Lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Do 27.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum und [mm] v_{1},...v_{n} \in [/mm] V. Geben Sie diejenigen der Aussagen 1 bis 4 an, aus denen folgt, dass [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] linear unabhängig sind.
1) [mm] v_{1} [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination der Vektoren [mm] v_{2},...,v_{n} [/mm] darstellen
2) [mm] (r_{1},...,r_{n}) \not= [/mm] (0,...,0) --> [mm] r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n} \not=0
[/mm]
3) [mm] r_{1}=...=r_{n}=0 [/mm] --> [mm] r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n}=0
[/mm]
4) Jedes v [mm] \in \{v_{1}...v_{n}\} [/mm] lässt sich eindeutig darstellen als [mm] v=r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n}. [/mm] |
Hallio liebe Mitglieder,
ich würde gerne wissen, ob ich richtig gefolgert habe oder nicht.
1) Die Lineare Unabhängigkeit folgt nicht, da es ja einen anderen Vektor geben kann, der sich als Linearkombination der übrigen darstellen lässt, für lineare Abhängiglkeit muss es ja nur min. 1 solchen geben.
2) Ja die lin. Unab. folgt.
3) Nein, denn die Vektoren können die Nullvektoren sein.
4) Nein.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte ob das so stimmt.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Do 27.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei V ein Vektorraum und [mm]v_{1},...v_{n} \in[/mm] V. Geben Sie
> diejenigen der Aussagen 1 bis 4 an, aus denen folgt, dass
> [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm] linear unabhängig sind.
>
> 1) [mm]v_{1}[/mm] lässt sich nicht als Linearkombination der
> Vektoren [mm]v_{2},...,v_{n}[/mm] darstellen
>
> 2) [mm](r_{1},...,r_{n}) \not=[/mm] (0,...,0) -->
> [mm]r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n} \not=0[/mm]
>
> 3) [mm]r_{1}=...=r_{n}=0[/mm] --> [mm]r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n}=0[/mm]
>
> 4) Jedes v [mm]\in \{v_{1}...v_{n}\}[/mm] lässt sich eindeutig
> darstellen als [mm]v=r_{1}*v_{1}+...+r_{n}*v_{n}.[/mm]
> Hallio liebe Mitglieder,
>
> ich würde gerne wissen, ob ich richtig gefolgert habe oder
> nicht.
>
> 1) Die Lineare Unabhängigkeit folgt nicht, da es ja einen
> anderen Vektor geben kann, der sich als Linearkombination
> der übrigen darstellen lässt, für lineare Abhängiglkeit
> muss es ja nur min. 1 solchen geben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Für die Klausur noch den Tipp, immer möglichst konkrete Gegenbeispiele anzugeben, wenn eine Aussage widerlegt wird. Wähle zum Beispiel $V = [mm] \IR^2, v_1=\vektor{1 \\ 0}, v_2=v_3= \vektor{0 \\ 1}$. [/mm] Dann lässt sich [mm] $v_1$ [/mm] nicht als Linearkomb. der anderen Vektoren darstellen, die Familie [mm] $\{v_1, v_2, v_3\}$ [/mm] ist aber offensichtlich linear abhängig.
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> 2) Ja die lin. Unab. folgt.
Stimmt, wäre natürlich noch zu begründen.
>
> 3) Nein, denn die Vektoren können die Nullvektoren sein.
>
> 4) Nein.
Doch, zumindest wenn ich die Aufgabe richtig verstehe. Ist nämlich $v [mm] \in \{v_{1},\ldots,v_{n}\}$, [/mm] etwa $v = [mm] v_r, [/mm] r [mm] \in \{1,\ldots,n\}$, [/mm] dann ist [mm] $v_r$ [/mm] darstellbar als [mm] $v_r [/mm] = [mm] 0*v_1+\ldots 0*v_{r-1}+1*v_r+0*v_{r+1}+\ldots+0*v_n$.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist diese Darstellung eindeutig, das beutet auch dass sich jedes Element der Familie nicht als Linearkombination der anderen Elemente darstellen lässt, woraus lineare Unabhängigkeit folgt.
LG Lippel
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