Lineare Abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Sparrow |
Hi Leute!
Ich weiss dass zwei Vektoren a, b linear abhängig sind, wenn diese auf nicht triviale Weise die Nullsumme ergeben!
Bei drei vektoren mache ich die sarus-regel und 0 muss hinauskommen.
Nun habe ich aber 2 Verständnisfragen und wollte wissen wieso das so ist:
1.) Zwei beliebige Vektoren a,b und der Nullsummenvektor sind immer abhängig, wieso?
2.) Die zwei Vektoren a,b und der Vektor a+b sind immer abhängig, wieso???
Ich weiss dass es so ist, aber wieso?
Bitte um schnelle Beantwortung,
DANKE
Basti
P.S. Mathe LK in Bayern
P.S.S. AUf A und B jeweils der vektorpfeil. konnte ich net machen oben!
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Hallo,
also zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie sich linear zum Nullvektor kombinieren lassen, d.h. r*a+s*b=0 für alle [mm] r,s\in\IR [/mm] . Dabei darf natürlich nicht a=b=0 gelten! Du überprüfst das einfach, indem du ein geeinetes Gleichungssystem aufstellst. Das geht auch mit mehr als 2 Vektoren, nur wird dann der Rechenaufwand größer.
2 Vektoren sind nicht immer automatisch linear abhängig. Das sind sie genau dann, wenn sie kollinear sind (gleichgerichtet!).
s. Zwergleins Post!
Hoffe, ich konnte dir helfen!
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Sparrow |
Du hast mich falsch verstanden!
1. Frage:
2 beliebige Vektoren a und b + der Vektor [mm] \pmat{ 0 & 0 \} [/mm] sind immer linear abhängig, wieso???
2.Frage:
[mm] \pmat{ a & b } [/mm] , [mm] \pmat{ c & d } [/mm] , [mm] \pmat{ a+c & b+d }
[/mm]
sind lin. abhängig, wieso?
Nur allgemein fassen wieso dies gilt.
Sonst weiss ich dass ich saurus bei 3x3 gleichungssysteme benutze. ;)
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Hi, Sparrow,
> Nun habe ich aber 2 Verständnisfragen und wollte wissen
> wieso das so ist:
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> 1.) Zwei beliebige Vektoren a,b und der Nullsummenvektor
> sind immer abhängig, wieso?
Du meinst den "Nullvektor" [mm] \vec{o} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Nun, diese Aussage kannst Du Dir (mindestens) auf 2 Arten klar machen:
(1) Mit der Regel von Sarrus. Stell Dir vor (oder schreib's hin), in der Determinante ist die letzte Spalte nur mit Nullen besetzt (Nullvektor).
Dann kommt auf jeden Fall =0 raus, egal was für Zahlen sonst noch drin sind!
(2) Mit der Definition:
3 Vektoren sind ja dann linear abhängig, wenn die Linearkombination
[mm] \lambda*\vec{a} [/mm] + [mm] \mu*\vec{b} [/mm] + [mm] \nu* [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
nicht nur die triviale Lösung (also: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = [mm] \nu [/mm] = 0) hat.
Nun setzt Du für [mm] \vec{c} [/mm] den Nullvektor ein.
Dann gilt doch sicher:
[mm] 0*\vec{a} [/mm] + [mm] 0*\vec{b} [/mm] + [mm] 5*\vec{o} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
(wobei ich die 5 völlig beliebig gewählt habe: Dies geht offensichtlich mit jeder Zahl!)
Das heißt: Es gibt eine Nullsumme, bei der zumindest das [mm] \nu [/mm] nicht =0 sein muss. Bedeutet laut Definition: abhängig!
> 2.) Die zwei Vektoren a,b und der Vektor a+b sind immer
> abhängig, wieso???
Kannst Du wieder mit Sarrus rangehen, wobei Du [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}} [/mm] schreibst und für [mm] \vec{b} [/mm] analog.
Oder Du nimmst wieder die Definition und siehst sofort, dass gilt:
[mm] 1*\vec{a} [/mm] + [mm] 1*\vec{b} -1*(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Also z.B.: [mm] \lambda [/mm] = 1, [mm] \mu [/mm] = 1, [mm] \nu [/mm] = -1
mfG!
Zwerglein
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