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Hej,
also, ich folgende Augaben gestellt bekommen und kann damit leider nicht so richtig was anfangen, würde mich daher über einen Ansatz oder so freuen!
Danke :)
39.
Sei V = Abb( R,R )
39.
Sei V = Abb( R,R )
(a) Sind für zwei Zahlen a, b
∈ R , a [mm] \not= [/mm] b die beiden folgenden Elemente von V linear
unabhängig?
t → e^at
t → e^bt
(b) Zeigen Sie, daß die folgenden drei Funktionen linear unabhängig sind:
t → 1 t → sin t t → cos t
40. a In R3 seien die Vektoren
x1=(1, 1 ,0) ; x2=(-1 , 2 , 3); x3=(0 , 3 , 3) ;
x4=(-3 ,3 ,6); x5=(1 , -1 , 1)
gegeben. Man wähle aus x1,...,x5 eine Basis von V =lin(x1,...,x5) aus. Gilt V=R3?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, AnnKathrin,
lineare Abhängigkeit von Funktionen könntest Du wie folgt Untersuchen: Betrachte einmal
[mm] r*f_1(x) [/mm] + [mm] s*f_2(x) [/mm] = 0.
Wenn Du Konstanten [mm] r,s\not= [/mm] 0 findest, die diese Gleichung FÜR ALLE
x aus der Definitionsmenge erfüllen, so sind die Funktionen linear
abhängig. (Genau wie bei zwei Vektoren u und v: Wenn sie linear
unabhängig sind, so ist die einzige Lösung für r*u+s*v=0 eben
r=s=0)
In Deinem Beispiel könntest Du so vorgehen: (Durch Ableitung
nach t erhältst Du die zweite Gleichung)
(1): r* [mm] e^{at} [/mm] + s* [mm] e^{bt} [/mm] = 0
(2): ar * [mm] e^{at} [/mm] + bs* [mm] e^{bt} [/mm] = 0
Ziehen wir die Gleichungen wie folgt voneinander ab:
(2)-a*(1) [mm] \Rightarrow [/mm] (3): (b-a)*s* [mm] e^{bt} [/mm] = 0,
was nur erfüllt wäre, wenn entweder (b=a), oder s=0.
Aber genau diese Fälle haben wir ja ausgeschlossen! Also
gibt es keine gültigen a,b,r,s, um die Gleichungen oben zu
erfüllen. Die Funktionen sind linear unabhängig.
Übe das in der (b)-Aufgabe am Ansatz
a*t + b*sin(t) + c*cos(t) = 0
mit ggf. zwei Ableitungen. Erliege dabei nicht der im Allgemeinen
falschen Versuchung zu zeigen, dass [mm] f_1 [/mm] l.u. zu [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_2
[/mm]
l.u. zu [mm] f_3 [/mm] ist. Vektorielles Gegenbeispiel:
(1,0),(1,1),(0,1) sind paarweise linear unabhängig.
Dennoch ist (1,1)-(1,0)=(0,1).
Für die Aufgabe 40 stellst Du Dir am besten die 5 Vektoren zu
einer 5x3-Matrix zusammen und bestimmst ihren Rang. Ist der <3
enthalten die Vektoren keine Basis des [mm] R^3.
[/mm]
Ist der Rang=3, so kannst Du zwei geeignete Zeilen der Matrix
streichen und so eine 3x3-Matrix mit Rang 3 erhalten deren Zeilen
eine Basis des [mm] R^3 [/mm] darstellen. (Zur Erinnerung: Eine Basis
ist eine minimale Menge von Vektoren deren Aufspann den gesamten
Vektorraum umfasst)
Ich hoffe, das hilft Dir weiter!
Liebe Grüße, Markus-Hermann.
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