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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Di 07.04.2009 | | Autor: | rafael |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum und [mm] v_{1},v_{2},v_{3} \in [/mm] V seien linear unabhängig. Für welche reellen Zahlen [mm] \alpha [/mm] sind folgende Vektoren linear unabhängig?
[mm] w_{1} [/mm] := [mm] (\alpha [/mm] - [mm] 1)v_{2} [/mm] + [mm] 2v_{3}
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] := [mm] 2v_{1} [/mm] + (2 [mm] \alpha [/mm] - [mm] 3)v_{2} [/mm] + [mm] 4v_{3}
[/mm]
[mm] w_{3} [/mm] := [mm] v_{1} [/mm] + ( [mm] \alpha [/mm] - 1 [mm] )v_{2} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] |
Also ich habe mir gedacht daher [mm] w_{1} [/mm] bis [mm] w_{3} [/mm] unabhängig seien sollen schreibe ich die drei Vektoren in ein LGS und bringe es auf Zeilenstufenform
das sieht dann am ende wie folgt aus
2 -1 0
0 1 -2
0 [mm] \alpha-1 [/mm] 2
daraus bekomme ich dann, dass das LGS in Zeilenstufenform kommt, wenn [mm] \alpha [/mm] = 1 ist.
Mein Problem ist nun das ich nicht genau weiß ob meine ws linear unabhängig für alle [mm] \alpha [/mm] ungleich 1 werden oder für alle [mm] \alpha [/mm] = 1 linear unabhängig werden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Di 07.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rafael,
> Es sei V ein Vektorraum und [mm]v_{1},v_{2},v_{3} \in[/mm] V seien
> linear unabhängig. Für welche reellen Zahlen [mm]\alpha[/mm] sind
> folgende Vektoren linear unabhängig?
> [mm]w_{1}[/mm] := [mm](\alpha[/mm] - [mm]1)v_{2}[/mm] + [mm]2v_{3}[/mm]
> [mm]w_{2}[/mm] := [mm]2v_{1}[/mm] + (2 [mm]\alpha[/mm] - [mm]3)v_{2}[/mm] + [mm]4v_{3}[/mm]
> [mm]w_{3}[/mm] := [mm]v_{1}[/mm] + ( [mm]\alpha[/mm] - 1 [mm])v_{2}[/mm] + [mm]v_{3}[/mm]
> Also ich habe mir gedacht daher [mm]w_{1}[/mm] bis [mm]w_{3}[/mm] unabhängig
> seien sollen schreibe ich die drei Vektoren in ein LGS und
> bringe es auf Zeilenstufenform
> das sieht dann am ende wie folgt aus
> 2 -1 0
> 0 1 -2
> 0 [mm]\alpha-1[/mm] 2
>
> daraus bekomme ich dann, dass das LGS in Zeilenstufenform
> kommt, wenn [mm]\alpha[/mm] = 1 ist.
> Mein Problem ist nun das ich nicht genau weiß ob meine ws
> linear unabhängig für alle [mm]\alpha[/mm] ungleich 1 werden oder
> für alle [mm]\alpha[/mm] = 1 linear unabhängig werden
wo ist denn da die Systematik? Du hast doch die Voraussetzung, dass [mm] $\sum_{k=1}^3 \lambda_k v_k [/mm] =0 [mm] \Rightarrow \lambda_{k}=0$ [/mm] für [mm] $k=1,2,3\,.$ [/mm] Das wirst Du doch ausnutzen wollen, bei Dir oben ist das irgendwie verlorengegangen.
Starte einfach mit:
Es sei [mm] $\sum_{k=1}^3 \mu_k w_k=0\,.$ [/mm] Dann sind [mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] genau dann linear unabhängig, wenn daraus schon [mm] $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ [/mm] folgt.
Nun gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^3 \mu_k w_k=\mu_1 w_1+\mu_2 w_2+\mu_3 w_3=\mu_1 \big((\alpha-1)v_2+2v_3\big)+\mu_2\big(2v1+(2\alpha-3)v_2+4v_3\big)+\mu_3\big(v_1+(\alpha-1)v_2+v_3\big)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\sum_{k=1}^3 \mu_k w_k=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\mu_1 \big((\alpha-1)v_2+2v_3\big)+\mu_2\big(2v1+(2\alpha-3)v_2+4v_3\big)+\mu_3\big(v_1+(\alpha-1)v_2+v_3\big)=0}\,.$$
[/mm]
Die letzte blaue Gleichung kann man aber so umsortieren, dass man die Voraussetzung
[mm] $$\sum_{k=1}^3 \lambda_k v_k [/mm] =0 [mm] \Rightarrow \lambda_{k}=0\;\; \text{ für } k=1,2,3\,.$$
[/mm]
benutzen kann. Anders gesagt:
Durch umsortieren der blauen Gleichung erhälst Du eine Gleichung der Form
[mm] $$\sum_{k=1}^3 \lambda_k v_k =0\,,$$
[/mm]
wobei dann [mm] $\lambda_k=\lambda_k(\mu_1,\mu_2,\mu_3;\alpha)$ ($\,k=1,2,3\,$) [/mm] sein wird. Damit bekommst Du, weil nach Voraussetzung [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] linear unabhängig sind, die drei Gleichungen
[mm] $$\big(\lambda_1(\mu_1,\mu_2,\mu_3;\alpha)=\big)\;\;\;\;\;\lambda_1=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\big(\lambda_2(\mu_1,\mu_2,\mu_3;\alpha)=\big)\;\;\;\;\;\lambda_2=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\big(\lambda_3(\mu_1,\mu_2,\mu_3;\alpha)=\big)\;\;\;\;\;\lambda_3=0\,.$$
[/mm]
Dies liefert Dir dann ein (homogenes lineares) Gleichungssystem in [mm] $\mu_1, \mu_2$ [/mm] und [mm] $\mu_3$ [/mm] (in Abhängigkeit(!) vom Parameter [mm] $\alpha$): [/mm]
[mm] $$\lambda_1=0\;\; \Rightarrow \;\; [/mm] 2 [mm] \mu_2+\mu_3=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$\lambda_2=0\;\; \Rightarrow \;\;...\,,$$
[/mm]
[mm] $$\lambda_3=0\;\; \Rightarrow \;\; ...\,,$$
[/mm]
und nun ist es Deine Aufgabe, herauszufinden, für genau welche Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] dieses nur die triviale Lösung [mm] $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ [/mm] hat. Für genau diese Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] sind [mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] linear unabhängig.
P.S.:
Ich würde übrigens dann so vorgehen, dass ich zu guter letzt das letztstehende Gleichungssystem in die Form
[mm] $$A*\vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3}=\vektor{0\\0\\0}$$
[/mm]
bringen würde, wobei [mm] $A=A(\alpha) \in \IR^{3 \times 3}\,$ [/mm] (die Matrix [mm] $A=A(\alpha)$ [/mm] hättest Du nun konkret anzugeben). Denn dann sind [mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] genau dann linear unabhängig, wenn [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar, bzw. mit anderen Worten:
[mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] sind genau dann linear abhängig, wenn [mm] $\det A=0\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 07.04.2009 | | Autor: | rafael |
ah nun hab ichs verstanden vielen dank für die hilfe ! :)
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