3 [/mm] = 0$, die immer wahr ist), wenn:
$t = i+1$.
In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen, denn dann lautet das LGS:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.$
[/mm]
Im Falle, dass [mm] $t\not= [/mm] i+1$, gibt es immer nur die Lösung [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$ (denn man könnte dann in der dritten Zeile durch $((i+1)-t)$ teilen).
Ergebnis: Im Falle $t = i+1$ sind die Vektoren linear abhängig, ansonsten NICHT!
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 03.03.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo,
>
> damit wir zum Schluss kommen:
>
>
> [mm]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.$[/mm]
>
>
> Das ist das vorliegende Gleichungssystem.
> In der dritten Zeile entsteht eine Nullzeile (also eine
> Gleichung der Form [mm]0\cdot \lambda_1 + 0\cdot \lambda_2 + 0 \cdot \lambda_3 = 0[/mm],
> die immer wahr ist), wenn:
>
> [mm]t = i+1[/mm].
>
> In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen, denn dann
> lautet das LGS:
>
> [mm]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.$[/mm]
>
> Im Falle, dass [mm]t\not= i+1[/mm], gibt es immer nur die Lösung
> [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm] (denn man könnte
> dann in der dritten Zeile durch [mm]((i+1)-t)[/mm] teilen).
>
>
> Ergebnis: Im Falle [mm]t = i+1[/mm] sind die Vektoren linear
> abhängig, ansonsten NICHT!
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Kannst du mir erklären wie du auf der dritten Zeile auf die Nullzeilen kommst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 03.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> Kannst du mir erklären wie du auf der dritten Zeile auf
> die Nullzeilen kommst?
Stefan schrieb:
In der dritten Zeile entsteht eine Nullzeile (also eine Gleichung der Form $ [mm] 0\cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] 0\cdot \lambda_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot \lambda_3 [/mm] = 0 $,
die immer wahr ist), wenn:
$ t = i+1 $.
Was ist denn daran nun noch unklar?
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 03.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > damit wir zum Schluss kommen:
> >
> >
> > [mm]$\begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\
0 & 1 & t-i\\
0 & 0 & 1+i-t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1\\
\lambda_2\\
\lambda_3\end{pmatrix}[/mm]
> > = [mm]\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}.$[/mm]
> >
> >
> > Das ist das vorliegende Gleichungssystem.
> > In der dritten Zeile entsteht eine Nullzeile (also eine
> > Gleichung der Form [mm]0\cdot \lambda_1 + 0\cdot \lambda_2 + 0 \cdot \lambda_3 = 0[/mm],
> > die immer wahr ist), wenn:
> >
> > [mm]t = i+1[/mm].
> > ---
> Kannst du mir erklären wie du auf der dritten Zeile auf
> die Nullzeilen kommst?
meinetwegen mal anders: Die dritte Zeile lautet ausgeschrieben:
[mm] $$(1+i-t)*\lambda_3=0\,.$$
[/mm]
Diese Gleichung ist genau dann gültig, wenn einer der beiden Faktoren
Null ist, daher geht nun die Überlegung mit Fallunterscheidungen weiter:
1. Fall: Ist [mm] $1+i-t=0\,,$ [/mm] so kann [mm] $\lambda_3 \in \IC$ [/mm] gewählt werden, wie man
will. Konstruiere nun (irgend-) ein Lösungstripel [mm] $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \in \IC^3\,,$ [/mm]
welches nicht der Nullvektor ist (indem Du für [mm] $\lambda_3$ [/mm] irgendeine Zahl
[mm] $\in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] wählst und dann das LGS löst).
Damit überzeugst Du Dich dann davon, dass es neben [mm] $(0,0,0)\,$ [/mm] auch noch
andere Lösungstripel für Dein LGS gibt. Also sind die drei Vektoren in
diesem Falle linear abhängig!
2. Fall: Wenn $1+i-t [mm] \not=0$ [/mm] ist, so folgt aus der dritten Gleichung des LGS
dann [mm] $\lambda_3=0\,.$ [/mm] Überzeuge Dich (mit dem LGS am Ende, welches ja
zum Ausgangs-LGS äquivalent ist) nun, dass daraus auch [mm] $\lambda_2=0$
[/mm]
folgt und dann auch [mm] $\lambda_1=0$ [/mm] sein muss. Also sind in diesem Fall die
drei Vektoren linear unabhängig!
P.S. Erkläre mir/uns mal bitte genau, wo denn nun Deine Schwierigkeiten
hier sind? Denn Deine Fragen wirken so, als wenn Du gar nicht
nachdenken willst, sondern eher den richtigen Knopf an der Maschine
suchst, die Dir die Aufgabe lösen soll...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 So 03.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Hurz! Das Lamm!
Gruß Sax.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
sehr