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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Besteht die Menge der linearen Funktionen f mit f*f = f nur aus id und der Nullfunktionen. Gilt wegen der Linearität eigentlich f*f = f² ?
Grüße
Fry
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Hi Fry und Seki,
danke für die Hinweise. Ich habe nochmal in meinen Skripten nachgeschlagen.
Eine Abbildung heisst K-lineare Abbildung wenn gilt
[mm] f(v_1+v_2) [/mm] = [mm] f(v_1)+ f(v_2) [/mm] für alle [mm] v_1, v_2 \in [/mm] V und
f(av) = af(v) für alle v [mm] \in [/mm] V und alle a [mm] \in [/mm] K
damit muss natürlich für jede solche Abbildung gelten f(0)=0 :o)
Ein Gegenbeispiel für die Frage von Fry ist aber auch:
f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR \vektor{x \\ y} [/mm] -> [mm] \vektor{y \\ x}
[/mm]
Ich weiss nicht, ob bei Euch schon orthogonale Abbildungen behandelt werden. Bei mir kam das erst im zweiten Semester dran und die Frage klingt mir eher nach Lineare Algebra I.
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Sa 16.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wenn das so ist, dann kann man die erste Frage mit nein
> beantworten.
Das ist noch wahr, aber ...
> Denn die Funktion
>
> f IR -> IR x->2 (f(x)=2)
>
> ist auch eine lineare Funktion, wenn auch konstant und es
> gilt ebenfalls f [mm]\circ[/mm] f=f.
ist nicht linaer! Sie ist höchstens affin linear, aber wenn sie linear wäre, müsste 0 auf 0 abgebildet werden ...
> f [mm]\circ[/mm] f = [mm]f^2[/mm]
>
> dürfte eigentlich genau dann gelten, wenn f(0)=0 ist, wenn
> ich mich nicht irre.
Huch? Da irrst du dich - für lineare Abbildungen gilt f(0)=0 immer.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Sa 16.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Besteht die Menge der linearen Funktionen f mit f*f = f nur
> aus id und der Nullfunktionen. Gilt wegen der Linearität
> eigentlich f*f = f² ?
[Was hier stand waren Beispiele zu [m]f^2=id[/m], also etwas am Thema vorbei ...]
Siehe unteres Posting zu einem richtigen Beispiel, das weder das eine noch das andere ist.
Aber ich beweise mal: ist die lineare Abbildung f von [m]\|R\to\|R[/m], dann stimmt die Aussage: bekanntlich ist solch ein f durch Multiplikation mit einr rellen Zahl gegeben, also
[m]f:\|R\to\|R,x\mapsto r*x[/m]. Gilt jetzt dann [m]f^2=f[/m], dann ist fuer alle x [m]r^2*x=r*x[/m] wahr, also [m]r^2=r[/m], was sofort zu r gleich 0, oder r gleich 1 fuehrt. Im eindimensionalen ist also diese Aussage richtig (sogar fuer beliebige Koerper.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 18.07.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
ich glaube, du wirfst da jetzt etwas durcheinander: die abbildungen, die du beschreibst (spiegelungen, drehungen um 180°), haben die eigenschaft [mm]f^2=id[/mm], aber nicht [mm]f^2=f[/mm].
Für orthogonale Projektionen hat man diese eigenschaft zumindest auf den entsprechenden Unterräumen, auf die projeziert wird, da hast Du recht.
Ich bin leider in algebra nicht so bewandert, aber ich denke aus den algebraischen eigenschaften der linearen Abbildungen (Ring mit eins?!?) sollte folgen, dass tatsächlich nur die Identität und die Nullabbildung das gewünschte leisten.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mo 18.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo,
>
> ich glaube, du wirfst da jetzt etwas durcheinander: die
> abbildungen, die du beschreibst (spiegelungen, drehungen um
> 180°), haben die eigenschaft [mm]f^2=id[/mm], aber nicht [mm]f^2=f[/mm].
Aeh, ja. Als ich den Post geschrieben habe, hab ich wohl dann daran gedacht ...
> Für orthogonale Projektionen hat man diese eigenschaft
> zumindest auf den entsprechenden Unterräumen, auf die
> projeziert wird, da hast Du recht.
Die gilt aber allgemein! Fuer alle Projektionen gilt tatsaechlich [m]f^2=f[/m], und idese sind iirc auch linear (denn man kann sie durch Multiplikation mit orthogonaler Matrix beschreiben.)
> Ich bin leider in algebra nicht so bewandert, aber ich
> denke aus den algebraischen eigenschaften der linearen
> Abbildungen (Ring mit eins?!?) sollte folgen, dass
> tatsächlich nur die Identität und die Nullabbildung das
> gewünschte leisten.
Nein, ich habe jetzt ein richtiges Beispiel (das sehr einfach ist):
[m]\|R^2\to\|R^2,(x,y)\mapsto(x,0)[/m]
Das ist im uebrigen eine Projektion. `
Der Endomorphismenring ist tatsaechlich ein Ring mit Eins - aber warum darum das folgen sollte, sehe ich nicht. ein anderes Beispiel fuer einen solchen Ring: [m]\|Z_6[/m] und die 3 ...
(Danke fuer den Hinweis, werde ich gleich korrigieren)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mo 18.07.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> Die gilt aber allgemein! Fuer alle Projektionen gilt
> tatsaechlich [m]f^2=f[/m], und idese sind iirc auch linear (denn
> man kann sie durch Multiplikation mit orthogonaler Matrix
> beschreiben.)
Stimmt, da habe ich jetzt wohl was durcheinander geworfen...  Wie Julius weiter unten auch schreibt sind orthogonale Projektionen durch diese Eigenschaft definiert.
>
> > Ich bin leider in algebra nicht so bewandert, aber ich
> > denke aus den algebraischen eigenschaften der linearen
> > Abbildungen (Ring mit eins?!?) sollte folgen, dass
> > tatsächlich nur die Identität und die Nullabbildung das
> > gewünschte leisten.
>
> Nein, ich habe jetzt ein richtiges Beispiel (das sehr
> einfach ist):
>
> [m]\|R^2\to\|R^2,(x,y)\mapsto(x,0)[/m]
>
> Das ist im uebrigen eine Projektion. '
>
> Der Endomorphismenring ist tatsaechlich ein Ring mit Eins -
> aber warum darum das folgen sollte, sehe ich nicht. ein
> anderes Beispiel fuer einen solchen Ring: [m]\|Z_6[/m] und die 3
> .
Ok, woran es bei den endomorphismen dann krankt, ist die invertierbarkeit. die bräuchte man wohl für ein eindeutigkeitsargument.
Viele Grüße
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, ich blicke hier nicht mehr durch, daher poste ich jetzt einfach mal die richtige Lösung:
Ist $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, so sind die linearen Abbildungen $f:V [mm] \to [/mm] V$ mit $f [mm] \circ [/mm] f=f$ (also die idempotenten linearen Abbildungen) genau die orthogonalen Projektionen auf einen geeigneten Unterraum.
Dies folgt schlicht aus der Tatsache, dass offenbar entweder [mm] $MP^1_f(t)=t(t-1)$, $MP^2_f(t)=t$ [/mm] oder [mm] $MP^3_f(t)=t-1$ [/mm] das Minimalpolynom von $f$ sind; daher ist $f$ diagonalisierbar, mit Eigenwerten $1$ und $0$ (und noch näher zu untersuchender Vielfachheiten).
Viele Grüße
Julius
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