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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Di 28.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Zu den Messwerten [mm] (t_i/y_i) [/mm] sollen Polynome [mm] p_n(t)=\summe_{k=0}^{n}a_kt^k, [/mm] n=1,2,3 so bestimmt werden, dass der mittlere quadratische Fehler [mm] F(p_n):=\bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{4}(p_n(t_i)-y_i)^2 [/mm] minimal wird.
Berechnen sie jeweils [mm] F(p_n) [/mm] und skizzieren sie [mm] p_n(t)
[/mm]
Messwerte: (-1/2), (0/1), (1,2), (2,3) |
Hallo,
naja ich muss doch im Prinzip nur rechnen oder?
[mm] p_n(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3
[/mm]
[mm] p_n(0)=0
[/mm]
[mm] p_n(1)=a_0+a_1+a_2+a_3
[/mm]
[mm] p_n(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3
[/mm]
Wie soll ich denn da was skizzieren?
In [mm] F(p_n) [/mm] setzte ich wieder die Werte ein:
[mm] F(p_n):=\bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{4}(p_n(t_i)-y_i)^2=\bruch{1}{4}[(a_0-a_1+a_2-a_3-2)^2+(0-1)^2+(a_0+a_1+a_2+a_3-2)^2+(a_0+2a_1+4a_2+8a_3-3)^2]
[/mm]
Den Term kann ich dann einfach (naja etwas Aufwand ist es schon) ausrechnen und zusammenfassen.
Ist das richtig was ich mache?
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> Zu den Messwerten [mm](t_i/y_i)[/mm] sollen Polynome
> [mm]p_n(t)=\summe_{k=0}^{n}a_kt^k,[/mm] n=1,2,3 so bestimmt werden,
> dass der mittlere quadratische Fehler
> [mm]F(p_n):=\bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{4}(p_n(t_i)-y_i)^2[/mm]
> minimal wird.
> Berechnen sie jeweils [mm]F(p_n)[/mm] und skizzieren sie [mm]p_n(t)[/mm]
>
> Messwerte: (-1/2), (0/1), (1,2), (2,3)
> Hallo,
>
> naja ich muss doch im Prinzip nur rechnen oder?
>
> [mm]p_n(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3[/mm]
> [mm]p_n(0)=0[/mm]
> [mm]p_n(1)=a_0+a_1+a_2+a_3[/mm]
> [mm]p_n(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3[/mm]
>
> Wie soll ich denn da was skizzieren?
>
> In [mm]F(p_n)[/mm] setzte ich wieder die Werte ein:
>
> [mm]F(p_n):=\bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{4}(p_n(t_i)-y_i)^2=\bruch{1}{4}[(a_0-a_1+a_2-a_3-2)^2+(0-1)^2+(a_0+a_1+a_2+a_3-2)^2+(a_0+2a_1+4a_2+8a_3-3)^2][/mm]
>
> Den Term kann ich dann einfach (naja etwas Aufwand ist es
> schon) ausrechnen und zusammenfassen.
>
> Ist das richtig was ich mache?
Hallo Sup,
ich denke, dass du die Aufgabenstellung noch nicht ganz
richtig verstanden hast. Gegeben sind 4 Messpunkte (in
der x-y-Ebene). Gesucht sind 3 verschiedene Approximations-
funktionen, nämlich eine konstante (n=0), eine lineare (n=1)
und eine quadratische (n=2), welche die Messpunkte nach
dem Kriterium des kleinsten mittleren quadratischen Fehlers
jeweils möglichst gut approximieren sollen.
Eigentlich hast du also 3 voneinander getrennte Optimierungs-
aufgaben.
Für n=1 ist die sogenannte "Regressionsgerade" gesucht.
Für den Moment mal so viel ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Sup |
> ich denke, dass du die Aufgabenstellung noch nicht ganz
> richtig verstanden hast. Gegeben sind 4 Messpunkte (in
> der x-y-Ebene). Gesucht sind 3 verschiedene
> Approximations-
> funktionen, nämlich eine konstante (n=0), eine lineare
> (n=1)
> und eine quadratische (n=2), welche die Messpunkte nach
> dem Kriterium des kleinsten mittleren quadratischen
> Fehlers
> jeweils möglichst gut approximieren sollen.
Es ist doch n=1,2,3 gegeben. Eine Konstante wird nicht gesucht
> Eigentlich hast du also 3 voneinander getrennte
> Optimierungs-
> aufgaben.
> Für n=1 ist die sogenannte "Regressionsgerade" gesucht.
