Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | a) [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Dann sind $1,i [mm] \in \IC$ [/mm] linear unabhängig.
b) [mm] \IC [/mm] als [mm] \IC-Vektorraum. [/mm] Dann sind $1,i [mm] \in \IC$ [/mm] nicht linear unabhängig. |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein Beispiel, bei dem ich nicht alleine weiterkomme, ich habe es mal als Aufgabe oben hin geschrieben.
Also bei a) hab ich es wie folgt gezeigt:
Ich schreibe $1 [mm] \in \IC$ [/mm] als [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und $i [mm] \in \IC$ [/mm] als [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Am leichtesten geht es wahrscheinlich, wenn ich das damit mache, dass alle Koeffizienten 0 sein müssen, damit die beiden Vektoren linear unabhängig sind, oder?
Dann hab ich $a * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 1}$, [/mm] was 0 sein soll, also $a * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$ [/mm] und $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] da [mm] \IC [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Wenn ich daraus ein Gleichungssystem bastel, erhalte ich $a=0$ und $b=0$.
Das kann ich doch so machen, oder, weil a und b ja eben aus [mm] \IR [/mm] sind, also kann ich sie in jede Komponente des Vektors ziehen, oder?
Allerdings hatten wir mal in der Vorlesung eine Bemerkung, dass wir bei der Skalarmultiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl die reelle Zahl auch als komplexe Zahl schreiben, also [mm] a=\vektor{a \\ 0}. [/mm] Aber wenn ich das so mache, dann klappt das mit dem Gleichungssystem irgendwie nicht mehr ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
War meine Lösung dann oben nicht richtig?
So, bei b) komm ich nicht so ganz weiter.
Ich hab mal den gleichen Ansatz gewählt:
Ich schreibe $1 [mm] \in \IC$ [/mm] als [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und $i [mm] \in \IC$ [/mm] als [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Jetzt sind meine Koeffizienten aber auch komplexe Zahlen, weil ich ja einen [mm] \IC-Vektorraum [/mm] habe, die muss ich dann ja auch als Tupel schreiben.
Dann hab ich $a * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$ [/mm] mit $a,b [mm] \in \IC$ [/mm] also hab ich [mm] $\vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 \\ y_2} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$.
[/mm]
Aber dann hab ich ja jetzt zwei Gleichungen und vier Unbekannte, die alle 0 sein müssen, wie mach ich da jetzt weiter?
LG Nadine
|
|
| |
|
Hiho,
so wie du es auffasst, betrachtest du nicht [mm] \IC, [/mm] sondern [mm] \IR^2. [/mm] Das geht, solange du beide als [mm] \IR-VR [/mm] auffasst, als [mm] \IC-VR [/mm] leider nicht mehr.
Fasse [mm] \IC [/mm] als VR der Art [mm] $\IC [/mm] = [mm] \{a + bi | a,b \in \IR\}$ [/mm] auf und untersuche die Elemente dann auf lineare Unabhängigkeit.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
> so wie du es auffasst, betrachtest du nicht [mm]\IC,[/mm] sondern
> [mm]\IR^2.[/mm]. Das geht, solange du beide als [mm]\IR-VR[/mm] auffasst, als
> [mm]\IC-VR[/mm] leider nicht mehr.
Äh, stopp!
Ich dachte bisher immer, [mm] \IC [/mm] ist der [mm] \IR^2!
[/mm]
So steht es auch in unserem Skript!
Und da ist nicht die Rede davon, dass das nur gilt, wenn [mm] \IC [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist, das wurde schon so eingeführt, bevor von Vektorräumen überhaupt die Rede war.
Und schließlich ist es doch so, dass ich jede komplexe Zahl $a+bi$ mit $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] als Tupel [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] schreiben kann, und das ist ja auch nunmal ein Element aus [mm] \IR^2, [/mm] völlig unabhängig davon, ob [mm] \IC [/mm] nun ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist oder nicht
Jetzt bin ich grad völlig verwirrt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Fasse [mm]\IC[/mm] als VR der Art [mm]\IC = \{a + bi | a,b \in \IR\}[/mm] auf
> und untersuche die Elemente dann auf lineare
> Unabhängigkeit.
Ok, ich versuchs mal.
