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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:33 Do 27.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
angenommen ich habe einen linearen beschraenkten Operator $L: B [mm] \to \IR [/mm] $ auf einem Banach-Raum B. Sei $T: B [mm] \to [/mm] B$ eine orthogonale Abbildung.
Wenn B endlich-dimensional ist, koennte ich T als Matrix auffassen. Hat B ausserdem ein Skalarprodukt, dann koennte ich L durch einen Vektor v repraesentieren und L(x) = <v, x> schreiben. In diesem Fall waere TL(x) definiert durch
$TL(x) = <Tv,x> = <v, T' x>$,
wobei T' die Transponierte/Inverse von T ist.
Ist B ein unendlich-dimesionaler Hilbertraum, dann ist L stetig und es gilt Riesz Theorem, d.h. es gibt einen Vektor v, s.d.
$L(x) = <v,x>$.
Das heisst v repraesentiert wie im endlich-dimensionalen Fall den linearen Operator L. Dann kann ich wieder schreiben:
$TL(x) = <Tv, x> = <v, T' x>$.
Nun kommt der fuer mich schwierigere Fall, naemlich wenn B unendlich-dimensional ist und nicht notwendig ein Skalarprodukt besitzt. Kann ich dann im obigen Sinne
$TL(x) = L(T' x)$?
definieren?
Viele Gruesse
bjj
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Hallo bjj,
ich habe bei dem, was du schreibst einige verständnisprobleme. schauen wir mal der reihe nach:
> angenommen ich habe einen linearen beschraenkten Operator
> [mm]L: B \to \IR[/mm] auf einem Banach-Raum B. Sei [mm]T: B \to B[/mm] eine
> orthogonale Abbildung.
OK.
> Wenn B endlich-dimensional ist, koennte ich T als Matrix
> auffassen. Hat B ausserdem ein Skalarprodukt, dann koennte
> ich L durch einen Vektor v repraesentieren und L(x) = <v,
> x> schreiben. In diesem Fall waere TL(x) definiert durch
>
> [mm]TL(x) = = [/mm],
>
> wobei T' die Transponierte/Inverse von T ist.
mmmh. siehe unten.
>
> Ist B ein unendlich-dimesionaler Hilbertraum, dann ist L
> stetig und es gilt Riesz Theorem, d.h. es gibt einen Vektor
> v, s.d.
>
> [mm]L(x) = [/mm].
OK.
> Das heisst v repraesentiert wie im endlich-dimensionalen
> Fall den linearen Operator L. Dann kann ich wieder
> schreiben:
>
> [mm]TL(x) = = [/mm].
So, hier fangen meine Probleme an: was heißt $TL(x)$? soll das heißen [mm] $T\circ [/mm] L(x)$? Das macht keinen Sinn, denn L ist ein Funktional und bildet in den Körper ab. Sinn machen würde hier [mm] $LT(x)=L\circ [/mm] T(x)=<v,Tx>$.
> Nun kommt der fuer mich schwierigere Fall, naemlich wenn B
> unendlich-dimensional ist und nicht notwendig ein
> Skalarprodukt besitzt. Kann ich dann im obigen Sinne
>
> [mm]TL(x) = L(T' x)[/mm]?
>
> definieren?
ich denke, du musst mir erst mal oben das erklären, bevor ich dir hier weiterhelfen kann...
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Do 27.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hi Matthias,
danke fuer Deine Bereitschaft, mir zu helfen. Zu deiner Frage:
> So, hier fangen meine Probleme an: was heißt [mm]TL(x)[/mm]? soll
> das heißen [mm]T\circ L(x)[/mm]? Das macht keinen Sinn, denn L ist
> ein Funktional und bildet in den Körper ab. Sinn machen
> würde hier [mm]LT(x)=L\circ T(x)=[/mm].
Die Bedeutung von [mm]TL(x)[/mm] soll analog von der im endlich-dimensionalen Fall sein. T koennte ich in diesem Fall als Matrix und L als Vektor auffassen. Man koennte TL als eine Mutliplikation von einer Matrix T mit einem Vektor L auffassen. Weil wir fuer Vektoren ueblicherweise kleine Buchstaben verwenden, repraesentiere ich L lieber durch [mm]v[/mm] als durch L selbst. Dann waere
[mm]TL(x) = [/mm].
Das gleiche mache ich im unendlich-dimensionalen Fall. TL(x) steht hier fuer L(Qx), wobei Q = T' die Inverse ist. Gemaess Deiner Notation waere dann wohl [mm]TL = L \circ Q[/mm].
Beste Gruesse
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Fr 28.07.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi BJJ,
> > So, hier fangen meine Probleme an: was heißt [mm]TL(x)[/mm]? soll
> > das heißen [mm]T\circ L(x)[/mm]? Das macht keinen Sinn, denn L ist
> > ein Funktional und bildet in den Körper ab. Sinn machen
> > würde hier [mm]LT(x)=L\circ T(x)=[/mm].
>
> Die Bedeutung von [mm]TL(x)[/mm] soll analog von der im
> endlich-dimensionalen Fall sein. T koennte ich in diesem
> Fall als Matrix und L als Vektor auffassen. Man koennte TL
> als eine Mutliplikation von einer Matrix T mit einem Vektor
> L auffassen. Weil wir fuer Vektoren ueblicherweise kleine
> Buchstaben verwenden, repraesentiere ich L lieber durch [mm]v[/mm]
> als durch L selbst. Dann waere
>
> [mm]TL(x) = [/mm].
>
hmm, so ganz folgen kann ich dir nicht...
> Das gleiche mache ich im unendlich-dimensionalen Fall.
> TL(x) steht hier fuer L(Qx), wobei Q = T' die Inverse ist.
> Gemaess Deiner Notation waere dann wohl [mm]TL = L \circ Q[/mm].
Wenn das die definition von $TL$ ist, dann hast du eigentlich nichts mehr zu zeigen, oder?
tut mir leid, ich verstehe wohl dein problem nicht so ganz...
Gruß
Matthias
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Hallo BJJ,
> Nun kommt der fuer mich schwierigere Fall, naemlich wenn B
> unendlich-dimensional ist und nicht notwendig ein
> Skalarprodukt besitzt. Kann ich dann im obigen Sinne
Kann, ganz ohne Skalarprodukt, T orthogonal( ![[]](/images/popup.gif) Selbstadjungiert ?) sein?
viele Grüße
mathemaduenn
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