Nehmen wir mal n=1
Achso also setzte ich für [mm] p_n(-1)=\summe_{k=0}^{1}a_k(-1)^k=a_0-a_1
[/mm]
Und dass mache ich für die anderen Messwerte auch:
[mm] p_n(0)=0
[/mm]
[mm] p_n(1)=a_0+a_1
[/mm]
[mm] p_n(2)=a_0+2a_1
[/mm]
Für n=1 ist dass dann also eine Gerade. Mit den Werten sehe ich, dass sie durch den Ursprung geht.
Soll ich jetzt z.b. einfach eine belibige Ursprungsgerade zeichnen.
[mm] F(p_n)=1/4*\summe_{i=1}^{4}(p_n(t_i)-y_1)^2=1/4*[(a_0-a_1-2)^2+(0-1)^2+(a_0+a_1-2)^2+ (a_0+2a_1-3)^2]
[/mm]
Und den Term soll ich dann noch zusammenfassen?
Das gleiche dann für n=2 und n=3?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weisst du eigentlich was eine lineare Regression ist? was es bedeutet, fehlerquadrate zu minimierenß du sollst nicht ein gerade durch 2 punke legen, sondern die gerade so durch die üunkte legen, dass die quadratische abweichung von der geraden minimal ist. Lies mal irgendwo über lineare Regression nach! die gerade ist [mm] p_1 [/mm] : [mm] y=a_0+a_1*t
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:15 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo
> Weisst du eigentlich was eine lineare Regression ist? was
> es bedeutet, fehlerquadrate zu minimierenß du sollst nicht
> ein gerade durch 2 punke legen, sondern die gerade so durch
> die üunkte legen, dass die quadratische abweichung von der
> geraden minimal ist.
Was der Zweck der linearen Regression is habe ich schon verstanden, denke ich.
> Lies mal irgendwo über lineare
> Regression nach! die gerade ist [mm]p_1[/mm] : [mm]y=a_0+a_1*t[/mm]
Wieso kommst du jetzt für n=1 nur auf [mm] y=a_0+a_1*t
[/mm]
Das t ersetzte ich doch gerade in der Formel [mm] p_n(t) [/mm] durch meine Messwerte, oder nicht?
Ich habe ja wie gesagt die Formel für [mm] p_n(t). [/mm] Für n=1 ist das [mm] \summe_{k=1}^{1}a_kt^k.
[/mm]
Und für die t's setzte ich doch die Messwerte ein, so wie ich es im letzten Post gemacht habe. Was anderes vernünftiges fäll mir mit der Formel nicht ein.
Dann habe ich pro Messwert ein anderes Ergebnis.
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> > lineare Regression
> Die Gerade ist [mm]p_1[/mm] : [mm]y=a_0+a_1*t[/mm]
>
>
> Wieso kommst du jetzt für n=1 nur auf [mm]y=a_0+a_1*t[/mm]
> Das t ersetzte ich doch gerade in der Formel [mm]p_n(t)[/mm] durch
> meine Messwerte, oder nicht?
> Ich habe ja wie gesagt die Formel für [mm]p_n(t).[/mm] Für n=1
> ist das [mm]\summe_{k=1}^{1}a_kt^k.[/mm]
> Und für die t's setzte ich doch die Messwerte ein, so wie
> ich es im letzten Post gemacht habe. Was anderes
> vernünftiges fäll mir mit der Formel nicht ein.
> Dann habe ich pro Messwert ein anderes Ergebnis.
Hallo Sup,
die Summation in der Summe beginnt bei k=0, nicht
bei k=1 .
Das Ziel ist, die Summe [mm] Q_n [/mm] der quadrierten Abweichungen,
also
$\ [mm] Q_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{4}\left(p_n(t_i)-y_i\right)^2$
[/mm]
minimal zu machen (durch geeignete Wahl der Koeffi-
zienten des Polynoms [mm] p_n [/mm] ). Für n=1 ist
$\ [mm] Q_1\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{4}\left(a_0+a_1*t_i-y_i\right)^2$
[/mm]
Man muss nun dieses [mm] Q_1 [/mm] als Funktion der beiden
Parameter [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] minimieren.
LG Al-Chw.
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> Es ist doch n=1,2,3 gegeben. Eine Konstante wird nicht
> gesucht
Oh, sorry, da habe ich nicht ganz genau hingeschaut.
Vielleicht, weil mir n=3 fast ein bisschen seltsam
vorkam - denn dann braucht man keine Approximation
mittels "kleinster Quadrate", sondern kann einfach das
eindeutig bestimmte Polynom 3. Ordnung durch die
4 Punkte legen.
LG Al-Chw.
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