Also dann schreibe ich die $1 [mm] \in \IC$ [/mm] als $1+0i$ und $i [mm] \in \IC$ [/mm] als $0+1i$.
Dann bekomme ich für das Beispiel mit dem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] $a*(1+0i)+b*(0+1i)=0$ also $a+bi=0$ mit [mm] $a,b\in \IR$.
[/mm]
Und wie mache ich nun hier weiter, wie bekomme ich raus, ob a und b 0 sind oder nicht?
Und bei den zweiten Beispiel hätte ich dann $a*(1+0i)+b*(0+1i)=0$ mit [mm] $a,b\in \IC$
[/mm]
Das ergibt dann mit [mm] a=x_1+iy_1 [/mm] und [mm] b=x_2+iy_2 ($x_1,x_2,y_1,y_2 \in \IR$) [/mm] dass [mm] $(x_1+iy_1)*(1+0i)+(x_2+iy_2)*(0+1i)$ [/mm] also ausmultipliziert [mm] $(x_1-y_2)+(y_1+x_2)i=0$
[/mm]
Und wie mache ich jetzt hier weiter, wie bekomm ich raus, ob [mm] x_1,x_2,y_1,y_2=0 [/mm] sind?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hiho,
vorweg erstmal deine Aufgabe:
> Dann bekomme ich für das Beispiel mit dem [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> [mm]a*(1+0i)+b*(0+1i)=0[/mm] also [mm]a+bi=0[/mm] mit [mm]a,b\in \IR[/mm].
> Und wie
> mache ich nun hier weiter, wie bekomme ich raus, ob a und b
> 0 sind oder nicht?
Soweit so gut: Beachte nun, dass eine komplexe Zahl eindeutig durch Real- und Imaginärteil bestimmt sind, d.h. dass da eigentlich steht
$a+bi = 0 = 0 + 0i$
Vergleiche der Real- und Imaginärteile ergibt dir dein gewünschtes Ergebnis.
> Und bei den zweiten Beispiel hätte ich dann
> [mm]a*(1+0i)+b*(0+1i)=0[/mm] mit [mm]a,b\in \IC[/mm]
> Das ergibt dann mit
> [mm]a=x_1+iy_1[/mm] und [mm]b=x_2+iy_2[/mm] ([mm]x_1,x_2,y_1,y_2 \in \IR[/mm]) dass
> [mm](x_1+iy_1)*(1+0i)+(x_2+iy_2)*(0+1i)[/mm] also ausmultipliziert
> [mm](x_1-y_2)+(y_1+x_2)i=0[/mm]
> Und wie mache ich jetzt hier weiter, wie bekomm ich raus,
> ob [mm]x_1,x_2,y_1,y_2=0[/mm] sind?
Soweit auch so gut (auch wenn ein wenig kompliziert), aber machen wir mal so weiter:
Gibt es denn [mm] x_1,x_2,y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] so dass da 0 rauskommt?
Wenn ja, müssen diese zwangsweise alle gleich 0 sein?
Was sagt dir das über die Unabhängigkeit?
Nun zu deinem eigentlichen Problem:
> Ich dachte bisher immer, [mm]\IC[/mm] ist der [mm]\IR^2![/mm]
> So steht es auch in unserem Skript!
> Und da ist nicht die Rede davon, dass das nur gilt, wenn
> [mm]\IC[/mm] ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist, das wurde schon so eingeführt,
> bevor von Vektorräumen überhaupt die Rede war.
Ein ganz klares JEIN ^^
Du kannst die komplexen Zahlen als [mm] \IR^2 [/mm] einführen, das geht als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] auch recht gut, weil es da mit der Multiplikation mit einem Skalar (also einer Zahl aus [mm] \IR) [/mm] keine Probleme gibt und alles analog zu [mm] \IC [/mm] verläuft.
Problematisch wird es, wenn man die innere Verknüpfung "*" in den komplexen Zahlen auf dem [mm] \IR^2 [/mm] definiert. Wenn man das sauber macht, gibt es da auch keine Probleme, daher mal meine Frage: Wie habt ihr denn die Multiplikation zweier Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] definiert?
Habt ihr sie überhaupt definiert (das wird nämlich meist gar nicht eingeführt, wenn man [mm] \IC [/mm] mit dem [mm] \IR^2 [/mm] identifiziert)?
