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| Aufgabe | [mm] A_{t}(-1/2/2t-1), B_{t}(5/3t-2/-1), [/mm] C(-1/1/-1) für t [mm] \in \IR
[/mm]
a) Weisen Sie nach, dass die Vektoren [mm] \vec{a_{t}}=\overrightarrow{0A_{t}}, \vec{b_{t}}=\overrightarrow{B_{t}}, \vec{c}=\overrightarrow{0C} [/mm] für jedes t linear unabhängig sind.
b)Untersuchen Sie, ob es ein t gibt für das [mm] \vec{a_{t}}, \vec{b_{t}}, \vec{c} [/mm] paarweise orthogonal sind |
Hey Leute,
[mm] s*\vektor{-1\\2\\2t-1}+r*\vektor{5\\3t-2\\-1}+u*\vektor{-1\\ 1 \\ -1}=0
[/mm]
I : -s+5r-u=0
II : 2s+3tr-2r+u=0
III: 2ts-s-r-u=0
I-III : -2ts+6r=0
I+II : s+3r+3tr=0
I+II : s=-3r-3tr in I-III eingesetz
[mm] 6t^2*r+6tr+6r=0
[/mm]
Hmm, irgendwas mach ich ich hier falsch^^? Kann ich es einfacher lösen?
b) Müssten ja die Skalarprodukte 0 ergeben
[mm] \vec{a_{t}}*\vec{b_{t}}=0
[/mm]
[mm] \vektor{-1\\2\\2t-1}*\vektor{5\\3t-2\\-1}=0
[/mm]
-5+6t-4-2t+1=0
t=-2
[mm] \vec{a_{t}}*\vec{c}=0
[/mm]
[mm] \vektor{-1\\2\\2t-1}*\vektor{-1\\ 1 \\ -1}=0
[/mm]
1+2-t+1=0
t=2
[mm] \vec{b_{t}}*\vec{c}=0
[/mm]
[mm] \vektor{5\\3t-2\\-1}**\vektor{-1\\ 1 \\ -1}=0
[/mm]
-5+3t-2+1=0
t=2
Ist das so richtig?
Lg, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 So 30.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zu a):
> I : -s+5r-u=0
> II : 2s+3tr-2r+u=0
> III: 2ts-s-r-u=0
Nimm die erste Gleichung und löse sie nach $s$ auf
[mm] $s\,=\,5r-u$ [/mm] (*)
Dies setzen wir nun in die zweite Gleichung
[mm] $2s+3tr-2r+u\,=\,10r-2u+3tr+u\,=\,r(10+3t)-u\,\overset{!}{=}0$
[/mm]
und lösen diese nach $u$ auf. Wir erhalten
[mm] $u\,=\,r(10+3t)$ [/mm] (**)
(*) und (**) setzen wir nun in die dritte Gleichung ein
[mm] $2ts-s-r-u\,=\,2t(5r-u)-(5r-u)-r-r(10+3t)$
[/mm]
[mm] $=\,7tr-16r-2tu+u$
[/mm]
[mm] $=\,7tr-16r-2tr(10+3t)+r(10+3t)$
[/mm]
[mm] $=\,7tr-16r-20tr-6t^2r+10r+3rt$
[/mm]
[mm] $=\,(-6t^2-10t-6)r$
[/mm]
[mm] $\overset{!}{=}0$
[/mm]
(Wir haben nicht dasselbe Ergebnis. Daher kann es sein, dass sich einer von uns beiden verrechnet hat.) Nun muss der Ausdruck vor dem $r$ ungleich $0$ sein. Dafür benutzt du nun die quadratische Formel (p-q-Formel) um diejenigen $t$ zu bestimmen, für die der Klammerausdruck $0$ wird. Diese $t$ dürfen also nicht gewählt werden.
> b) Müssten ja die Skalarprodukte 0 ergeben
>
> [mm]\vec{a_{t}}*\vec{b_{t}}=0[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\2t-1}*\vektor{5\\3t-2\\-1}=0[/mm]
>
> -5+6t-4-2t+1=0
> t=-2
Nur ein Vorzeichenfehler in der letzten Zeile: $t=2$ wäre korrekt.
> [mm]\vec{a_{t}}*\vec{c}=0[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\2t-1}*\vektor{-1\\ 1 \\ -1}=0[/mm]
>
> 1+2-t+1=0
> t=2
Ergebnis ist richtig. Nur eine 2 vor dem $t$ vergessen.
$1+2-2t+1=0$
[mm] $\Longrightarrow\;t=2$
[/mm]
> [mm]\vec{b_{t}}*\vec{c}=0[/mm]
>
> [mm]\vektor{5\\3t-2\\-1}**\vektor{-1\\ 1 \\ -1}=0[/mm]
>
> -5+3t-2+1=0
> t=2
Hier ist alles richtig!
> Lg, Daniel
Gruß
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Hey!
Als du die (*) Gleichung s=5r-u in die 2te Gleichung eingesetz hast, hast du -2r unterschlagen, aber das soll uns jetzt mal nicht interessieren ;)
Ich hab nur noch eine kleine Frage zur Aufgabe allg.
Weisen Sie nach, dass die Vektoren $ [mm] \vec{a_{t}}=\overrightarrow{0A_{t}}, \vec{b_{t}}=\overrightarrow{B_{t}}, \vec{c}=\overrightarrow{0C} [/mm] $ für jedes t linear unabhängig sind.
Was macht das für einen Sinn, wenns es t-Werte gibt, die es laut Stellung nicht geben darf?^^ Oder hab ich die Aufgabe nicht 100% verstanden ...
Gruß
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> Hey!
>
> Als du die (*) Gleichung s=5r-u in die 2te Gleichung
> eingesetz hast, hast du -2r unterschlagen, aber das soll
> uns jetzt mal nicht interessieren ;)
>
> Ich hab nur noch eine kleine Frage zur Aufgabe allg.
>
> Weisen Sie nach, dass die Vektoren
> [mm]\vec{a_{t}}=\overrightarrow{0A_{t}}, \vec{b_{t}}=\overrightarrow{B_{t}}, \vec{c}=\overrightarrow{0C}[/mm]
> für jedes t linear unabhängig sind.
>
> Was macht das für einen Sinn, wenns es t-Werte gibt, die es
> laut Stellung nicht geben darf?^^ Oder hab ich die Aufgabe
> nicht 100% verstanden ...
Du hattest als letzte Gleichung $6t^2r+6tr+6r=0$ bzw., äquivalent, [mm] $(t^2+t+1)\cdot [/mm] r=0$. Diese Gleichung kann nur für $r=0$ gelten, da der Term [mm] $t^2+t+1$ [/mm] für kein $t$ gleich $0$ werden kann (Diskriminante der quadratischen Gleichung [mm] $t^2+t+1=0$ [/mm] ist $<0$). Aus $r=0$ folgt dann aber sogleich $s=0$ und $u=0$. Damit hast Du gezeigt, dass die drei Vektoren für alle $t$ linear-unabhängig sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 30.03.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Super, danke ! Habs verstanden :)
Schönen Abend wünsch ich euch noch!
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