Lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | Sind Vektoren, bei denen beim Prüfen auf lineare Abhängigkeit, ein unterbestimmtes Gleichungssystem vorliegt, linear abhängig? |
Hallo, ich arbeite gerade den Stoff der letzten Stunde nach und mir fällt das besonders schwer,da ich krank war und ich hoffe, ihr könnt mir hier eben kurz einen Denkanstoß geben. Meine Frage ist: Ich hab hier 3 Vektoren, die in R³ sich befinden, die auf lineare Abhängigkeit hin zu prüfen sind. Jetzt hab ich in einer Zeile 0-0-0 | 0 stehen und frage mich,ob man die Vektoren dann noch als linear abhängig bezeichnen würde. Ich bin mir gerade total unschlüssig,weil ich ja nicht mehr eine Zahl als Skalar habe,sondern einen Ausdruck,der von einem Parameter (t) abhängig ist...
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> Sind Vektoren, bei denen beim Prüfen auf lineare
> Abhängigkeit, ein unterbestimmtes Gleichungssystem
> vorliegt, linear abhängig?
> Hallo, ich arbeite gerade den Stoff der letzten Stunde
> nach und mir fällt das besonders schwer,da ich krank war
> und ich hoffe, ihr könnt mir hier eben kurz einen
> Denkanstoß geben. Meine Frage ist: Ich hab hier 3
> Vektoren, die in R³ sich befinden, die auf lineare
> Abhängigkeit hin zu prüfen sind. Jetzt hab ich in einer
> Zeile 0-0-0 | 0 stehen und frage mich,ob man die Vektoren
> dann noch als linear abhängig bezeichnen würde. Ich bin
> mir gerade total unschlüssig,weil ich ja nicht mehr eine
> Zahl als Skalar habe,sondern einen Ausdruck,der von einem
> Parameter (t) abhängig ist...
>
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Hallo,
betrachten wir
[mm] \vektor{2\\3\\4}, \vektor{5\\6\\7}, \vektor{9\\12\\15}.
[/mm]
Zu untersuchen ist, ob die Gleichung
[mm] a\vektor{2\\3\\4}+b\vektor{5\\6\\7}+c\vektor{9\\12\\15}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
nur die eine Lösung a=b=c=0 hat.
Untersuchung der Koeffizientenmatrix ergibt
[mm] \pmat{2&5&9&|&0\\3&6&12&|&0\\4&7&15&|&0} [/mm] ---> [mm] \pmat{1&0 &2&|&0\\0&1&1&|&0\\0&0&0&|&0}.
[/mm]
Das homogene LGS ist unterbestimmt.
Man kann eine Variable frei wählen, etwa
c=t,
und bekommt
b=-t
a=-2t.
Wir lernen: natürlich ist (mit t=0) a=b=c=0 eine Lösung,
aber (mit t=5) es ist auch a=-10, b=-5, c=5 eine Lösung.
Die Gleichung hat also nicht nur eine Lösung, und damit sind die Vektoren linear abhängig.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Tabs2000 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Damit ist meine Frage auch beantwortet : LINEAR ABHÄNGIG !!!
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