Wenn ihr das gemacht habt, ist das natürlich alles kein Problem, dann ist es im [mm] \IR^2 [/mm] aber auch keine Skalarmultiplikation mehr, sondern eine zwischen Vektoren.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
Danke für deine Antwort!
> Soweit so gut: Beachte nun, dass eine komplexe Zahl
> eindeutig durch Real- und Imaginärteil bestimmt sind, d.h.
> dass da eigentlich steht
>
> [mm]a+bi = 0 = 0 + 0i[/mm]
>
> Vergleiche der Real- und Imaginärteile ergibt dir dein
> gewünschtes Ergebnis.
Ah ja, gut.
Also $a+bi$ soll gleich $0+0i$ sein, und das geht offensichtlich nur, wenn $a=0$ und $b=0$.
> > Und bei den zweiten Beispiel hätte ich dann
> > [mm]a*(1+0i)+b*(0+1i)=0[/mm] mit [mm]a,b\in \IC[/mm]
> > Das ergibt dann
> mit
> > [mm]a=x_1+iy_1[/mm] und [mm]b=x_2+iy_2[/mm] ([mm]x_1,x_2,y_1,y_2 \in \IR[/mm]) dass
> > [mm](x_1+iy_1)*(1+0i)+(x_2+iy_2)*(0+1i)[/mm] also ausmultipliziert
> > [mm](x_1-y_2)+(y_1+x_2)i=0[/mm]
> > Und wie mache ich jetzt hier weiter, wie bekomm ich
> raus,
> > ob [mm]x_1,x_2,y_1,y_2=0[/mm] sind?
>
> Soweit auch so gut (auch wenn ein wenig kompliziert), aber
> machen wir mal so weiter:
>
> Gibt es denn [mm]x_1,x_2,y_1[/mm] und [mm]y_2,[/mm] so dass da 0 rauskommt?
> Wenn ja, müssen diese zwangsweise alle gleich 0 sein?
> Was sagt dir das über die Unabhängigkeit?
Also ich mach das hier auch nochmal mit dem $0=0+0i$.
Dann soll [mm] $(x_1-y_2)+(y_1+x_2)i$ [/mm] gleich $0+0i$ sein.
Das wäre ja dann der Fall, wenn [mm] x_1-y_2=0 [/mm] und wenn [mm] y_1+x_2=0.
[/mm]
[mm] x_1-y_2 [/mm] ist immer dann 0, wenn [mm] x_1=y_2 [/mm] und [mm] y_1+x_2 [/mm] ist immer dann 0, wenn [mm] x_2=-y_1.
[/mm]
Hmm, was sagt mir das über die Unabhängigkeit...
Die Linearkombinationsgleichung $a*(1+0i)+b*(0+1i)$ ist gleich 0 für eine spezielle Wahl der Koeffizienten (=komplexen Zahlen) [mm] a=x_1+iy_1 [/mm] und [mm] b=x_2+iy_2.
[/mm]
In die spezielle Wahl fällt aber auch die Lösung, dass [mm] x_1=x_2=y_1=y_2=0 [/mm] und somit hat die Linearkombinationsgleichung die triviale Lösung a=0 und b=0.
Deshalb bin ich mir jetzt irgendwie nicht sicher...
Was wäre denn die nicht komplizierte Variante 
> Nun zu deinem eigentlichen Problem:
> Ein ganz klares JEIN ^^
> Du kannst die komplexen Zahlen als [mm]\IR^2[/mm] einführen, das
> geht als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] auch recht gut, weil es da mit der
> Multiplikation mit einem Skalar (also einer Zahl aus [mm]\IR)[/mm]
> keine Probleme gibt und alles analog zu [mm]\IC[/mm] verläuft.
Was bedeutet hier, es verläuft analog zu [mm] \IC [/mm] ?
> Problematisch wird es, wenn man die innere Verknüpfung "*"
> in den komplexen Zahlen auf dem [mm]\IR^2[/mm] definiert. Wenn man
> das sauber macht, gibt es da auch keine Probleme, daher mal
> meine Frage: Wie habt ihr denn die Multiplikation zweier
> Vektoren im [mm]\IR^2[/mm] definiert?
