Lineare Abbildungen u. a. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 10.06.2010 | | Autor: | Marie_ |
| Aufgabe | Beantworten Sie (begründet!) folgende Fragen:
1.) Hat jede lineare Abbildung vom [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR^m [/mm] hat einen Fixpunkt?
2.) Ist jede lineare Abbildung vom [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR^m [/mm] kontrahierend?
3.) Stimmt es, dass wenn alle partiellen Ableitungen von f: U [mm] \to \IR^n [/mm] auf U [mm] \subset \IR^m [/mm] offen existieren und diese stetig sind, so ist auch f stetig? |
Hallo,
ich habe noch einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
1.) Ja, da jede lineare Abbildung die Null auf die Null abbildet. Somit liegt bei der Null ein Fixpunkt vor.
2.) Ich vermute, dass dies falsch ist. Es wäre aber sehr nett, wenn mir das mit der Kontraktionseigenschaft jemand noch an einem Beispiel erklären könnte.
3.) Dazu fällt mir leider momentan nichts ein, sodass ich für Hinweise dankbar bin.
Vielen lieben Dank an Euch!
Gruß
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 10.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a) Ja.
b) Teste mal einfache Abbildungen, z.B. die Identität.
c) siehe Fred
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 11.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beantworten Sie (begründet!) folgende Fragen:
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> 1.) Hat jede lineare Abbildung vom [mm]\IR^m[/mm] in den [mm]\IR^m[/mm] hat
> einen Fixpunkt?
> 2.) Ist jede lineare Abbildung vom [mm]\IR^m[/mm] in den [mm]\IR^m[/mm]
> kontrahierend?
> 3.) Stimmt es, dass wenn alle partiellen Ableitungen von
> f: U [mm]\to \IR^n[/mm] auf U [mm]\subset \IR^m[/mm] offen existieren und
> diese stetig sind, so ist auch f stetig?
> Hallo,
>
> ich habe noch einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
> Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
>
> 1.) Ja, da jede lineare Abbildung die Null auf die Null
> abbildet. Somit liegt bei der Null ein Fixpunkt vor.
> 2.) Ich vermute, dass dies falsch ist. Es wäre aber sehr
> nett, wenn mir das mit der Kontraktionseigenschaft jemand
> noch an einem Beispiel erklären könnte.
> 3.) Dazu fällt mir leider momentan nichts ein, sodass ich
> für Hinweise dankbar bin.
3.) ist richtig. Unter den gemachten Voraussetzungen ist f auf U sogar differenzierbar (gdiesen Satz hattet Ihr garantuert in der Vorlesung).
Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit
FRED
>
> Vielen lieben Dank an Euch!
>
> Gruß
> Marie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:26 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hallo,
danke Fred97 und Teufel!
Teil 1 und 3 habe ich verstanden, nur Teil 2 bereitet mir noch Probleme.
Ich vermute rein anschaulich, dass die Identitätsabbildung auf einer Menge X zwar eine lineare Abbildung (klar!), aber nicht kontrahierend ist.
k ist ja eine Kontraktion, wenn k eine Abbildung von X in X (X metrischer Raum mit Metrik d) ist und es eine Zahl 0 [mm] \le [/mm] c < 1 gibt, so dass d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] c [mm] \* [/mm] d(x,y) ist. Es ist sicherlich einfach zu zeigen, nur komme ich gerade nicht drauf...
Vielen Dank!
Gruß
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dann nimm mal $d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] c * d(x,y)$ und f(x)=x.
Dann hast du [mm] $d(x,y)\le [/mm] c * d(x,y)$ [mm] \gdw [/mm] $1 [mm] \le [/mm] c$ (für x [mm] \not=y). [/mm] Kann das sein?
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 So 13.06.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hallo,
vielen lieben Dank danke Teufel!
Jetzt habe ich es verstanden. Es kommt c = 1 heraus. Somit erfüllt die Identitätsabbildung nicht die Kontraktionseigenschaft.
Ich habe noch eine kurze Nachfrage: Kann mir jemand eine einfache lineare Abbildung nennen, die die Kontraktionseigenschaft erfüllt?
Herzlichen Dank!
Gruß
Marie
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$f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x$
[/mm]
Das hätte man sich aber auch leicht selbst überlegen können......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 13.06.2010 | | Autor: | Marie_ |
Danke Gonozal_IX!
Manchmal steht man halt auf dem Schlauch... 
Gruß
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen lieben Dank danke Teufel!
> Jetzt habe ich es verstanden. Es kommt c = 1 heraus. Somit
> erfüllt die Identitätsabbildung nicht die
> Kontraktionseigenschaft.
>
> Ich habe noch eine kurze Nachfrage: Kann mir jemand eine
> einfache lineare Abbildung nennen, die die
> Kontraktionseigenschaft erfüllt?
Die Nullabbildung
FRED
>
> Herzlichen Dank!
>
> Gruß
> Marie
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