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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | a = [mm] \pmat{ 9 & -6 & -5 }^T [/mm]
b = [mm] \pmat{ 3 & 2 & -4 }^T
[/mm]
c = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 7 }^T
[/mm]
d = [mm] \pmat{ -2 & 4 & -5 }^T
[/mm]
Sind a,b,c,d linear abhängig? Stellen Sie, falls möglich, a als Linearkombination von c und d dar. |
Hallo,
ich habe mir überlegt, das ganze in eine Matrix zu schreiben, nach dem Gauß-Verfahren zu vereinfachen und am Ende zu gucken ob sich eine Nullzeile ergibt. Ergibt sich eine Nullzeile, wäre die 4 Vektoren ja linear abhängig.
Nun habe ich das ganze getan:
[mm] \pmat{ 9 & 3 & 1 & -2 \\ -6 & 2 & 2 & 4 \\ -5 & -4 & 7 & -5 }
[/mm]
3 II + 2 III sowie 9 III + 5 I ergibt:
[mm] \pmat{ 9 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 12 & 8 & 8 \\ 0 & -21 & 68 & -55 }
[/mm]
12 III + 21 III ergibt:
[mm] \pmat{ 9 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 12 & 8 & 8 \\ 0 & 0 & 984 & -492 }
[/mm]
Nun ergibt sich hier keine Nullzeile, in den Lösungen zu der Aufgabe steht aber, dass die vier Vektoren linear abhängig sind. U.a. ist die Begründung gegeben, dass in einem 3-dim Raum 4 Vektoren immer linear abhängig sind. Aber wieso bekomme ich in meiner Rechnung oben keine Nullzeile? Ich verstehe nicht so ganz, warum hier verschiedene Ergebnisse rauskommen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Rechnung ist richtig (allerdings ein paar Schreibfehler bzgl der verwendeten Gleichungen), deine Schlussfolgerung iat allerdings falsch.
Die betrachtete Matrix hat tatsächlich den Rang 3, was bedeutet, dass der von den vier Vektoren aufgespannte Raum die Dimension 3 hat, womit die vier Vektoren in der Tat l.a. sind.
Wenn sich eine (1) Nullzeile ergeben würde, wären sogar irgend drei der vier Vektoren noch l.a., der aufgespannte Raum hätte die Dimension 2.
Du kannst, wenn du willst, eine Nullspalte erzeugen.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:42 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Der Rang einer Matrix ist ja quasi die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (Spaltenvektoren). Man könnte doch so argumentieren:
Man hat insgesamt 4 Vektoren, davon sind 3 linear unabhängig. Da ist so wie wenn man eine 3x3 Matrix mit einer Nullzeile hat, 3 Vektoren und 2 davon linear unabhängig. 3 jedoch linear abhängig und in unserem Beispiel 4 linear abhängig.
Oder?
Wo genau habe ich die Schreibfehler in meiner Rechnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 05.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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