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Hallo ihr Mathegenies!
Folgende Aufgabe bringt mich zur Verzweiflung :o)
Zeigen sie, dass folgende Vektoren aus R³ linear abhängig sind.
[mm] v_1 \vektor{1 \\-1\\2 } ; v_2 \vektor{8\\ -10 \\ -3}, v_3 \vektor{0 \\ -2 \\ -19} [/mm]
So die Definition ist mir ja klar:
es heißt doch, dass eine Menge linear abhängig heisst, wenn es [mm]\lambda [/mm] gibt von denen mindestens eins ungleich 0 ist.
Oder ist das schon falsch interpretiert?
wie muß ich das jetzt berechnen ?? soll ich einfach ein lambda suchen was nicht 0 ist ?? oder gibt es da einen rechenweg?
Danke
Christinchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Zeigen sie, dass folgende Vektoren aus R³ linear abhängig
> sind.
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> [mm]v_1 \vektor{1 \\-1\\2 } ; v_2 \vektor{8\\ -10 \\ -3}, v_3 \vektor{0 \\ -2 \\ -19}[/mm]
> So die Definition ist mir ja klar:
>
> es heißt doch, dass eine Menge linear abhängig heisst, wenn
> es [mm]\lambda[/mm] gibt von denen mindestens eins ungleich 0 ist.
Diese Definition ist zwar richtig, aber ein wenig unglücklich formuliert!
Eine bessere Definition ( meiner Meinung nach ) ist folgende:
Drei Vektoren u,v,w heißen linear unabhängig, falls keiner der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann.
D.h. Für die Gleichung [mm] \lambda_{1}u+ \lambda_{2}v= \lambda_{3}w [/mm] gibt es nur die triviale Lösung [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0
[/mm]
Diese Gleichung kannst du nun auch so schreiben:
[mm] \lambda_{1}u+\lambda_{2}v+\lambda_{3}w=0
[/mm]
Nun hast du drei Gleichungen (da deine Vektoren [mm] \in \IR^{3}) [/mm] mit drei Unbekannten!
Bekommst du nur oben genannte triviale Lösung, so sind sie linear unabhängig!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Wenn sich noch Probleme ergeben, meld dich einfach nochmal!
Liebe Grüße
Ulrike
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muß man das irgendwie berechnen ?
oder sieht man das einfach das [mm] \lambda_1u = \lambda_2v = \lambda_1w = 0 [/mm] ist??
würde es so aussehen ??
[mm ] [mm] \lambda [/mm] 1 u * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 2 u * [mm] \vektor{8 \\ -10 \\ -3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] 3 u * [mm] \vektor{0 \\ -2\\ -19} [/mm] [/mm]
muß man das in diese matrixform birngen ??
Lg
Christinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 02.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christinchen
ich würde mit der 2. Form arbeiten:
[mm] $\lambda_{1}\vec{u}+\lambda_{2}\vec{v}+\lambda_{3}\vec{w}=\vec{0}$
[/mm]
Wie das cremchen schon vorgeschlagen hat: du löst das Gleichungssystem nach [mm] $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{3}$ [/mm] auf. Wenn sich eine Lösung ergibt, wo mindestens ein [mm] $\lambda_{i} \not [/mm] = 0$ ist, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Die Gleichung heisst ja:
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\-1\\2} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{8\\-10\\-3} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{0\\-2\\-19} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Das gibt für jede Komponente eine Gleichung:
[mm] $\lambda_{1} [/mm] + [mm] 8\lambda_{2} [/mm] = 0$
[mm] $-\lambda_{1} [/mm] - [mm] 10\lambda_{2} [/mm] - [mm] 2\lambda_{3}= [/mm] 0$
[mm] $2\lambda_{1} [/mm] - [mm] 3\lambda_{2} [/mm] - [mm] 19\lambda_{3}= [/mm] 0$
Das hast du also nach den [mm] $\lambda_{i}$ [/mm] aufzulösen.
Alle [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ist natürlich eine Lösung. Wenn es die einzige Lösung ist, dann sind die 3 Vektoren linear unabhängig, sonst nicht.
Kannst du das Gleichungssystem auflösen und uns das Ergebnis, bei Schwierigkeiten auch mit den Rechenschritten, posten? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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