Lineare Unabh. konvexer Kegel < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen :),
habe gerade in einem Skript im Internet etwas über konvexe Kegel gelesen und dort eine Aussage gefunden, die ich nicht so ganz verstehe. Und zwar ist ein konvexer Kegel gegeben. Dann wird behauptet: Ist ein Vektor z im Innern des Kegels gelesen, so gibt es n linear unabhängige Vektoren aus dem Kegel, so dass sich z als Linearkombination von diesen darstellen lässt. Ganz blöd gefragt: Weiß jemand, ob dort ein Satz (wie z.B. Caratheodory für Kegel (ich kenne den nur für Polyeder)) dahinter steckt, oder ob das per Definition eines konvexen Kegels so sein muss??? Das Skript, in dem diese Aussage steht heißt übrigens "An introduction to optimal control theory" von Evans und behandelt eigentlich Steuerungen gew. Differentialgleichungen und ist keine Einführung in die Konvexgeometrie oder ähnliches... .
Viele Grüße,
Orchis
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> Hallo zusammen :),
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> habe gerade in einem Skript im Internet etwas über konvexe
> Kegel gelesen und dort eine Aussage gefunden, die ich nicht
> so ganz verstehe. Und zwar ist ein konvexer Kegel gegeben.
> Dann wird behauptet: Ist ein Vektor z im Innern des Kegels
> gelesen, so gibt es n linear unabhängige Vektoren aus dem
> Kegel, so dass sich z als Linearkombination von diesen
> darstellen lässt.
Hallo,
ich bin kein Experte, sondern gehe es mal ganz naiv an und betrachte auch nur den [mm] \IR^n [/mm] und keine exotischeren Räume.
Ein konvexer Kegel K ist doch eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] , bei der mit zwei Elementen auch wieder sämtliche positiven Linearkombinationen der beiden Elemente in K sind.
Wenn wir für [mm] M\subseteq \IR^n [/mm] definieren
pos(M):= Menge aller positiven Linearkombinationen von Elementen aus M,
so haben wir pos(K)=K.
K ist ein Erzeugendensystem von sich selbst.
Aus diesem Erzeugendensystem kann man ein minimales auswählen, dessen Elemente linear unabhängig sind.
Das minimale Erzeugendensystem kann höchstens n Elemente enthalten.
EDIT: hier gerate ich ins Grübeln... ein Kreiskegel ist ja auch ein konvexer Kegel... Werden bei bei Dir spezielle Kegel betrachtet?
Jedes Element des Kegels kann man jedenfalls als positive Linearkombination der Elemente des Erzeugendensystems schreiben, und ich vermute, daß Deine Aussage dies meint.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Dir liebe Angela, auch vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich finde deinen Ansatz auch wirklich sehr toll, aber wie du auch schon editiert hast, müsste man dann noch zeigen, dass es auch wirklich genau n linear unabhängige Basisvektoren gibt...hmmm, vllt. finde ich es ja mal selbst heraus. Sollte dem so sein, werde ich hier noch eine Nachricht hochstellen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Di 10.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Mir stellt sich die Frage: wo sind wir ? Konvexe Kegel kann man in jedem Vektorraum über einem angeordneten Körper definieren. Ich gehe mal davon aus, dass es sich in Deiner Frage um einen konvexen Kegel im [mm] \IR^n [/mm] handelt.
1. Zunächst folgendes:
Sei D eine nichtleere und offene Teilmenge des [mm] \IR^n. [/mm] Auf [mm] (\IR^n)^n [/mm] definieren wir eine Abbildung [mm] f:(\IR^n)^n \to \IR [/mm] durch
[mm] f(x_1,...,x_n):=det(x_1,...,x_n),
[/mm]
die [mm] x_j [/mm] werden also als Spalten zu eine Matrix [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] zusammengefasst.
f ist also ein Polynom in mehreren Variablen. Würde nun gelten
[mm] f(x_1,....,x_n)=0 [/mm] für alle [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] D,
so wäre f auf der offenen Menge [mm] D^n [/mm] identisch 0. Dann wäre aber f auf [mm] (\IR^n)^n [/mm] identisch 0, was aber nicht der Fall ist.
