Lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 13.04.2011 | | Autor: | LeylaS |
Ich hab ein Problem... Und zwar:
Ich weiß nicht, was der Begriff "Lineare Unabhängigkeit" dreier Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat:( kann mir bitte jemand behilflich sein??
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Also im allg. gilt, dass die lineare Unabhängikeit Voraussetzung für die Lösbarkeit eines Gleichunsgsystemes ist.
Erklärung:
Du kennst doch bestimmt das Gaußsche Eliminationsverfahren.
Dabei versuchst du ja die Matrix so umzuformen, dass du am Ende nur noch einsen stehen hast (kanonische Éinheitsmatrix), so dass du dann die Lösungen ablesen kannst. Ist einer der Vektoren l.a., dann fehlt dir diese Möglichkeit für eines der X. Darum ist es dann nicht mehr lösbar.
Zur Definition linear abhängig:
v1 ,..., vn heißen linear abhängig
[mm] \gdw [/mm] ∃c1 ,..., cn ∈ K mit (c1 ,..., cn )≠(0,...,0):
c1 v1,...,cn v n=0
[oder: 0 ist nichttriviale Linearkombination von v1 ,..., vn]
Von Gleichungssystemen weiß man:
Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbestimmten und mit
m<n ist stets nichttrivial lösbar.
Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbestimmten und m=n,
dessen zugehöriges homogenes Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, besitzt genau eine
Lösung.
Es folgt ein GS besitzt nur dann eine Lsg, wenn es mindestens genauso viele Gleichungen wie Unbekannte hat.
Bei einem l.a. Vektor, ist das nicht der Fall.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 13.04.2011 | | Autor: | LeylaS |
Danke für deine Antwort aber viel habe ich nicht von deiner Erklärung verstanden :( Ich kenne nur den Gauss-Algorithmus. Was bedeutet eigentlich [mm] \IR^3 [/mm] ??
Die nachfolgende Aufgabe wäre nämlich:
Überprüfen Sie [mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}; \vec{b}= \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{c}=\vektor{-5 \\ 2 \\ 2} [/mm] auf lineare Unabhängigkeit!
Kannst du mir das bitte etwas leichter erklaren? Also die erste Aufgabe dann die 2.? Wäre superlieb :)
|
|
|
| |
|
Hallo, du überprüfst, ob sich der Nullvektor durch Linearkombination der gegebenen Vektoren darstellen läßt, nur für a=b=c=0 sind die Vektoren linear unabhängig, sonst linear abhängig
[mm] a*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+b*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+c*\vektor{-5 \\ 2 \\ 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
stelle jetzt das zugehörige Gleichungssystem auf
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 13.04.2011 | | Autor: | LeylaS |
Wäre dann das Gleichungssystem folgendermaßen?:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
Muss ich das mit dem Gauss-Algorithmus lösen?
|
|
|
| |
|
hallo, bis jetzt alles ok, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 13.04.2011 | | Autor: | LeylaS |
Ohh ich komm da nicht zurecht..
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
dann hab ich 2mal die erste Gleichung genommen und die 2. Gleichung minus die Erste. Anschließend habe ich für die nächste Reihe die 2. Gleichung Mal 2 und die 3. Mal 4 genommen, damit ich die ersten beiden nullen bekomme
ALSO: [mm] \pmat{ 1 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & -3 & -8 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0}
[/mm]
Nun weiß ich nicht wie ich weiterkomme:(
|
|
|
| |
|
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -5\\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \\\\
[/mm]
II-I [mm] \\\\
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 1 & 2 & -5\\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \\\\
[/mm]
III - II [mm] \\\\
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 1 & 2 & -5\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \\\\
[/mm]
I-2*III [mm] \\\\
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -9\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \\\\
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] aus der 2. Zeile: 1 * [mm] x_1 [/mm] = 0 [mm] \pmat x_1 [/mm] = 0; aus der 1. Zeile:
1* 0 + (-9)* [mm] x_3 [/mm] = 0 [mm] \pmat x_3 [/mm] = 0; [mm] \pmat [/mm] aus der 3. Zeile: [mm] 1*x_2 [/mm] + 2*0 = 0 [mm] \pmat x_2 [/mm] = 0
[mm] \\\\
[/mm]
insg. folgt: [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] = 0 [mm] \\
[/mm]
[mm] \RightArrow v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig
|
|
|
| |
|
Den [mm] \IR^3 [/mm] musst du dir einfach nur als dreidimensionalen Raum vorstellen.
Du kennst ja ein normales Koordinatensystem, das ist im 2-dimensionalen Raum. Darum hast du auch für deine Vektoren 3 Koordinaten.
Und [mm] \IR [/mm] bedeutet einfach nur, dass du in den reellen Zahlen abbildest.
Also gibt es eine X-Achse, eine Y-Achse und eine Z-Achse.
Wende den Gaußalgorithmus an, bis in einer Zeile z.B. -1 =0 steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 13.04.2011 | | Autor: | LeylaS |
> Den [mm]\IR^3[/mm] musst du dir einfach nur als dreidimensionalen
> Raum vorstellen.
> Du kennst ja ein normales Koordinatensystem, das ist im
> 2-dimensionalen Raum. Darum hast du auch für deine
> Vektoren 3 Koordinaten.
> Und [mm]\IR[/mm] bedeutet einfach nur, dass du in den reellen
> Zahlen abbildest.
> Also gibt es eine X-Achse, eine Y-Achse und eine Z-Achse.
>
> Wende den Gaußalgorithmus an, bis in einer Zeile z.B. -1
> =0 steht.
>
Was wäre da jetzt die Antwort zu meiner Frage? Also, dass [mm] \IR^3 [/mm] das Koordinatensystem mit 3 Koordinaten ist, hab ich jetzt verstanden...
Die Frage war ja, dass ich beschreiben soll, was der Begriff " Lineare Unabhängigkeit" dreier Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat.
|
|
|
| |
|
Für die Lösbarkeit eines dreidimensionalen Gleichungssystem brauchst du mindestens drei Gleichungen und drei Unbekannte.
Ist einer der drei Vektoren linear abhängig, so kannst du einen von den Dreien durch die anderen darstellen. D.h. im Prinzip hast du nur 2 Vektoren, denn du kannst das GS so umformen, das einer komplett genullt wird.
Damit verstößt du gegen die Notwendigkeit für die Lösbarkeit mindestens drei Unbekannte und drei Gleichungen zu haben => das GS ist nicht lösbar.
|
|
|
|
