Lineare Differentialgleichunge < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme und geben Sie dazu den maximalen Definitionsbereich der Lösung an:
1. [mm] $y'=3x^{2}y^{2}$, [/mm] $y(0)=c$ $(c>0)$
2. [mm] $y'=\frac{(x-1)}{cos(y)}$ $(y\ne (2k+1)\frac{\pi}{2}$ [/mm] für alle [mm] $k\in \IZ), y(1)=\frac{\pi}{4}$
[/mm]
3. [mm] $y'=3\sqrt[3]{y^{2}}$ [/mm] , $y(2)=0$ (Wie viele Lösungen gibt es zu dieser Anfangsbedingung?)
4. [mm] $y'=\frac{2}{5-x}y$, [/mm] $y(3)=8$
5. [mm] $y'-xy=2e^{\frac{x^{2}}{2}}$, [/mm] $y(1)=0$ |
Hallo,
Wann und wo setzt man beim Lösen der Differentialgleichung am besten die Konstante ein? Die brauche ich für die Anfangswertprobleme...
1. [mm] $y=\frac{-3}{x^{3}}+C$
[/mm]
2. [mm] $y=arcsin(\frac{x(x^{2}-1)}{2})$
[/mm]
3. [mm] $y=3x^{\frac{-3}{2}}$
[/mm]
4. [mm] $y=(5-x)^{-2}$
[/mm]
5. Wie lautet der Ansatz für e-Funktionen bei inhomogenen Differentialgleichungen?
Meine Allgemeine Lösung für die homogene lautet: [mm] $y=Ce^{x^{2}}$
[/mm]
So weit richtig?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathepower,
< 1. Daumenrunter
1. $y=\frac{1}{-x^{3}-C}$
Anfangswert y(0)=c : $y=\frac{1}{C}=c$ $\Rightarrow$ $C=\frac{1}{c} \ \forall |c|>0$
2. $y=arcsin(\frac{x^{2}}{2}+x+C)$
Anfangswert für $y(1)=\frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}-1.5=C $
3.$y=\frac{4}{(3x+C)^{2}}$
Anfangswertbedingung $y(2)=0$
$\Rightarrow$ $y(2)=0 \ \forall C \in \ \IR$ also unendlich viele C...
4.
Wenn ich hier getrennt und integriert habe und dann die Konstante hinzufüge, dann habe ich doch:
$ -2ln(5-x)+C=ln(y) $
also wäre mit Konstante die Lösung: $y=e^{C}+\frac{1}{(5-x)^{2}}$ ?
5. Hier mein Ansatz mit Variation der Konstanten:
allgemeine Lösung: $Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$
$\Rightarrow f(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}$
$\Rightarrow f'(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}=2e^{\frac{x^{2}}{2}}}$
$\Rightarrow f(x)=2x$
wie komme ich weiter?
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
> < 1. Daumenrunter
>
> 1. [mm]y=\frac{1}{-x^{3}-C}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Anfangswert y(0)=c : [mm]y=\frac{1}{C}=c[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]C=\frac{1}{c} \ \forall |c|>0[/mm]
>
Hier hat ich ein Vorzeihenfehler eingeschlichen:
[mm]y=\blue{-}\frac{1}{C}=c[/mm]
>
> 2. [mm]y=arcsin(\frac{x^{2}}{2}+x+C)[/mm]
Hier ebenfalls, ein Vorzeichenfehler:
[mm]y=arcsin(\frac{x^{2}}{2}\blue{-}x+C)[/mm]
>
> Anfangswert für [mm]y(1)=\frac{\pi}{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}-1.5=C[/mm]
>
> 3.[mm]y=\frac{4}{(3x+C)^{2}}[/mm]
Diese Lösung stimmt nicht.
>
> Anfangswertbedingung [mm]y(2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]y(2)=0 \ \forall C \in \ \IR[/mm] also unendlich
> viele C...
>
> 4.
> Wenn ich hier getrennt und integriert habe und dann die
> Konstante hinzufüge, dann habe ich doch:
>
> [mm]-2ln(5-x)+C=ln(y)[/mm]
>
> also wäre mit Konstante die Lösung:
> [mm]y=e^{C}+\frac{1}{(5-x)^{2}}[/mm] ?
