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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 So 27.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab da einen noch zu beweisenden Satz gefunden:
Für S [mm] \subseteq [/mm] V gilt:
S = L(S) [mm] \gdw [/mm] S [mm] \le_{K} [/mm] V
Dass heißt wenn S selber ein Unterraum ist ist S gleich seiner linearen Hülle
So jetzt bräuchte ich wieder einen Ansatz wie ich das zu beweisen habe.
Mein Ansatz:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
trivial da wenn S gleich seiner linearen Hülle ist ist S automatisch laut Definition ein Unterraum
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Sei S z.b.: eine Gerade durch den 0-Punkt ax + bz = 0. So und jetzt weiß ich nicht weiter....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 So 27.02.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
das geht ja schon aus der Definition der linearen Hülle hervor:
Sei [mm]S \subset X[/mm] und [mm]X[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum.
[mm]\left\langle S \right\rangle := \bigcap \left\{ Y | S \subset Y \subset X, Y ist Unterraum von X \right\}[/mm]
Das heisst wenn [mm]S[/mm] schon ein Unterraum ist, ist der Schnitt über alle Unterräume, die [mm]S[/mm] enthalten, gleich [mm]S[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 27.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Genügt es also wenn ich einen Verweis zur Definition gib. Ich meine ich versteh was du meinst aber reicht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 27.02.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
wenn ihr die lineare Hülle so (als Schnitt) definiert habt ja bzw. wenn ihr schon gezeigt habt, dass das das selbe ist.
Man kann auf jeden Fall noch sagen man [mm]S[/mm] selbst mit allen anderen Unterräumen [mm]Y[/mm] mit [mm]S \subseteq Y[/mm] schneidet.
Und aus [mm]A \subset B \Rightarrow A \cap B = A[/mm] folgt
[mm] \Rightarrow \bigcap_{Y \le X \wedge S \subseteq Y} Y = S \cap (\bigcap_{Y \le X \wedge S \subset Y} Y) = S[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo bin grade draufgekommen dass wir die lineare Hülle nicht über den Durchschnitt definierten sondern über Summe(Durchschnitt war leider anderes Skript), also:
Für T Teilmenge von V sei L(T) := [mm] \cup [/mm] S [mm] \subseteq T_{S endlich} [/mm] L(S)
Also wird hier jede Teilmenge von T genommen die lineare Hülle(alle Linearkombinationen) gebildet und dann wird das Ganze aufsummiert.
Das heisst wenn T schon ein Unterraum ist dann ist die Summe aller Linearkombinationen von T gleich T selbst. Reicht dass aus für einen Beweis....
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Ich würde hier noch kurz anmerken, dass Vektorräume bezüglich "Liniarkombination von Elementen" bilden abgeschlossen sind, und dann solltest du mit dieser Definition zumindest die Richtung T(S) Teilmenge von S gezeigt haben, die andere Richtung ist trivial.
viele Grüße
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 06.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Und wie würde der aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Wenn $S$ ein Unterraum von $V$ ist, dann liegt mit jeder Familie [mm] $(v_i)_{i \in I}$ [/mm] auch jede endliche Linearkombination dieser Familie in $S$, wie man induktiv aus der Unterraumeigenschaft
$v,w [mm] \in [/mm] S [mm] \quad [/mm] , [mm] \quad \lambda,\mu \in \IK \qquad \Rightarrow \qquad \lambda \, [/mm] v+ [mm] \mu \, [/mm] w [mm] \in [/mm] S$
folgern kann.
Dies bedeutet aber gerade $L(S) [mm] \subset [/mm] S$.
Viele Grüße
Julius
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