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Lineare Abhängigkeit bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare Abhängigkeit bestimmen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 So 18.11.2007
Autor: master200

Aufgabe
Bestimmen Sie alle a [mm] \in \IR, [/mm] für die die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a}, \vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0} [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] linear abhängig sind.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hi,
hier mal mein bisheriger Lösungsansatz:
Vektoren sind linear abhängig wenn sich einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Also:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0} [/mm]

Daraus lässt sich das folgende Gleichungssystem erstellen:
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 1
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] = 0
2a * [mm] \mu [/mm] = a
a * [mm] \lambda [/mm] = 1

Wenn ich jetzt die ersten beiden Addiere erhalte ich folgendes:
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 1
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] = 0
2 [mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Setze ich dies nun in die letzte Gleichung ein erhalte ich:
1 = a * [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] a=2

Setzte ich dies jetzt noch zu Kontrolle in die 3 Gleichung ein erhalte ich für [mm] \mu [/mm] einen Wert von [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]

Ich gehe mal davon aus, dass ich eine Lösung gefunden habe.

Aber gibt es wirklich nur  eine oder habe ich einen Denkfehler.

Schon mal vielen Dank für eure Antworten !


        
Bezug
Lineare Abhängigkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 18.11.2007
Autor: max3000

Ja.

Es gibt nur diesen einen.

Bezug
        
Bezug
Lineare Abhängigkeit bestimmen: Gegenfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 So 18.11.2007
Autor: Loddar

Hallo master200,

[willkommenmr] !!


Ich muss da etwas widersprechen! Zum einen solltest Du die Lineare Abhängigkeit über folgenden Ansatz zeigen:

[mm] $$\kappa*\vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1}+\lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a}+\mu*\vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}$$ [/mm]

Und mal als Gegenfrage: betrachte doch mal den Sonderfall $a \ = \ 0$ . Was erhältst Du?


Gruß
Loddar


Bezug
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