> Habt ihr sie überhaupt definiert (das wird nämlich meist
> gar nicht eingeführt, wenn man [mm]\IC[/mm] mit dem [mm]\IR^2[/mm]
> identifiziert)?
>
> Wenn ihr das gemacht habt, ist das natürlich alles kein
> Problem, dann ist es im [mm]\IR^2[/mm] aber auch keine
> Skalarmultiplikation mehr, sondern eine zwischen Vektoren.
Wir haben die komplexen Zahlen wie folgt eingeführt:
Als Menge ist [mm] \IC [/mm] einfach [mm] $\IR^2=\IR \times \IR$ [/mm] und $+$ und $*$ sind wie folgt definiert:
- [mm] $(x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
[/mm]
- [mm] $(x_1,y_1)*(x_2,y_2):=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$
[/mm]
Zu dem Zeitpunkt hatten wir noch gar keine Addition oder Skalarmultiplikation im [mm] \IR^2 [/mm] eingeführt...
Ja, und dann haben wir halt noch gesagt, dass man eine komplexe Zahl nicht als Tupel schreiben muss, sondern dass man sie halt auch in der Form $x+iy$ schreiben kann.
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
> Das wäre ja dann der Fall, wenn [mm]x_1-y_2=0[/mm] und wenn
> [mm]y_1+x_2=0.[/mm]
>
> [mm]x_1-y_2[/mm] ist immer dann 0, wenn [mm]x_1=y_2[/mm] und [mm]y_1+x_2[/mm] ist
> immer dann 0, wenn [mm]x_2=-y_1.[/mm]
>
> Hmm, was sagt mir das über die Unabhängigkeit...
> Die Linearkombinationsgleichung [mm]a*(1+0i)+b*(0+1i)[/mm] ist
> gleich 0 für eine spezielle Wahl der Koeffizienten
> (=komplexen Zahlen) [mm]a=x_1+iy_1[/mm] und [mm]b=x_2+iy_2.[/mm]
x>
> In die spezielle Wahl fällt aber auch die Lösung, dass
> [mm]x_1=x_2=y_1=y_2=0[/mm] und somit hat die
> Linearkombinationsgleichung die triviale Lösung a=0 und
> b=0.
>
> Deshalb bin ich mir jetzt irgendwie nicht sicher...
Soweit alles korrekt. Wenn du dir nun die Definition der linearen Unabhängkeit anschaust, wirst du sehen, dass sich die triviale Lösung ergeben MUSS, wenn 2 Vektoren linear unabhängig sein sollen.
Ist das hier der Fall oder gibt es noch eine andere Möglichkeit?
> Was wäre denn die nicht komplizierte Variante
Um zu zeigen, dass etwas NICHT gilt, reicht bekanntlich immer ein Gegenbeispiel.
Nun schau dir mal die Gleichung
$a*1 + b*i = 0$ mit [mm] $a,b\in \IC$ [/mm] an.... findest du da schnell ein nicht-triviales Beispiel? 
Fertig.
> > Du kannst die komplexen Zahlen als [mm]\IR^2[/mm] einführen,
> das
> > geht als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] auch recht gut, weil es da mit der
> > Multiplikation mit einem Skalar (also einer Zahl aus [mm]\IR)[/mm]
> > keine Probleme gibt und alles analog zu [mm]\IC[/mm] verläuft.
>
> Was bedeutet hier, es verläuft analog zu [mm]\IC[/mm] ?
Damit meinte ich, multipliziert wird einfach komponentenweise, ob ich es nun als Vektor darstelle oder in der Form Realteil + i*Imaginärteil.
Beide Male multipliziere ich einfach beide Komponenten mit meinem Skalar.
In dem einen Fall die Vektorkomponenten, im anderen den Real- bzw. den Imaginärteil.....
> Wir haben die komplexen Zahlen wie folgt eingeführt:
>
> Als Menge ist [mm]\IC[/mm] einfach [mm]\IR^2=\IR \times \IR[/mm] und [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm]
> sind wie folgt definiert:
> - [mm](x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2,y_1+y_2)[/mm]
> - [mm](x_1,y_1)*(x_2,y_2):=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)[/mm]
>
Sehr gut! Dann kannst du die Betrachtung tatsächlich auch für Vektoren durchführen und nicht für die Form $a+bi$.
