Lineare Gleichungssysteme < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 24.02.2005 | | Autor: | crux |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
Folgende Aufgabe:
[mm] A=\pmat{3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & 1\\1 & -1 & 1 & 3},
[/mm]
[mm] \vec {x}=\pmat{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}
[/mm]
Für welchen Vektor ist die Gleichung [mm] A\vec{x}=4\vec{x} [/mm] erfüllt?
Vielleicht kann jemand von euch helfen- ich weiss leider nicht so ganz weiter... ich habe das Ganze als Gleichungssystem aufgeschrieben und wollte es auflösen- nun kommt aber leider 4 mal die gleiche Gleichung raus... nämlich x1-x2+x3-x4=0... somit gibt es ja eigentlich (unendlich)viele Lösungen- wie kann ich hier einen Lösungsvektor erstellen?
Vielen Dank schonmal für eure Tipps!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Do 24.02.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo!
Also als erstes, dies fällt wohl eher unter lineare Algebra als unter Analysis.
Wenn du eine Gleichung [mm] A\vec{x}=\lambda\vec{x} [/mm] hast, so ist [mm] \vec{x} [/mm] der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] , in diesem Fall 4.
Um Eigenvektoren (bzw. auch Eigenräume) auszurechnen, musst du das Gleichungssystem (A - [mm] \lambda E)\vec{x} [/mm] = 0 lösen.
(E ist die Einheitsmatrix passender Dimension)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 24.02.2005 | | Autor: | crux |
Tut mir leid, dass ich versehentlich ins falsche Forum gepostet habe, leider weiss ich nicht, ob und wenn dann wie es sich in das richtige Forum verschieben lässt. Danke für den Lösungsansatz, leider bringt mich das aber wieder zu selbem ergebnis... es kommen 4 gleichungen dabei raus, die sich gegeneinander auflösen. oder ich verstehe etwas vollkommen falsch. Für weitere Hilfe wäre ich dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Crux!
Das konntest du eben noch nicht sehen, aber guck's dir bitte jetzt an:
https://matheraum.de/read?i=47334
PS: Deine Frage habe ich mittlerweile schon verschoben!
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo crux!
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
> Folgende Aufgabe:
>
> [mm]A=\pmat{3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 3 & 1\\1 & -1 & 1 & 3},
[/mm]
>
> Für welchen Vektor
> ist die Gleichung [mm]A\vec{x}=4\vec{x}[/mm] erfüllt?
>
>
> Vielleicht kann jemand von euch helfen- ich weiss leider
> nicht so ganz weiter... ich habe das Ganze als
> Gleichungssystem aufgeschrieben und wollte es auflösen- nun
> kommt aber leider 4 mal die gleiche Gleichung raus...
> nämlich x1-x2+x3-x4=0... somit gibt es ja eigentlich
> (unendlich)viele Lösungen- wie kann ich hier einen
> Lösungsvektor erstellen?
Dein Ansatz ist auch vollkommen richtig! Damit ergibt sich als Lösungsmenge:
[m]\IL
=\left\{\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}:\;\;\;x_1=x_2-x_3+x_4;\,x_2=r;x_3=s;x_4=t;\;r,s,t \in \IR\right\}
=\left\{\vektor{r-s+t\\r\\s\\t}:\;r,s,t \in \IR\right\}
=\left\{\vec{x}=r*\vektor{1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-1\\0\\1\\0}+t*\vektor{1\\0\\0\\1}:\;\;r,s,t \in \IR\right\}[/m].
Wenn du jetzt eine spezielle Lösung willst, dann legst du halt z.B.:
a) in der Gleichung [mm] $x_1=x_2-x_3+x_4$ [/mm] die Variablen [m]x_2,x_3[/m] und [m]x_4[/m] fest (z.B. [mm] $x_2=1$, $x_3=-1$ [/mm] und [mm] $x_4=2$ $\Rightarrow$[/mm] [m]x_1=1-(-1)+2=4[/m] [m]\Rightarrow[/m] [m]\vektor{4\\1\\-1\\2}[/m] löst die Gleichung).
oder
b) in der Darstellung:
[m]\IL=\left\{r*\vektor{1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-1\\0\\1\\0}+t*\vektor{1\\0\\0\\1}:\;r,s,t \in \IR\right\}[/m] wählst du irgendein $r$, irgendein $s$ und irgendein $t$ und berechnest dann [m]r*\vektor{1\\1\\0\\0}+s*\vektor{-1\\0\\1\\0}+t*\vektor{1\\0\\0\\1}[/m]
(z.B.: $r=1$, $s=-1$ und $t=2$ liefert wieder [m]\vektor{4\\1\\-1\\2}[/m]).
PS: Ich habe deine Frage ins LA-Forum verschoben!
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 24.02.2005 | | Autor: | crux |
Vielen Dank für die Hilfe.
Grüsse
|
|
|
|
!
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.exp-math.uni-essen.de/~ingo/index.html
).
