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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 27.10.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Untersuche, ob für beliebige Teilmengen M und N eines beliebigen Vektorraumes immer gilt:
a) [mm]span ( M \cap N) \subseteq span (M) \cap span (N) [/mm]
b) [mm]span ( M \cap N) =span (M) \cap span (N) [/mm]
c) [mm]span ( M \cup N) = span (M) + span (N) [/mm] |
Hallo,
wie geht man am besten an diese Aufgabe heran?
Um einen Überblick zu bekommen, ob ich die Aussagen beweisen oder widerlegen muss, habe ich erst einmal versucht, mir Mengen, Schnittmengen und die linearen Hüllen an einem Beispiel zu verdeutlichen: Besteht z.B. M aus [mm]e_1, e_2[/mm] und N aus [mm]e_2, e_3[/mm], so ist die Schnittmenge [mm]e_2[/mm] und die lineare Hülle, die dieser Vektor aufspannt, ist eine Ursprungsgerade mit Richtungsvekor [mm]e_2[/mm].
Und die Schnittmenge der [mm]x_1,x_2[/mm]- Ebene mit der [mm]x_2, x_3[/mm]- Ebene ist ebenfalls die [mm]x_2[/mm]-Achse.
Da span [mm]( \emptyset) =0[/mm], könnte dies auch bei disjunkten Mengen gelten.
Aber wie heißt es so schön: Ein Beispiel ist Beweis.
Und da habe ich leider keine Idee.
Wisst ihr, was in c) mit dem + gemeint ist, dazu habe ich in meinen Unterlagen nichts gefunden? Soll das die Vereinigung sein?
Gruß,
Palonina
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moin Palo,
Hier brauchst du klassische Mengenbeweise.
Für eine Teilmengenrelation zum Beispiel zeigst du: Wenn ein Element links drinn ist, so ist es auch rechts drinn.
Nimm dir also ein beliebiges x aus der linken Menge, gucke was genau dann für dieses x gilt und folgere, dass es auch in der rechten Menge drinn sein muss.
Willst du es allerdings widerlegen ist ein Gegenbeispiel meist die beste Wahl.
Wenn du eins findest ist das deutlich einfacher als ein Beweis.
Das + in der c) ist so zu verstehen:
Sind U,V zwei Unterräume eines Vektorraums.
Dann ist $U + V := [mm] \{ u + v | u \in U, v \in V \}$
[/mm]
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 27.10.2011 | | Autor: | Palonina |
Hallo Schadow,
dann will ich mein Glück mal versuchen:
Sei [mm]M = \{v_1, ..., v_m\}[/mm], [mm]N = \{v_1, ..., v_n\} ,[/mm] [mm]M \cap N = \{v_1, ..., v_r\}, r \leq m, n[/mm].
Dann ist span [mm] M \cap N = \{\summe_{i=1}^{r} [/mm] [mm] a_i v_i; v_i \in M \cap N, a_i \in \?}[/mm] ? [mm]\}[/mm]
span M [mm]\cap[/mm] span N [mm] = \{\summe_{i=1}^{m} [/mm] [mm]a_i v_i; v_i \in M\} \cap[/mm] [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] [mm]a_i v_i; v_i \in N\} [/mm]
Aber wie kann ich jetzt diese beiden vergleichen?
Von der Notation her wollte ich erst für M und N verschiedene Bezeichnungen (v und u) nehmen, hatte dann aber Schwierigkeiten, die Elemente der Schnittmenge auszudrücken. Ist es ok, wenn ich die Elemente sozusagen ordne und die ersten r die Vektoren aus der Schnittmenge sind?
Gruß, Palonina
P.S. Kann ich meine alten Beitrag editieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Fr 28.10.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo Schadow,
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> dann will ich mein Glück mal versuchen:
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> Sei [mm]M = \{v_1, ..., v_m\}[/mm], [mm]N = \{v_1, ..., v_n\} ,[/mm] [mm]M \cap N = \{v_1, ..., v_r\}, r \leq m, n[/mm].
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> Dann ist span [mm]M \cap N = \{\summe_{i=1}^{r}[/mm] [mm]a_i v_i; v_i \in M \cap N, a_i \in \?}[/mm]
> ? [mm]\}[/mm]
> span M [mm]\cap[/mm] span N [mm]= \{\summe_{i=1}^{m}[/mm] [mm]a_i v_i; v_i \in M\} \cap[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] [mm]a_i v_i; v_i \in N\}[/mm]
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> Aber wie kann ich jetzt diese beiden vergleichen?
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> Von der Notation her wollte ich erst für M und N
> verschiedene Bezeichnungen (v und u) nehmen, hatte dann
> aber Schwierigkeiten, die Elemente der Schnittmenge
> auszudrücken. Ist es ok, wenn ich die Elemente sozusagen
> ordne und die ersten r die Vektoren aus der Schnittmenge
> sind?
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> Gruß, Palonina
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> P.S. Kann ich meine alten Beitrag editieren?
>
Nein, so geht das nicht. Wer sagt, dass M und N endlich sind ?
Sei K der zugrunde liegende Körper.
Ist x [mm] \in span(M\cap [/mm] M), so gibt es [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N und [mm] s_1,...,s_n \in [/mm] K mit
x= [mm] \summe_{i=1}^{n}s_ix_i.
[/mm]
Wegen [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] M und [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] N, liegt x auch in span(M) und in span(N)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 30.10.2011 | | Autor: | Palonina |
Hallo und danke für eure Hilfe.
Da x in span (M) und in span (N) liegt, liegt x auch in der Schnittmenge der beiden linearen Hüllen. Dadurch habe ich gezeigt, dass jedes Element aus [mm] span ( M \cap N) [/mm] auch in [mm] span (M) \cap span (N) [/mm] liegt, also ist die linke Seite Teilmenge der rechten Seite.
Für die Gleichheit b) bliebe jetzt umgekehrt zu zeigen, dass jedes Element der rechten Seiten auch Element der linken Seite ist.
Sei x [mm]\in span (M) \cap span (N)[/mm], so ist x [mm]\in span (M)[/mm] und x [mm]\in span (N)[/mm].
Mhm, jetzt denke ich doch, dass dies nicht stimmt, denn ein Element der linearen Hülle muss ja nicht in der Menge liegen, die sie erzeugt.
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> Sei x [mm]\in span (M) \cap span (N)[/mm], so ist x [mm]\in span (M)[/mm] und
> x [mm]\in span (N)[/mm].
> Mhm, jetzt denke ich doch, dass dies nicht
> stimmt, denn ein Element der linearen Hülle muss ja nicht
> in der Menge liegen, die sie erzeugt.
Da hast du Recht, es gilt nicht.
Aber ein Gegenbeispiel wäre da sehr praktisch.^^
Als Tipp: Nimm eindimensionale Vektorräume. ;)
lg
Schadow
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