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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 17.12.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | [mm] T:K^3 [/mm] -> [mm] K^3 [/mm] mit T(x,y,z) = (2y + z, x - 4y, 3x).
B = [mm] (\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}) [/mm] und Bx = ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)) seien Basen von [mm] K^3
[/mm]
a) Berechne die Übergangsmatrix P von B -> Bx und die Übergangsmatrix Q von Bx auf B. Zeige Q < [mm] P^{-1}
[/mm]
b) Zeige, dass [mm] [v]_{Bx} [/mm] = [mm] P^{-1}[v]_B [/mm] für jeden Vektor [mm] \overrightarrow{v} \in K^3 [/mm] gilt.
c) Berechne die Matrixdarstellgung [mm] [T]_B [/mm] und [mm] [T]_{Bx} [/mm] von T bezüglich B und bezüglich Bx.
d) Verifiziere: [mm] [T]_{Bx} [/mm] = [mm] P^{-1} [T]_B [/mm] P
e) Verifiziere: [mm] [T(\overrightarrow{v})]_{Bx} [/mm] = [mm] [T]_{Bx} [/mm] und [mm] [T(\overrightarrow{v})]_B [/mm] = [mm] [T]_B [\overrightarrow{v}]_(B) [/mm] (Setze v = (a,b,c) an).
f) Berechne T(1,2,3) auf 3 Arten. |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe gesehen und habe wirklich absolut keinen Plan was ich hier machen soll. Aus dem Vorlesungsskript werde ich auch nicht wirklich schlau - ich stehe wirklich komplett daneben.
Bitte um Hilfe
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> [mm]T:K^3[/mm] -> [mm]K^3[/mm] mit T(x,y,z) = (2y + z, x - 4y, 3x).
> B =
> [mm](\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})[/mm]
> und C= ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)) seien Basen von [mm]K^3[/mm]
> a) Berechne die Übergangsmatrix P von B -> C und die Übergangsmatrix Q von C auf B. Zeige Q < [mm]P^{-1}[/mm]
Hallo,
als erstes mal habe ich in Deinen Text eingegriffen und die Basis, die bei Euch aus unerfindlichen Grunden Bx heißt, was dazu angetan ist, Verwirrung zu stiften, in C umgetauft.
Das nur zur Information, falls Du sie vermißt. (Schreibt Ihr die Vektoren eigentlich wirklich als Zeilen? Vorteilhaft und übersichtlich ist das nicht.)
Du sollst in dieser Aufgabe a) die Matrix P aufstellen, die Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B gegeben sind, in solche bzgl. C umwandelt,
und die Matrix Q, welche genau das umgekehrte tut.
(Die Matrix P nenne ich gerne [mm] _CT_B, [/mm] weil sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl B von links gefüttert wird wie ein Goldesel, und hinten kommt kein Gold raus, sondern Vektoren in Koordinaten bzgl C. Ich finde diese Schreibweise bei größeren transformationsaufgaben hilfreich, weil sie "spricht".)
So, nun überlegen wir mal, was die zur Matrix P= [mm] _CT_B [/mm] gehörige Abbildung [mm] f_p [/mm] leisten soll:
[mm] \vec{e_1} [/mm] soll abgebildet werden auf seine Koordinaten bzgl C,
also ist zu ermitteln
[mm] \vec{e_1}=a_1*(1,1,1)+b_1(1,1,0)+c_1(1,0,0)=\vektor{a_1\\b_1\\c_1}_{(C)}.
[/mm]
Dies wäre die erste Spalte der Matrix P= [mm] _CT_B, [/mm] denn in den Spalten stehen ja die Bilder der Basisvektoren.
Die anderen Spalten entsprechend,
und ebenfalls entsprechent geht dann [mm] Q=_BT_C.
[/mm]
Was
> Zeige Q < [mm]P^{-1}[/mm]
bedeuten soll, ist mir schleierhaft,
aber Q [mm] =P^{-1} [/mm] kann man zeigen durch Muliplikation - und wenn man drüber nachdenkt, was man getan hat, wundert man sich noch nicht mal, daß die Einheitsmatrix rauskommt.
> b) Zeige, dass [mm][v]_{C}[/mm] = [mm]P^{-1}[v]_B[/mm] für jeden Vektor [mm]\overrightarrow{v} \in K^3[/mm] gilt.
Hier sollst Du zeigen, daß, wenn Du einen beliebigen Vektor in Koodinaten bzgl B (das bedeutet [mm] [v]_B) [/mm] mit der Matrix [mm] P^{-1} [/mm] multiplizierst, der Koordinatenvektor dieses Vektors bzgl C herauskommt (das bedeutet [mm] [v]_C).
[/mm]
> c1) Berechne die Matrixdarstellgung [mm][T]_B[/mm]
Da B die Standardbasis ist, brauchst Du nur "ganz normal" die darstellende Matrix von T aufzustellen.
Und wenn dann bis hierher alles steht, kann man mit den restlichen Aufgaben weitermachen.
Nun rechne mal schön!
Gruß v. Angela
P.S.: Machst Du Grundschullehramt? Weil: es ist irritierend, wenn da Hauptstudium steht, und man Erstsemesterstoff erklärt.
> c2) [mm][T]_{C}[/mm] von T bezüglich B und bezüglich C.
> d) Verifiziere: [mm][T]_{C}[/mm] = [mm]P^{-1} [T]_B[/mm] P
> e) Verifiziere: [mm][T(\overrightarrow{v})]_{C}[/mm] = [mm][T]_{C}[/mm] und [mm][T(\overrightarrow{v})]_B[/mm] = [mm][T]_B [\overrightarrow{v}]_(B)[/mm]
> (Setze v = (a,b,c) an).
> f) Berechne T(1,2,3) auf 3 Arten.
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