Lineare Abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 So 05.12.2010 | | Autor: | FIN10 |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und sei [mm] M={a_1,...,a_n,b,b_1,...,b_m,c} [/mm] eine Menge von Vektoren aus V mit n [mm] \ge [/mm] 2 und m [mm] \ge [/mm] 1.
Beweisen Sie:
a) Ist der Bektor b von [mm] {a_1,...a_n} [/mm] linear abhängig, aber nicht von [mm] {a_1,...a_(n-1)}, [/mm] dann ist [mm] a_n [/mm] von [mm] {a_1,...,a_(n-1),b} [/mm] linear abhängig.
b) Ist c von [mm] {b_1,...,b_m} [/mm] linear abhängig und ist jeder Vektor [mm] b_j [/mm] (j [mm] \in [/mm] {1,...,m}) von [mm] {a_1,...,a_n} [/mm] linear abhängig, so ist c von [mm] {a_1,...,a_n} [/mm] linear abhängig.
c) Ist [mm] {a_1,...,a_(n-1)} [/mm] linear unabhängig, aber [mm] {a_1,...,a_n} [/mm] linear abhängig, dann ist [mm] a_n [/mm] von [mm] {a_1,...,a_(n-1)} [/mm] linear abhängig. |
Hallo,
kann mir jemand sagen, wie ich an so eine Aufgabe rangehe?
Ich weiß zwar, dass linear abhängig heißt, dass ich bei z.B. [mm] \lambda_1*a_1+...+\lambda_n*a_m=0 [/mm] für [mm] \lambda_1...\lambda_n [/mm] wenigstens eines ungleich Null sein muss, doch wie ich es in diesem Fall anwende und wie ich z.B. die Gleichungen dafür aufstelle, weiß ich nicht!
Vielen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:57 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp zu a):
b von $ [mm] {a_1,...a_n} [/mm] $ linear abhängig bedeutet: es ex. [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_n \in [/mm] K mit: b= [mm] s_1a_1+...+s_na_n
[/mm]
b von $ [mm] {a_1,...a_n} [/mm] $ linear abhängig, aber nicht von $ [mm] {a_1,...a_{n-1}}, [/mm] $ bedeutet:
es ex. [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_n \in [/mm] K mit: b= [mm] s_1a_1+...+s_na_n [/mm] und [mm] s_n \ne [/mm] 0
Zeigen sollst Du: [mm] a_n [/mm] lässt sich als Linearkombination von
[mm] a_1,...,a_{n-1},b
[/mm]
darstellen.
FRED
|
|
|
|
