Lineare Unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:29 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Capi |
| Aufgabe | Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm] \vektor{9a \\ 3a}, \vektor{a \\ 1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich habe zunächst ein LGS damit aufgestellt:
9ar + as = 0
3ar + s = 0
Damit die Vektoren linear abhängig sind, müssen ja weitere Lösungen existieren als nur r = s = 0.
Ich habe dann weiter gerechnet:
s = -3ar
9ar - 3a²r = 0
r (-3a² + 9a) = 0
a (-3a + 9) = 0
Also a = 0 oder a = 3; stimmt das?? Wobei ja wenn a = 0, gäbe es ja nur noch den zweiten Vektor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Disap |
> Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die
> Vektoren linear abhängig sind?
> [mm]\vektor{9a \\ 3a}, \vektor{a \\ 1}[/mm]
> Ich habe diese Frage
> in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
Moin.
> also ich habe zunächst ein LGS damit aufgestellt:
>
> 9ar + as = 0
> 3ar + s = 0
>
> Damit die Vektoren linear abhängig sind, müssen ja weitere
> Lösungen existieren als nur r = s = 0.
Richtig.
> Ich habe dann weiter gerechnet:
>
> s = -3ar
> 9ar - 3a²r = 0
> r (-3a² + 9a) = 0
> a (-3a + 9) = 0
>
> Also a = 0 oder a = 3; stimmt das?? Wobei ja wenn a = 0,
> gäbe es ja nur noch den zweiten Vektor?
Scheinst richtig gerechnet zu haben, denn a=3 stimmt.
Das kannst du aber auch einfacher haben:
WEnn der erste Vektor ein Vielfaches vom zweiten ist, dann sind sie linear abhängig.
Also gilt
$9a = [mm] a\lambda \Rightarrow [/mm] 9 = [mm] \lambda$
[/mm]
$3a = [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] = 9$ in die zweite :
$3a = 9 [mm] \Rightarrow [/mm] a=3.$
Und ja, das mit dem Nullvektor macht nicht viel Sinn. Der ist ja auch nicht linear abhängig zu dem anderen Vektor....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Capi |
Danke, das geht wirklich schneller :D
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Capi |
Und wie mache ich das dann, wenn nach der Abhängigkeit von 3 Vektoren gefragt ist?
Zum Beispiel
[mm] \vektor{a³ \\ a² \\ a}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}}
[/mm]
Schreib ich dann a³ = x + 27y usw.?
Da kommt bei mir nämlich nichts gescheites raus... mit der anderen Methode aber auch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Disap |
> Und wie mache ich das dann, wenn nach der Abhängigkeit von
> 3 Vektoren gefragt ist?
> Zum Beispiel
>
> [mm]\vektor{a³ \\ a² \\ a}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}}[/mm]
>
> Schreib ich dann a³ = x + 27y usw.?
> Da kommt bei mir nämlich nichts gescheites raus... mit der
Wenn es funktioniert  [was ich dir nicht sagen kann]
> anderen Methode aber auch nicht...
Na ja, wozu musst du prüfen, ob drei Vektoren linear unabhängig sind? Selbstverständlich benötigst du drei linear unabhängige Vektoren für eine Ebene.
Du kannst jeden Vektor einzeln auf lineare Unabhängigkeit zum anderen prüfen
Also:
[mm] $\vektor{a³ \\ a² \\ a} [/mm] =t [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] Geht für a=1
[mm] $\vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}}=t \vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] Geht wohl gar nicht, für gar kein a.
[mm] $\vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}}=t\vektor{a³ \\ a² \\ a}$ [/mm] Für a=1 stimmt es jedenfalls nicht. Ob sich ein anderes a finden lässt, kannst du ja mal testen.
Es gab da aber noch eine andere Methode das zu prüfen, die fällt mir aber gerade nicht ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 21.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Versuche doch mit dem Gaußalgorithmus.
Wende den Algorithmus auf die Vektoren, geschrieben in einer Matrixform.
Wenn die Diagonale keine nullen enthält, bzw. Du hast keine Nullzeile sind die linear unabhängig.
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Hi, Capi,
am schnellsten geht's natürlich mit Determinante!
Ich krieg' dabei raus (zerlegte Form!):
[mm] a*(a-1)*(a^{6}-9*(a-2))
[/mm]
Und damit ergeben sich die Lösungen:
Für a=0 und für a=1 sind die Vektoren linear abhängig!
In allen anderen Fällen unabhängig.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Fr 23.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Die Determinante geht auch, aber nur bis Dimension max. 4. Danach wirds einfach nicht mehr interessant/möglich auf Papier das ganze durchzuführen. Mit dem Gaußalgorithmus geht es noch etwas weiter und vor allem einfacher.
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