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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.
Ich hab mal eine Frage zu zwei Aufgaben.
1Aufgabe:
[mm] V=:\IR^{2} [/mm] und U:=span( [mm] \vektor{2\\ 1})
[/mm]
[mm] M1:=\vektor{2 \\ 1} ;M2:=\vektor{4\\ 5};M3:=\vektor{-2\\ -3}
[/mm]
Frage: Ist die Menge M3 ein untervektorraum von des [mm] \IR^{2}?Skizieren [/mm] Sie die Mengen in einer Figur.
Aufgabe 2:
[mm] x_0,x_1,...,x_n \in \IR [/mm] sind paarweise verschieden.
a) Zeigen Sie dass die Funktion: [mm] p_j(x)\produkt_{k=1,k\not=j}^{n}=\bruch {x_i-x_k}{x_j-x_k}, [/mm] j=0,1,...n aus dem Polynomraum [mm] \produkt_{ }^{n} [/mm] linear unabhängig sind.
b) Zeigens sie, dass die Funktionen
[mm] q_0(x):=1 [/mm] ; [mm] g_j(x)=:\produkt_{k=0}^{j-1}(x-x_k), [/mm] j=1,2,....,n aus dem Polynom raum [mm] \produkt_{}^{n} [/mm] linear abhängig sind.
c) Stellen sie das Polynom [mm] p(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+2 [/mm] als Linear kombination der Vektoren [mm] p_0,p_1,p_2,p_3; [/mm] aus a) bzw. [mm] q_0,q_1,q_2,q_3 [/mm] aus b) dar wobei [mm] x_k=k [/mm] für k=0,1,2,3,4 sei . |
zu zeigen M3 ist Unteraum des [mm] \IR^{2}:
[/mm]
[mm] (1)M3:=\vektor{-2\\ -3}\not=\emptyset [/mm] => erfüllt
[mm] (2)\forall [/mm] M3, [mm] b\in [/mm] U gilt M3+b [mm] \in U:M3:=\vektor{-2\\ -3}+\vektor{b_1\\ b_2} [/mm] mit [mm] b:=\vektor{2 \\ 1}=>\vektor{-2+2 \\ -3+1}=\vektor{0\\ -2} \not\in [/mm] U => sit verletzt
[mm] (3))\forall a\in [/mm] U , [mm] k\in [/mm] K gilt a*k [mm] \in U:k*\vektor{-2\\ -3}:=\vektor{-2k\\ -3k} \not\inU
[/mm]
=> kein Unterraum
1. Ist das so richtig gezeigt?
2.Um die Mengen zu skizieren nimm ich da das normale kartesiche Koordinatensytem?
Aufagabe 2:
a;Hier fehlt mir jeglicher Ansatz
b; vielleicht vollständige Induktion?
c: Ich weiß zwar wie man einen vektor als Linearkombination zweier anndere Vektoren darstellt, trotzdem(vielleicht weil ich den Ausdruck nicht ganz durchblicke) komm ich nicht auf einen Anfang.
Danke im vorraus
matheja
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Ich vermute, dass die Definition von [mm] $p_j(x)$ [/mm] nicht ganz richtig geschrieben war, dass vielmehr:
[mm]p_j(x)=\prod_{\substack{k=1\\k\neq j}}^n \frac{\red{x}-x_k}{x_j-x_k}[/mm]
sein sollte.
Betrachte eine Nullsumme dieser Polynome, also
[mm]\lambda_0 p_0(x)+\lambda_1 p_1(x)+\cdots +\lambda_n p_n(x)=0[/mm]
(für alle [mm] $x\in \IR$). [/mm] Aufgrund der Definition der [mm] $p_j(x)$ [/mm] wissen wir, dass [mm] $p_j(x_k)=0$ [/mm] für [mm] $k=0,1,\ldots, [/mm] n$, [mm] $k\neq [/mm] j$ (und, nebenbei bemerkt, [mm] $p_j(x_j)=1$). [/mm] Daraus sollte man, glaube ich, auf [mm] $\lambda_0=\lambda_1=\cdots [/mm] = [mm] \lambda_n=0$ [/mm] schliessen können. - Versuch's mal!