Folglich gibt es [mm] x_1^0,...,x_n^0 \in [/mm] D mit:
[mm] \{x_1^0,...,x_n^0\} [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^n.
[/mm]
2. Ist nun z ein innerer Punkt Deines konvexen Kegels K, so ex. eine offene Umgebung D von z mit D [mm] \subseteq [/mm] K. Sind dann [mm] x_1^0,...,x_n^0 \in [/mm] D wie in 1. , so ist z eine Linearkombination der [mm] x_1^0,...,x_n^0 \in [/mm] K.
Fazit: (meine Interpretation) Deine Frage hat nichts mit konvexen Kegeln, etc ... zu tun, sondern es gilt der
Satz: Ist D eine nichtleere und offene Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] so gibt es eine Basis [mm] \{x_1^0,...,x_n^0\} [/mm] des [mm] \IR^n [/mm] mit:
[mm] x_j^0 \in [/mm] D für j=1,...,n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo ihr zwei!
Ich finde es wirklich klasse, dass ihr mir helft. Dafür einen ganz großen Dank!!! Ich muss mir diese Hinweise nun einmal in aller Ruhe zu Gemühte führen. Es sei aber schon einmal angemerkt. Es werden hier sogenannte "cone of variation" (Variationskegel) betrachtet, die man bei mehrfachen Steuerungsänderungen eines DGL-Systems versehen mit einer Steuerung erhält. Die genaue Herleitung und deutlich bessere Erklärung des Ganzen findet man im Appendix von C.Evans "An Introduction to Mathematical
Optimal Control Theory" (Link: http://math.berkeley.edu/~evans/control.course.pdf). Was man aber schon mal sagen kann ist, dass sich die konvexen Kegel im [mm] \IR^n [/mm] befinden.
Nach Lesen und Verstehen eurer Beiträge werde ich mich dann nochmal melden :)
Lg Orchis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo Fred,
ich habe nun deinen Beitrag mit großem Interesse gelesen und du hast vollkommen Recht mit der Interpretation! Es ist mir ein bisschen peinlich, aber eswar mir wirklich nicht klar, dass man n Basisvektoren des [mm] R^n [/mm] aus einer offenen Menge D finden kann, sodass sich jeder Punkt als Linearkombination dieser schreiben lässt. Hättest du vielleicht einen guten Literaturvorschlag wie ein schönes Onlineskript für mich, in dem ich diesen Satz vielleicht einmal finden könnte? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> ich habe nun deinen Beitrag mit großem Interesse gelesen
> und du hast vollkommen Recht mit der Interpretation! Es ist
> mir ein bisschen peinlich, aber eswar mir wirklich nicht
> klar, dass man n Basisvektoren des [mm]R^n[/mm] aus einer offenen
> Menge D finden kann, sodass sich jeder Punkt als
> Linearkombination dieser schreiben lässt.
Wieso ist Dir das peinlich ??
> Hättest du
> vielleicht einen guten Literaturvorschlag wie ein schönes
> Onlineskript für mich, in dem ich diesen Satz vielleicht
> einmal finden könnte? :)
Nein, tut mir leid, sowas hab ich nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Weil es mir so vorkommt, als hätte ich das schon einmal lernen sollen und es darauf hinweist, dass ich mir die Lineare Algebra nochmal zu Gemüte führen sollte :).
Trotzdem danke! Bis dann!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:07 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo nochmal,
mir ist gerade aufgefallen, dass ich nicht wirklich verstehe wie du auf den folgenden Schritt gekommen bist.
> so wäre f auf der offenen Menge [mm]D^n[/mm] identisch 0. Dann
> wäre aber f auf [mm](\IR^n)^n[/mm] identisch 0, was aber nicht der
> Fall ist.
Würdest du mir das vllt. nochmal kurz erklären? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 18.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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