Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 19.03.2006 | | Autor: | Clarcie |
Hallo!
Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:
Gegeben sei ein Quader mit der Grundfläche ABCD und der Deckfläche EFGH. Fertigen Sie eine Skizze an und untersuchen Sie, ob folgende Vektoren komplanar sind.
a) die vier Raumdiagonalen d) Die Vektoren zu [mm] \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{HG} [/mm] und [mm] \overrightarrow{DF} [/mm] e) die Vektoren zu [mm] \overrightarrow{AH} [/mm] , [mm] \overrightarrow{DG} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AF}
[/mm]
Also das mit der Skizze ist kein Problem, allerdings bekomme ich heraus, dass die Vektoren bei d) und e) komplanar sind, was ich mir nicht vorstellen kann.
Ich habe mir überlegt, dass ich die Vektoren aus d) und e) mit den Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] , [mm] \overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c} [/mm] ausdrücken kann, wobei diese den Achsen entsprechen und somit [mm] \overrightarrow{a}= \vektor{x \\ 0\\0} \vec{b}= \vektor{0 \\ y\\0} [/mm] und [mm] \vec{c}= \vektor{0\\ 0\\z} [/mm] ist. Dann habe ich bei d) [mm] \overrightarrow{EC}= \overrightarrow{b}- \overrightarrow{c}- \overrightarrow{a} [/mm] und bei [mm] \overrightarrow{HG}=- \overrightarrow{a} [/mm] und bei [mm] \overrightarrow{DF}=- \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}. [/mm] Das habe ich dann versucht im Gleichungssystem zu lösen, aber ich bekomme immer heraus: 0=0 [mm] \wedge [/mm] s=-2t [mm] \wedge [/mm] r=t. Daraus kann ich doch schließen, dass die Vektoren komplanar sind, aber wenn ich mir das versuche vorzustellen können die nicht komplanar sein. Wäre wirklich sehr sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte was ich falsch gemacht habe, denn auch bei a) und e) bekomme ich heraus, dass sie Vektoren komplanar sind. Danke schon mal im voraus. Clarcie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
> Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:
> Gegeben sei ein Quader mit der Grundfläche ABCD und der
> Deckfläche EFGH. Fertigen Sie eine Skizze an und
> untersuchen Sie, ob folgende Vektoren komplanar sind.
> a) die vier Raumdiagonalen d) Die Vektoren zu
> [mm]\overrightarrow{EC}, \overrightarrow{HG}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{DF}[/mm] e) die Vektoren zu [mm]\overrightarrow{AH}[/mm]
> , [mm]\overrightarrow{DG}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AF}[/mm]
> Also das mit der Skizze ist kein Problem, allerdings
> bekomme ich heraus, dass die Vektoren bei d) und e)
> komplanar sind, was ich mir nicht vorstellen kann.
> Ich habe mir überlegt, dass ich die Vektoren aus d) und e)
> mit den Vektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] , [mm]\overrightarrow{b}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{c}[/mm] ausdrücken kann, wobei diese den
> Achsen entsprechen und somit [mm]\overrightarrow{a}= \vektor{x \\ 0\\0} \vec{b}= \vektor{0 \\ y\\0}[/mm]
> und [mm]\vec{c}= \vektor{0\\ 0\\z}[/mm] ist. Dann habe ich bei d)
> [mm]\overrightarrow{EC}= \overrightarrow{b}- \overrightarrow{c}- \overrightarrow{a}[/mm]
> und bei [mm]\overrightarrow{HG}=- \overrightarrow{a}[/mm] und bei
> [mm]\overrightarrow{DF}=- \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}.[/mm]
> Das habe ich dann versucht im Gleichungssystem zu lösen,
> aber ich bekomme immer heraus: 0=0 [mm]\wedge[/mm] s=-2t [mm]\wedge[/mm]
> r=t. Daraus kann ich doch schließen, dass die Vektoren
> komplanar sind, aber wenn ich mir das versuche vorzustellen
> können die nicht komplanar sein. Wäre wirklich sehr sehr
> nett, wenn mir jemand erklären könnte was ich falsch
> gemacht habe, denn auch bei a) und e) bekomme ich heraus,
> dass sie Vektoren komplanar sind. Danke schon mal im
> voraus. Clarcie
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo Clarice,
deine Idee ist schon sehr gut. Wir legen am besten den Punkt $A$ in den Ursprung.