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> Hi.
> Ich hab mal eine Frage zu zwei Aufgaben.
>
> 1Aufgabe:
>
> [mm]V=:\IR^{2}[/mm] und U:=span( [mm]\vektor{2\\ 1})[/mm]
> [mm]M1:=\vektor{2 \\ 1} ;M2:=\vektor{4\\ 5};M3:=\vektor{-2\\ -3}[/mm]
>
> Frage: Ist die Menge M3 ein untervektorraum von des
> [mm]\IR^{2}?Skizieren[/mm] Sie die Mengen in einer Figur.
>
> zu zeigen M3 ist Unteraum des [mm]\IR^{2}:[/mm]
Da bin ich gleich zu Beginn erst einmal platt: [mm] $M_3$ [/mm] ist, aufgrund Deiner obigen Aufgabenstellung, erst einmal bloss ein Vektor, keine Menge von Vektoren und daher von vornherein kein Vektorraum. Aber vielleicht habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?
> (1) [mm]M_3:=\vektor{-2\\ -3}\not=\emptyset \Rightarrow[/mm] erfüllt
> (2) [mm](2)\forall M_3, b\in U[/mm] gilt [mm]M_3+b\in U:M_3:=\vektor{-2\\ -3}+\vektor{b_1\\ b_2}[/mm]
> mit [mm]b:=\vektor{2 \\ 1}=>\vektor{-2+2 \\ -3+1}=\vektor{0\\ -2} \not\in[/mm]
> U => sit verletzt
> [mm](3))\forall a\in U, k\in K[/mm] gilt [mm]a*k \in U:k*\vektor{-2\\ -3}:=\vektor{-2k\\ -3k} \not\inU[/mm]
>
> => kein Unterraum
> 1. Ist das so richtig gezeigt?
Ich verstehe nicht, inwiefern ein blosser Vektor ein Vektorraum (Unterraum) sein kann.
> 2.Um die Mengen zu skizieren nimm ich da das normale
> kartesiche Koordinatensytem?
Warum nicht? Siehst Du tatsächlich eine andere plausible Möglichkeit? Welche? - Das würde mich interessieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
Ehrlich gesagt, bin ich mir auch nicht so ganu sicher was M1, M2, M3 eigentlich sind.
Was mir auch ein wenig komisch vorkommt ist, dass es für die Skizze 3 punkte und für den Beweis zum Untervektorraum 1 punkt, d.h entweder ist dieser so einfach das man über Trivialitäten drauf kommt oder er es verdammt schwer.
Ich vermute ja das man den span (Lineare Hülle, die ja vorgegeben ist ) in irgedeiner Art und Weise berücksichtigen muss.
Korrekterwesie sehen die Mengen so aus:
[mm] M1:=[\vektor{2 \\ 1}] [/mm] mit eckige klammer drum (wusste nicht wie ich das darstellen kannn :) )
Gruß
matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 So 27.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Ehrlich gesagt, bin ich mir auch nicht so ganu sicher was
> M1, M2, M3 eigentlich sind.
>
>
> Was mir auch ein wenig komisch vorkommt ist, dass es für
> die Skizze 3 punkte und für den Beweis zum Untervektorraum
> 1 punkt, d.h entweder ist dieser so einfach das man über
> Trivialitäten drauf kommt oder er es verdammt schwer.
> Ich vermute ja das man den span (Lineare Hülle, die ja
> vorgegeben ist ) in irgedeiner Art und Weise
> berücksichtigen muss.
