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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 06.01.2008 | | Autor: | Teradil |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm] sei gegeben durch:
[mm]f\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}. f\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1\\2\\2\\1\end{bmatrix}. f\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\\3\\4\end{bmatrix}.[/mm]
(a) Man bestimme die zu f gehörende Abbildungsmatrix, wenn als Basen im Urbild- und Bildraum jeweils die Einheitsvektoren [mm]{e_1, e_2, e_3}[/mm] und [mm]{e_1, e_2, e_3, e_4}[/mm] gewählt werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, dass ich eine Darstellung für die Einheitsvektoren brauche, die sich aus den drei gegebenen Termen herleitet.
Mittels Gauß-Jordan-Verfahren komme ich dann auch von der Matrix [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} [/mm] auf die Matrix
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & -1\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \\
\end{bmatrix} [/mm]
Allerdings bin ich mir gar nicht so sicher, ob mir das wirklich etwas bringt.
Mich wundert die Nullzeile auf der linken Seite der Matrix ein wenig. Oder kommt die, weil ich vom [mm]\IR^3[/mm] komme und ja keinen Dimensionszuwachs im Bildraum kriegen kann?
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> Eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm] sei
> gegeben durch:
> [mm]f\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}. f\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1\\2\\2\\1\end{bmatrix}. f\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\\3\\4\end{bmatrix}.[/mm]
>
> (a) Man bestimme die zu f gehörende Abbildungsmatrix, wenn
> als Basen im Urbild- und Bildraum jeweils die
> Einheitsvektoren [mm]{e_1, e_2, e_3}[/mm] und [mm]{e_1, e_2, e_3, e_4}[/mm]
> gewählt werden.
> Ich weiß, dass ich eine Darstellung für die
> Einheitsvektoren brauche, die sich aus den drei gegebenen
> Termen herleitet.
Hallo,
genau das benötigst Du - aber nicht für die Bildvektoren, sondern für die anderen, die aus dem [mm] \IR^3.
[/mm]
Du mußt wissen, wieDu z.B. [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] als Linearkombination Deiner drei Startvektoren schreiben kannst, die anderen beiden entsprechend.
Dann kannst Du die Linearität v. f ausnutzen und f( [mm] \vektor{1\\0\\0}) [/mm] berechnen und hast damit die erste Spalte der gesuchten Matix.
Wenn Du es so ähnlich lösen willst wie in Deinem Versuch, mußt Du also genau mit den anderen Vektoren starten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 06.01.2008 | | Autor: | Teradil |
Ich brauche also nur mit den drei Einheitsvektoren der [mm] \IR^3 [/mm] starten, das ganze durchlaufen zu lassen mit den drei Basisvektoren, die ich vorgegeben habe, einmal Gauß-Jordan drüber und ich habe eine Abbildungsmatrix?
Ich muss doch aber eine 4x3 Matrix bekommen, damit ich mit meiner 3x1 Matrix (Vektor) eine 4x1 Matrix bekomme, oder?
Wenn ich jetzt die [mm] e_1, e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] nehme, kriege ich doch aber eine 3x3 Matrix.
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> Ich brauche also nur mit den drei Einheitsvektoren der
> [mm]\IR^3[/mm] starten, das ganze durchlaufen zu lassen mit den drei
> Basisvektoren, die ich vorgegeben habe, einmal Gauß-Jordan
> drüber und ich habe eine Abbildungsmatrix?
Nein, dann hast Du eine der Transformationsmatrizen, oder anders ausgedrückt:
Daran kannst Du ablesen, wie Du die Standardvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] als Linearkombination der drei vorgegebenen Basisvektoren schreiben kannst, dann das, was Du beschreibst, ist ja nichts anders als die simultane Lösung des Systems
[mm] a_iv_1+b_iv_2+c_iv_3=e_i, [/mm] i=1,2,3.
Danach berechne [mm] f(e_i)=f(a_iv_1+b_iv_2+c_iv_3), [/mm] und stecke daß, was Du erhältst, als Spalten in eine Matrix.
Damit hast Du die gesuchte Matrix bzgl der Standardbasen, es ist eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten, als 4x3.
Gruß v. Angela
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