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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems
Geg: y´_{1} = [mm] 3y_{1} [/mm] + [mm] 4y_{2} [/mm] ; y´_{2} = [mm] 4y_{1}-3y_{2} [/mm] |
Erst mal meine Berechnung bis zum Problem:
1) Bestimme Matrixform:
[mm] y´=\vektor{y´{1} \\ y´{2}}´= \pmat{ 3 & 4 \\ 4 & -3 }\vektor{y{1} \\ y{2}} [/mm] ; y, [mm] (y{1},y{2})^T [/mm] (nicht nach Mat.) sind gestrichen, wird aber nicht vom Programm angenommen.
2) EWs von A:
[mm] P_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] det(A-\lambda*E) [/mm] = [mm] (\lambda+5)(\lambda-5) \Rightarrow \lambda_{1}=5 [/mm] , [mm] \lambda_{2} [/mm] = - 5
3) Berechne Eigenbasis (aus EVs):
(1) [mm] ker(A-\lambda_{1}E) \rightarrow [/mm] y°_{1} = 2y°_{2}
Setze y°_{2} = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y°_{1} = 2
(2) [mm] ker(A-\lambda_{2}E) \rightarrow [/mm] y°°_{1} = -y°°_{2}
Setze y°°_{1} = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y°°_{2} = -2
[mm] (1),(2)\Rightarrow \parallel y°\parallel [/mm] := [mm] b_{1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{2 \\ 1} [/mm] , [mm] \parallel y°°\parallel [/mm] := [mm] b_{2} [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{1 \\ -2} [/mm] ,
[mm] \Rightarrow [/mm] B = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2 }
[/mm]
Frage:
Die Eigenbasis aus A ist eine normierte Basis des Vektorraums, die aber nicht die Abbildung von A hat. Deshalb muss ich jetzt y = [mm] (y_{1},y_{2})^T [/mm] durch diese Basis B ersetzen und eine weitere Abbildungsvorschrift finden so dass dann gilt: [mm] y_{1}(x)´ [/mm] = [mm] y_{1}´(u(x))gestrichen [/mm] , [mm] y_{2}(x)´ [/mm] = [mm] y_{2}´(u(x))gestrichen [/mm] ?? Dabei helfen mir die Eigenwerte, die die Koeffizienten der Exponenten sind?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 21.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
> Differentialgleichungssystems
>
> Geg: y´_{1} = [mm]3y_{1}[/mm] + [mm]4y_{2}[/mm] ; y´_{2} = [mm]4y_{1}-3y_{2}[/mm]
>
> Erst mal meine Berechnung bis zum Problem:
>
> 1) Bestimme Matrixform:
>
> [mm]y´=\vektor{y´{1} \\ y´{2}}´= \pmat{ 3 & 4 \\ 4 & -3 }\vektor{y{1} \\ y{2}}[/mm]
> ; y, [mm](y{1},y{2})^T[/mm] (nicht nach Mat.) sind gestrichen, wird
> aber nicht vom Programm angenommen.
>
> 2) EWs von A:
>
> [mm]P_{A}(\lambda)[/mm] = [mm]det(A-\lambda*E)[/mm] = [mm](\lambda+5)(\lambda-5) \Rightarrow \lambda_{1}=5[/mm]
> , [mm]\lambda_{2}[/mm] = - 5
>
> 3) Berechne Eigenbasis (aus EVs):
>
> (1) [mm]ker(A-\lambda_{1}E) \rightarrow[/mm] y°_{1} = 2y°_{2}
> Setze y°_{2} = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] y°_{1} = 2
> (2) [mm]ker(A-\lambda_{2}E) \rightarrow[/mm] y°°_{1} =
> -y°°_{2}
> Setze y°°_{1} = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] y°°_{2} = -2
>
> [mm](1),(2)\Rightarrow \parallel y°\parallel[/mm] := [mm]b_{1}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{2 \\ 1}[/mm] , [mm]\parallel y°°\parallel[/mm]
> := [mm]b_{2}[/mm] := [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \vektor{1 \\ -2}[/mm] ,
Wozu diese Normierung ?
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> [mm]\Rightarrow[/mm] B = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm]
Was hats mit dieser Matrix auf sich ?
>
> Frage:
> Die Eigenbasis aus A ist eine normierte Basis des
> Vektorraums, die aber nicht die Abbildung von A hat.
Dieser Satz ist nicht zu verstehen !
> Deshalb muss ich jetzt y = [mm](y_{1},y_{2})^T[/mm] durch diese
> Basis B ersetzen und eine weitere Abbildungsvorschrift
> finden so dass dann gilt: [mm]y_{1}(x)´[/mm] =
> [mm]y_{1}´(u(x))gestrichen[/mm] , [mm]y_{2}(x)´[/mm] =
> [mm]y_{2}´(u(x))gestrichen[/mm] ?? Dabei helfen mir die Eigenwerte,
> die die Koeffizienten der Exponenten sind?
Ich verstehe kein Wort ?!
Die Aufgabe lautet doch:
" Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems ... "
Du hast Doch alles , was Du brauchst. Die allgemeine Lösung lautet:
[mm] \vektor{y_1(x) \\ y_2(x)}=C_1\vektor{2 \\ 1}e^{5x}+C_2\vektor{1 \\ -2}e^{-5x}
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank.
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Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort.
Das "unverständliche" soll bedeuten, dass ich eine verschachtelte Funktion habe.
Ich hab zu dieser Aufgabe eine Lösung in der das so gemacht wird. Zum Schluss geht der Übungsgruppenleiter her und setzt [mm] (y1,y2)^T [/mm] mit Bu = [mm] B(u_{1},u_{2})^T [/mm] = [mm] B(s_{1}*e^5x [/mm] , [mm] s_{2}*e^-5x)^T [/mm] gleich und bildet:
[mm] (y_{1},y_{2})^T [/mm] = [mm] B(u_{1} [/mm] , [mm] u_{2})^T [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2 }(2s_{1}e^5x [/mm] + [mm] s_{2}e^-5x [/mm] , [mm] s_{1}e^5x [/mm] - [mm] 2s_{2}e^-5x )^T
[/mm]
Ich denke, genau deshalb wird es normiert.
Sind wir mit s1, s2 [mm] \in \IR [/mm] bereits in der speziellen Lsg?
[mm] C_{1}, C_{2} [/mm] sind bei dir dann Matrizzen, oder? Kannst du die auch ermitteln?
Vielen Dank.
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Danke Fred, hab´s verstanden. c ist ne Konstante.
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