Beachte dabei allerdings, dass du in einem [mm] \IC-Vektorraum [/mm] dann tatsächlich auch mit Skalaren aus [mm] \IC [/mm] multiplizierst und somit die Multiplikation wie oben beschrieben durchführen müsstest!
Letztendlich kommst du dann aber auf die gleichen Gleichungen wie du oben.
Machs einfach mal, du wirst das auch feststellen
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 11.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
> Soweit alles korrekt. Wenn du dir nun die Definition der
> linearen Unabhängkeit anschaust, wirst du sehen, dass sich
> die triviale Lösung ergeben MUSS, wenn 2 Vektoren linear
> unabhängig sein sollen.
> Ist das hier der Fall oder gibt es noch eine andere
> Möglichkeit?
Also heißt dass, das wenn es außer der trivialen Lösung noch andere Lösungen gibt, den Nullvektor zu erzeugen, dass die Vektoren dann nicht linear unabhängig sind?
Ja, also z.B. für die komplexen Zahlen (also die Koeffizienten) $a=5-3i$ und $b=3+5i$ erhalte ich auch den Nullvektor.
Dann sind $1 [mm] \in \IC$ [/mm] und $i [mm] \in \IC$ [/mm] also nicht linear unabhängig?
> Um zu zeigen, dass etwas NICHT gilt, reicht bekanntlich
> immer ein Gegenbeispiel.
> Nun schau dir mal die Gleichung
>
> [mm]a*1 + b*i = 0[/mm] mit [mm]a,b\in \IC[/mm] an.... findest du da schnell
> ein nicht-triviales Beispiel?
> Fertig.
Hmm, z.B. wenn ich $a=1 [mm] \in \IC$ [/mm] und $b=i [mm] \in \IC$ [/mm] wähle?
Dann hätte ich $1*1+i*i=1+(-1)=0$
Also hab ich auch hier den Nullvektor mit Hilfe der nichttrivialen Lösung erzeugt und damit sind die Vektoren linear abhängig?
> Sehr gut! Dann kannst du die Betrachtung tatsächlich auch
> für Vektoren durchführen und nicht für die Form [mm]a+bi[/mm].
> Beachte dabei allerdings, dass du in einem [mm]\IC-Vektorraum[/mm]
> dann tatsächlich auch mit Skalaren aus [mm]\IC[/mm] multiplizierst
> und somit die Multiplikation wie oben beschrieben
> durchführen müsstest!
> Letztendlich kommst du dann aber auf die gleichen
> Gleichungen wie du oben.
> Machs einfach mal, du wirst das auch feststellen
Ok, aber dann müsst ich auch im Falle des [mm] \IR-Vektorraums [/mm] die reellen Zahlen in Tupel umschreiben, oder?
Also hätte ich beim [mm] \IR-Vektorraum:
[/mm]
$1 [mm] \in \IC [/mm] = (1,0)$ und $i [mm] \in \IC [/mm] = (0,1)$
$a, b [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] a=(a,0), b=(b,0)$
Und dann soll $(a,0)*(1,0)+(b,0)*(0,1)$ ja gleich $(0,0)$ sein.
Wenn ich das jetzt miteinander multipliziere, dann erhalte ich als Ergebnis $(a,b)$.
Und dann kann ja $(a,b)=(0,0)$ wirklich nur für die triviale Lösung $a=0$ und $b=0$ erfüllt sein, also sind $1,i [mm] \in \IC$ [/mm] linear unabhängig.
Und beim [mm] \IC-Vektorraum:
[/mm]
$1 [mm] \in \IC [/mm] = (1,0)$ und $i [mm] \in \IC [/mm] = (0,1)$
$a, b [mm] \in \IC \Rightarrow a=(x_1,y_1), b=(x_2,y_2)$
[/mm]
Und dann soll [mm] $(x_1,y_1)*(1,0)+(x_2,y_2)*(0,1)$ [/mm] ja gleich $(0,0)$ sein.
Wenn ich das jetzt miteinander multipliziere, dann erhalte ich als Ergebnis [mm] $(x_1-y_2,y_1+x_2)$.
[/mm]
Und dann kann ja [mm] $(x_1-y_2,y_1+x_2)=(0,0)$ [/mm] in den Fällen erfüllt sein, die ich oben gesagt habe, also wenn [mm] x_1=y_2 [/mm] und [mm] y_1=-x_2 [/mm] und da habe ich mehrere Möglichkeiten, den Nullvektor zu erzeugen, also sind $1,i [mm] \in \IC$ [/mm] nicht linear unabhängig.