Aus dem "+" wird, wenn Du die Exponentialfunktion
darauf anwendest in "*" (mal).
>
> 5. Hier mein Ansatz mit Variation der Konstanten:
>
> allgemeine Lösung: [mm]Ce^{\frac{x^{2}}{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f'(x)e^{\frac{x^{2}}{2}}=2e^{\frac{x^{2}}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x)=2x[/mm]
>
> wie komme ich weiter?
>
Multipliziere jetzt diese Lösung mit [mm]e^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm],
dann erhältst Du die partikuläre Lösung.
Addierst Du zu dieser partikulären Lösung die homogen Lösung,
so erhältst Du die allgemeine Lösung der DGL.
>
> Danke!
>
>
>
> Gruss
>
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Diese Lösung stimmt nicht.
[mm] $y'=3\sqrt[3]{y^{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{3y^{\frac{2}{3}}}=\frac{dy}{dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{3}\integral y^{\frac{-2}{3}}dy=\integral [/mm] 1 dx$
[mm] $\Rightarrow y^{\frac{1}{3}}=x+C$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=(x+C)^{3}$ [/mm]
Die Lösung für $y(2)=0$ wäre also $C=-2$
aber da ist wohl was falsch, wenn in der Aufgabe nach mehreren Lösungen gefragt wird...
>
> Gruss
> MathePower
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 27.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
>
>
> > Diese Lösung stimmt nicht.
>
> [mm]y'=3\sqrt[3]{y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{3y^{\frac{2}{3}}}=\frac{dy}{dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}\integral y^{\frac{-2}{3}}dy=\integral 1 dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{\frac{1}{3}}=x+C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y=(x+C)^{3}[/mm]
>
> Die Lösung für [mm]y(2)=0[/mm] wäre also [mm]C=-2[/mm]
>
> aber da ist wohl was falsch,
Nein.
> wenn in der Aufgabe nach
> mehreren Lösungen gefragt wird...
Die Funktion [mm] y\equiv [/mm] 0 löst das AWP ebenfalls !
Aber diese Lösung kriegt man nicht, wenn man stur TDV macht.
FRED
>
>
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Aber diese Lösung kriegt man nicht, wenn man stur TDV macht.
Wie kommt man auf die anderen Lösungen?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 So 27.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Aber diese Lösung kriegt man nicht, wenn man stur TDV
> macht.
>
> Wie kommt man auf die anderen Lösungen?
Genau hinschauen, nachdenken, Erfahrung .....
Aber das kann man von einem Grundschüler in Klasse 1 nicht erwarten..
FRED
>
>
> > FRED
>
> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Genau hinschauen, nachdenken, Erfahrung .....
OK, ich muss sagen wie viele Lösungen es gibt. Das sind dann wohl unendlich viele...?
> und noch eine
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber du solltest auch sagen, wie eine beliebige davon aussieht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
>ja, aber du solltest auch sagen, wie eine beliebige davon aussieht.
OK. Danke!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 So 27.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mathepower,
> >
> >
> > > Diese Lösung stimmt nicht.
> >
> > [mm]y'=3\sqrt[3]{y^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \frac{1}{3y^{\frac{2}{3}}}=\frac{dy}{dx}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}\integral y^{\frac{-2}{3}}dy=\integral 1 dx[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow y^{\frac{1}{3}}=x+C[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow y=(x+C)^{3}[/mm]
> >
> > Die Lösung für [mm]y(2)=0[/mm] wäre also [mm]C=-2[/mm]
> >
> > aber da ist wohl was falsch,
>
> Nein.
>
> > wenn in der Aufgabe nach
> > mehreren Lösungen gefragt wird...
>
>
> Die Funktion [mm]y\equiv[/mm] 0 löst das AWP ebenfalls !
>
> Aber diese Lösung kriegt man nicht, wenn man stur TDV
> macht.
>
> FRED
Und noch eine Lösung y des AWPs:
[mm] y(x)=(x-2)^3 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 2 und y(x)=0 für x<2
FRED
> >
> >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Danke
> >
> >
> >
> > Gruss
> >
> > kushkush
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