>
> Korrekterwesie sehen die Mengen so aus:
>
> [mm]M1:=[\vektor{2 \\ 1}][/mm] mit eckige klammer drum (wusste
> nicht wie ich das darstellen kannn :) )
geht mit \ left[ und \ right]. Also unter
[mm]\left[\pmat{2\\1}\right][/mm]
versteht der Prof. fast sicher die lineare Hülle dieses Vektors bzw. der Familie von Vektoren, die in der eckigen Klammer aufgelistet sind. Wenn dies so ist steht diese Schreibweise einfach anstelle von [mm] $\mathrm{span}(\ldots)$
[/mm]
Aber dass die lineare Hülle einer Familie (oder auch: Menge) von Vektoren ein linearer Raum ist, dürfte doch in der Vorlesung allgemein gezeigt worden sein. Falls nicht, zeigt man dies mit Vorteil selbst und erklärt dann (im herablassenden Stil), dass diese Aufgabe eine triviale Anwendung dieses allgemeinen Satzes sei.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke erst einmal für deine Anregungen !
Ist U die Lineare Hülle und M1,M2.M3 ligen in U?
Wir haben das in der Vorlesung nicht gezeigt. ichhabs mal nachgelesen und versuch ich mich jetz mal dran in der hoffnung , dass ich das richtig mache |
Allgemein gilt:
Es gilt [mm] L(v_1,...,v_r) [/mm] ist ein UVR von V:
Es sei a und b in [mm] L(v_1,..,v_r)
[/mm]
=> [mm] a=k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m
[/mm]
[mm] =>b=k_1a_1+h_2a_2+...*h_ma_m
[/mm]
Untervektorraumkriterium angewendet:
[mm] =>a+b=(k_1+h_1)a_1+...+(k_m+h_m)a_m
[/mm]
[mm] =>ka=kk_1a_1+...+kk_ma_m
[/mm]
ich würd das dann so zeigen.(Unterraumkriterium)
[mm] (1):\vektor{-2 \\ -3}+ \vektor{y_1\\ y_2}=\vektor{-2+y_1 \\ -3+y_1}
[/mm]
[mm] (2):k*\vektor{-2 \\ -3}=\vektor{-2k \\ -3k}
[/mm]
Sowohl (1) als auch (2) sin von der Form [mm] \IR^{2} [/mm] weil V [mm] \in \IR^{2} [/mm] und ich nehme an M3 [mm] \in R^{2} [/mm]
Frage:
1. Ist das richtig?
2.wazu dient die Angabe U:=span [mm] \vektor{2 \\ 1}?Bisher [/mm] seh ich dafür keinerlei Verwendung.(Vil´leicht bei der Skizze.
Danke vorweg
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 27.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Könnte es sein, dass der Prof für die Schreibweise span(v) einfach die eckigen Klammern eingeführt hat, also steht etwa hinter dem span noch ein 0 und dann die eckigen Klammern? oder sind sie in deiner Vorlesung aufgetaucht. Der Span eines einzelnen Vektors ist immer ein Unterraum, weil alle linearkombinationen ja wieder den Vektor*Faktor geben.
da wäre nix zu beweisen. nur dass a*v+b*v=c*v also die Linearkomb. wieder im span liegt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
Vielen Dank
matheja
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> b) Zeigens sie, dass die Funktionen
> [mm]q_0(x):=1[/mm] ; [mm]g_j(x)=:\produkt_{k=0}^{j-1}(x-x_k),[/mm]
> j=1,2,....,n aus dem Polynom raum [mm]\produkt_{}^{n}[/mm] linear
> abhängig sind.
> b; vielleicht vollständige Induktion?
Bist Du sicher, dass es in dieser Aufgabenstellung heisst, dass die [mm] $q_k(x)$, $k=0,1,\ldots [/mm] n$ linear abhängig sind? - Ich habe nämlich stark den Verdacht, dass diese Polynome, aufgefasst als Vektoren des entsprechenden Vektorraumes, linear unabhängig sind.
Um dies einzusehen betrachtet man wieder eine beliebige Nullsumme dieser $n+1$ Polynome und setzt dann für $x$ der Reihe nach [mm] $x_0,x_1,\ldots,x_n$ [/mm] ein.