Ist das richtig so?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Huhu Nadine,
> Also heißt dass, das wenn es außer der trivialen Lösung
> noch andere Lösungen gibt, den Nullvektor zu erzeugen,
> dass die Vektoren dann nicht linear unabhängig sind?
Genau das heisst es!
> Ja, also z.B. für die komplexen Zahlen (also die
> Koeffizienten) [mm]a=5-3i[/mm] und [mm]b=3+5i[/mm] erhalte ich auch > den Nullvektor.
Da du im ersten Fall einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] betrachtest, müssen $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] sein und nicht aus [mm] \IC.
[/mm]
Das ist ja der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben.
Für den zweiten Teil der Aufgabe hättest du mit diesen beiden Werten ein Gegenbeispiel der linearen Unabhängigkeit gefunden.
> Dann sind [mm]1 \in \IC[/mm] und [mm]i \in \IC[/mm] also nicht linear
> unabhängig?
Kommt drauf an, welche Aufgabe du meinst
> Hmm, z.B. wenn ich [mm]a=1 \in \IC[/mm] und [mm]b=i \in \IC[/mm] wähle?
>
> Dann hätte ich [mm]1*1+i*i=1+(-1)=0[/mm]
>
> Also hab ich auch hier den Nullvektor mit Hilfe der
> nichttrivialen Lösung erzeugt und damit sind die Vektoren
> linear abhängig?
Da hier $b [mm] \in \IC$ [/mm] gilt, wäre das nur ein Gegenbeispiel für den zweiten Aufgabenteil.
Klar warum?
> Ok, aber dann müsst ich auch im Falle des [mm]\IR-Vektorraums[/mm]
> die reellen Zahlen in Tupel umschreiben, oder?
Ja, in einem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] brauchst du das zwar nicht machen, da ja dort eh gilt
[mm]a*\vektor{x_1 \\ x_2} = \vektor{ax_1 \\ ax_2}[/mm]
> Also hätte ich beim [mm]\IR-Vektorraum:[/mm]
>
> [mm]1 \in \IC = (1,0)[/mm] und [mm]i \in \IC = (0,1)[/mm]
>
> [mm]a, b \in \IR \Rightarrow a=(a,0), b=(b,0)[/mm]
>
> Und dann soll [mm](a,0)*(1,0)+(b,0)*(0,1)[/mm] ja gleich [mm](0,0)[/mm]
> sein.
>
> Wenn ich das jetzt miteinander multipliziere, dann erhalte
> ich als Ergebnis [mm](a,b)[/mm].
>
> Und dann kann ja [mm](a,b)=(0,0)[/mm] wirklich nur für die triviale
> Lösung [mm]a=0[/mm] und [mm]b=0[/mm] erfüllt sein, also sind [mm]1,i \in \IC[/mm]
> linear unabhängig.
Korrekt. Für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] !
> Und beim [mm]\IC-Vektorraum:[/mm]
>
> [mm]1 \in \IC = (1,0)[/mm] und [mm]i \in \IC = (0,1)[/mm]
>
> [mm]a, b \in \IC \Rightarrow a=(x_1,y_1), b=(x_2,y_2)[/mm]
>
> Und dann soll [mm](x_1,y_1)*(1,0)+(x_2,y_2)*(0,1)[/mm] ja gleich
> [mm](0,0)[/mm] sein.
>
> Wenn ich das jetzt miteinander multipliziere, dann erhalte
> ich als Ergebnis [mm](x_1-y_2,y_1+x_2)[/mm].
>
> Und dann kann ja [mm](x_1-y_2,y_1+x_2)=(0,0)[/mm] in den Fällen
> erfüllt sein, die ich oben gesagt habe, also wenn [mm]x_1=y_2[/mm]
> und [mm]y_1=-x_2[/mm] und da habe ich mehrere Möglichkeiten, den
> Nullvektor zu erzeugen, also sind [mm]1,i \in \IC[/mm] nicht linear
> unabhängig.
>
>
>
> Ist das richtig so?
Jop
MFG,
Gono
|
|
|
|