Mit [mm] $\vec [/mm] a$ gehe ich nach rechts, mit [mm] $\vec [/mm] b$ nach oben und mit [mm] $\vec [/mm] c$ in die andere Ebene.
Der Punkt $C$ wäre dann [mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] b$ und Punkt $E$ wäre [mm] $\vec [/mm] c$
$ [mm] \overrightarrow{EC}=\vec [/mm] a [mm] +\vec [/mm] b - [mm] \vec [/mm] c= [mm] \vektor{a \\ b \\ -c}$
[/mm]
Der Ortsvektor zu $H$ ist [mm] $\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] c$ und $G$ ist [mm] $\vec [/mm] a [mm] +\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] c$
$ [mm] \overrightarrow{HG}=\vec [/mm] a [mm] +\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] c - [mm] (\vec [/mm] b + [mm] \vec c)=\vec [/mm] a= [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Und $F$ entspricht [mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] c$ sowie $D$ den Ortsvektor aus [mm] $\vec [/mm] b$
$ [mm] \overrightarrow{DF}=\vec [/mm] a + [mm] \vec c-\vec [/mm] b= [mm] \vektor{a \\ -b \\ c}$
[/mm]
Wenn wir daraus eine Determinante bauen erhalten wir:
$D= [mm] \pmat{ a & a & a \\ b & 0 & -b \\ -c & 0 & c }=abc-cba=0$
[/mm]
Somit wären sie komplanar, eigentlich solltest du es in der Skizze aber erkennen können.
Bei der Aufgabe e) erhältst du das gleiche Ergebnis, hier sind aber auch $ [mm] \overrightarrow{DG} [/mm] $ und $ [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] $
linear abhängig.
Gruß
Nicolas
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Hallo liebe Clarcie,
lineare Abhängigkeit kann man mit Determinanten überprüfen, die Vektoren sind Linear abhängig wenn die Determinante gleich 0 ist, das lernt Ihr bestimmt noch später in der Schule.
Die Aufgabe lässt sich aber auch ohne Determinanten lösen.
Um einen Quader aufzuspannen reichen drei Vektoren, das hast Du vollkommen richtig erkannt.
die Frage ist nun, welche Dimension der von den Vektoren aufgespannte Raum hat, also ob die Vektoren alle in einer Ebene liegen, ob sie auf einer Gerade liegen oder gar einen (evtl. verschobenen) Quader aufspannen können.
Entscheidend ist die Richtung der Vektoren, ihr Länge ist unerheblich, man kann also den Vektor auf die Länge 1 "zusammenstutzen", also normieren.
Dadurch vereinfacht sich die Aufgabe ein wenig:
Somit ist dann a=(1,0,0), b=(0,1,0) und c=(0,0,1).
also ist CE=(1,1,1), HG=(1,0,0) und DF=(-1,1,1).
Das homogene lineare Gleichungssysthem ist dann also
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\\ -1 & 1& 1 }$
[/mm]
oder auch mit Koeffizienten [mm] \lambda \sigma \mu
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] + [mm] \sigma -\mu [/mm] =0$
[mm] $\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] =0$
[mm] $\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] =0$
Man sieht dass die vorletzte und die Letzte Zeile gleich sind, bzw. zwei Spalten der Matrix, also sind die Vektoren linear abhänig. Daher übrigens auch die witzigen Ergebnisse.
Die Vektoren liegen also in einer Ebene, spannen also kein Quaderähnliches Gebilde auf.
Zur Aufgabe e):
Hier muss man gar nicht rechnen sondern sich nur überlegen: Die Vektoren AH und und DE spannen die Ebene auf in der das rechte Seitenteil des Quaders liegt. Auf diesem steht der Vektor EF senkrecht! Der aufgespannte Raum ist also ein Quader, bzw. der gesammte [mm] \mathbb{R}^3. [/mm] Die Vektoren sind deshalb linear unabhängig!
Natürlich ließe sich das auch wieder mit einem homogenen Gleichungssysthem zeigen.
So, nun noch viel Spaß mit Mathematik und linearer Algebra!
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