Setzt man z.B. für $x$ den Wert [mm] $x_0$ [/mm] in die Nullsumme dieser Polynome ein, so sind alle ausser [mm] $q_0(x)$ [/mm] gleich $0$. Also muss schon mal der skalare Koeffizient von [mm] $q_0(x)$ [/mm] gleich $0$ sein. usw. usf. (eventuell halt tatsächlich mittels Induktion für allgemeines $n$ zu zeigen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
Sorry .Man soll zeigen, dass sie linear unabhängig sind.
Gruß
matheja
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> Aufgabe 2:
> [mm]x_0,x_1,...,x_n \in \IR[/mm] sind paarweise verschieden.
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> a) Zeigen Sie dass die Funktion:
> [mm]p_j(x)\produkt_{k=1,k\not=j}^{n}=\bruch {x_i-x_k}{x_j-x_k},[/mm]
> j=0,1,...n aus dem Polynomraum [mm]\produkt_{ }^{n}[/mm] linear
> unabhängig sind.
> b) Zeigens sie, dass die Funktionen
> [mm]q_0(x):=1[/mm] ; [mm]g_j(x)=:\produkt_{k=0}^{j-1}(x-x_k),[/mm]
> j=1,2,....,n aus dem Polynom raum [mm]\produkt_{}^{n}[/mm] linear
> abhängig sind.
> c) Stellen sie das Polynom [mm]p(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+2[/mm] als
> Linear kombination der Vektoren [mm]p_0,p_1,p_2,p_3;[/mm] aus a)
> bzw. [mm]q_0,q_1,q_2,q_3[/mm] aus b) dar wobei [mm]x_k=k[/mm] für k=0,1,2,3,4
> sei .
> c: Ich weiß zwar wie man einen vektor als
> Linearkombination zweier anndere Vektoren darstellt,
> trotzdem(vielleicht weil ich den Ausdruck nicht ganz
> durchblicke) komm ich nicht auf einen Anfang.
Bei der (wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm] $p_j(x)$ [/mm] eindeutigen) Darstellung von $p(x)$ als Linearkombination der [mm] $p_j(x)$ [/mm] ist es sehr nützlich zu wissen, dass [mm] $p_j(x_j)=1$ [/mm] und [mm] $p_j(x_k)=0$ [/mm] für [mm] $k\neq [/mm] 0$. Deshalb muss gelten:
[mm]p(x)=p(x_0) p_0(x)+p(x_1) p_1(x)+\cdots +p(x_n)p_n(x)[/mm]
Da beide Seiten dieser Gleichung vom Grad $n$ sind und an (mindestens) $n+1$ Stellen [mm] $x_0,x_1,\ldots, x_n$ [/mm] übereinstimmen, müssen sie sogar für alle $x$ übereinstimmen.
Bei der Darstellung von $p(x)$ durch die [mm] $q_j(x)$ [/mm] sehe ich keine so einfache Möglichkeit. Du kannst zunächst die gesuchte Linearkombination der [mm] $q_j(x)$ [/mm] die für alle $x$ gleich $p(x)$ sein soll einmal allgemein ansetzen:
[mm]p(x)=\lambda_0 q_0(x)+\lambda_1 q_1(x)+\cdots \lambda_n q_n(x)[/mm]
Dann die rechte Seite ausmultiplizieren und nach Potenzen von $x$ sammeln. Die Koeffizienten entsprechender Potenzen von $x$ beider Seiten der resultierenden Gleichung müssen gleich sein ("Koeffzientenvergleich"): dies ergibt ein lineares System von Gleichungen für die [mm] $\lambda_j$.
[/mm]
Oder, andere Möglichkeit: für $x$ wieder sukzessive [mm] $x_0,x_1,\ldots$ [/mm] einsetzen und daraus nacheinander [mm] $\lambda_0, \lambda_1,\ldots$ [/mm] bestimmen.
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